精品解析：四川省宜宾市普通高中2024-2025学年高一下学期期末学业质量监测数学试题

2025年春期宜宾市普通高中学业质量监测 高一年级数学 （考试时间：120分钟：全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】， 故选A． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 2. 用按比例分配的分层随机抽样方法，从某学校的600名男生和800名女生中选取14人参与某项研学活动，则女生比男生多选取（ ） A. 8 人 B. 6人 C. 4人 D. 2人 【答案】D 【解析】 【分析】确定抽样比计算出男生和女生的人数即可得出结论. 【详解】依题意可知，分层抽样比为， 因此可得选取的男生为6人，女生为8人， 所以女生比男生多选取2人. 故选：D 3. 已知点则与同方向的单位向量为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A. 考点：向量运算及相关概念. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数平移原则即可得到答案. 【详解】， 则只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：B. 5. 平面平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理对选项逐一判定 【详解】对于A，B，C，当平面，相交时，条件仍然成立，故A，B，C错误， 对于D，存在两条异面直线， 平移后可得，存在两条相交直线， 由面面平行的判定定理可知，平面平面，故D正确， 故选：D 6. 在直三棱柱中，，，则直线与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】作辅助线，证明直线与的夹角为直线与的夹角（或其补角），然后根据线角关系求出其大小. 【详解】连接交于点，取的中点为，连接. 则根据中位线定理可得， 所以直线与的夹角为直线与的夹角（或其补角）， 设，根据勾股定理得，所以. 设，则根据勾股定理，所以. 所以，. 所以，所以. 故选：D. 7. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C． 【详解】若甲的5个点数分别是，满足选项A； 若乙的5个点数分别是，满足选项B； 若丁的5个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，因此丙不会出现点数6， 故选：C． 8. 已知函数，则（ ） A. 若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，是的对称中心 D. 若在内有且仅有两个零点，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，根据周期公式以及函数图象可判断A错误，结合正弦函数图象性质可得B正确，将代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性质，结合零点个数限定出不等式，解得，可得D错误. 【详解】易知， 对于A，若函数相邻两条对称轴的距离为，即可得，因此可得，即A错误； 对于B，当，可得， 当时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又 所以的值域为，即B正确； 对于C，当时，，将代入检验可得， 显然不是的对称中心，即C错误； 对于D，若，可得， 若在内有且仅有两个零点，可得，解得， 因此D错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差小于乙得分的极差 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据统计图中数据，结合中位数、极差、平均数、方差定义分析选项即可得出结论. 【详解】由图可知甲的得分从小到大排列为， 乙的得分从小到大排列为， 对于A，甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，可得A正确； 对于B，易知甲得分的极差为6，乙得分的极差为8，因此B正确； 对于C，计算可得甲得分的平均数为， 乙得分的平均数为，可知C正确， 对于D，甲得分的方差为， 乙得分的方差为，甲得分的方差小于乙得分的方差，即D错误. 故选：ABC 10. 若，均为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则以及模长公式可判断A正确，取特殊值可验证BD错误，由复数定义计算可得C正确. 【详解】对于A，设，其中， 因此， ， 因此，即可得A正确； 对于B，若，不妨取， 此时，但不成立，即B错误； 对于C，由可得，此时， 因为，所以可得，即C正确； 对于D，不妨取，满足，此时不成立，即D错误. 故选：AC 11. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可. 【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为， ，以为原点，分别为轴，设， 则，解得， ， 对于A，因为 ，，所以，故A正确； 对于B，， 在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，设中点为， ，所以取最大即取最大， 由题知，当 在点或点处时，取最大， 此时，， ， 所以，故C正确； 对于D，设 ，， 所以当时，取的最小值， 根据题意，，所以在延长线上， 又，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】解：因为，，且， 所以，解得； 故答案为： 13. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式以及同角关系联立解方程，再由两角和的正弦公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 由可得，即， 联立解得； 所以. 故答案为： 14. 在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明线面垂直，得到，，两两垂直，三棱锥的外接球转化为以，，为长宽高的长方体的外接球，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】因为，且，为公共边， 所以≌，故， 取的中点，连接，则⊥，⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为E，F分别是PC，AC的中点，所以 因为，即⊥，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 故， ，，两两垂直， 故三棱锥外接球等价于以，，为长宽高的长方体的外接球， 此外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求B； （2）若，，求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据已知条件利用正弦定理求出角，再根据已知边的值利用余弦定理求出边. 【小问1详解】 已知，由正弦定理可得. 因为，所以，此时. 在直角中，，所以. 那么，移项可得. 根据正切函数的定义，因为且是三角形内角，所以，从而得出. 【小问2详解】 已知，且，所以. 根据余弦定理，将代入可得. 化简可得. 将，代入，得到. 即，因为，所以. 16. 如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）是否存在点E使得平面，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取的交点为，连接，如下图所示： 因为菱形，所以，且为的中点， 又，可得， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）存在；为线段的中点； 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质以及等腰三角形性质可证明平面，再由面面垂直判定定理可证明得出结论； （2）利用线面平行判定定理证明可得当为线段的中点时，满足题意. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，为线段的中点，满足平面； 连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因此存在点，当为线段的中点时，满足平面. 17. 2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委负责人表示，将持续推进“体重管理年”行动，某学校对学生进行体重健康知识测试得到如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过60%的人得分在75分及以上，则认为学生知识掌握度整体合格．该校学生知识掌握度整体合格了吗？请说明理由． 【答案】（1），平均值为； （2）合格 【解析】 【分析】（1）根据图中所有矩形面积为1计算可得，利用频率分布直方图求平均数的方法计算可得其平均数； （2）估计出该校学生中得分在75分及以上的概率即可判断得出结论. 【小问1详解】 由图可知组距为10， 易知，结合可得； 平均值为. 【小问2详解】 由图可知估计该校学生中得分在75分及以上的概率为， 因此可得该校学生知识掌握度整体合格了. 18. 函数的部分图象如图所示，其中A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为正三角形． （1）求实数的值； （2）已知时，都有，求实数m的取值范围； （3）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则的值可求； （2）求出函数的单调递增，即可求出实数m的取值范围， （3）根据题干先求出，进而求出，利用和差角公式即可求出结果. 【小问1详解】 由得：， 又正三角形的高为，从而;所以函数的周期 【小问2详解】 因为，都有，故须在单调递减区间内， 由（1）得，由，解得：，令,得单调减区间为 故函数在区间上单调递减，故； 【小问3详解】 由，所以， 整理得：，因为，所以， 所以， 所以 19. 如图，四棱锥中，点O，E分别为AC，PD的中点，，，，是边长为2的正三角形． （1）求证：平面BOE； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值； （3）求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明：如图，延长交于G点，是边长为2的等边三角形，则. 在中，已知，且满足. 根据勾股定理的逆定理，.则G为中点. 又为的中点，则.，则. 又平面，，则平面，即平面BOE. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得，结合线线平行性质得，利用线面垂直定理证明线面垂直即可； （2）先证即为二面角的平面角，再由三棱锥体积得出，进而有，利用直角三角形求解正弦值即可； （3）先证直线PC与平面ACE所成角即为直线与平面所成角，结合正弦定理得出当，即如（2）中平面时正弦值的最大值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面BOE，平面BOE，则，， 因此即为二面角的平面角， 由（1）可知平面，平面，所以平面平面， 则E在平面的射影H在OG上， 因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为， 则，所以，而，， 所以，所以； 【小问3详解】 由，则直线PC与平面ACE所成角即为直线与平面所成角， 由（1）可知平面，平面，所以平面平面， 因此即为所求角， 在中，，， 由正弦定理：，所以， 当，即如（2）中平面时，， 所以直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期宜宾市普通高中学业质量监测 高一年级数学 （考试时间：120分钟：全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则　　 A. B. C. D. 2. 用按比例分配的分层随机抽样方法，从某学校的600名男生和800名女生中选取14人参与某项研学活动，则女生比男生多选取（ ） A. 8 人 B. 6人 C. 4人 D. 2人 3. 已知点则与同方向的单位向量为 A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 平面平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 6. 在直三棱柱中，，，则直线与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 8. 已知函数，则（ ） A. 若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，是的对称中心 D. 若在内有且仅有两个零点，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差小于乙得分的极差 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 若，均为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______． 13. 已知，，则______． 14. 在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求B； （2）若，，求c. 16. 如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）是否存在点E使得平面，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由． 17. 2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委负责人表示，将持续推进“体重管理年”行动，某学校对学生进行体重健康知识测试得到如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过60%的人得分在75分及以上，则认为学生知识掌握度整体合格．该校学生知识掌握度整体合格了吗？请说明理由． 18. 函数的部分图象如图所示，其中A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为正三角形． （1）求实数的值； （2）已知时，都有，求实数m的取值范围； （3）若，且，求的值． 19. 如图，四棱锥中，点O，E分别为AC，PD的中点，，，，是边长为2的正三角形． （1）求证：平面BOE； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值； （3）求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $