北京市延庆区2025-2026学年高二下学期期末数学试题

2026北京延庆高二（下）期末 数学 2026.07 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，集合，则 A．{或} B． C．{或} D． 2．若复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． 3．已知命题：，；命题：，，则 A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 4．已知实数，满足，则下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 5．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是 A． B． C． D． 6．如果函数在区间上连续，在区间内可导，则“在上单调递增”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在的展开式中，下面关于各项的描述正确的是 A．第一项是含的项 B．第二项是常数项 C．第三项是 D．各项的系数和为 8．为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 240人 120人 180人 未达到预期 160人 140人 260人 240人 假设所有教师的评价相互独立．用频率估计概率．若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为0．记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，则，的大小关系为 A． B． C． D．不能确定 9．现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为 A．米 B．米 C．米 D．米 10．若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的定义域为__________． 12．在等差数列中，已知，与的等差中项为，是与的等比中项，则通项公式__________；前项和__________． 13．函数的值域为__________． 14．已知方程的两根分别为，，则__________；__________． 15．已知函数，给出下面四个结论： ①，使得函数有最小值； ②，函数都有一个极值； ③，函数都有一个零点； ④时，函数在上单调递减． 其中所有正确的结论序号为__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题15分） 在中，，，． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）求的值及面积． 17．（本小题16分） 求下列函数的导数． （Ⅰ）（1）； （2）； （3）． （Ⅱ）（1）； （2）． （Ⅲ）（1）； （2）； （3）． 18．（本小题15分） 求满足下列条件的直线的方程． （Ⅰ）为曲线在点处的切线； （Ⅱ）的斜率为且与曲线相切； （Ⅲ）过原点且与曲线相切． 19．（本小题14分） 求下列函数的单调区间． （Ⅰ）； （Ⅱ）． 20．（本小题13分） 已知函数，． （Ⅰ）求的极值点以及极值、最值点以及最值； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）证明：． 21．（本小题12分） 已知数列，记集合． （Ⅰ）若数列为，写出集合； （Ⅱ）若，是否存在，，使得？若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由； （Ⅲ）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，，，，，若，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D B D B C A 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 题号 11 12 13 14 15 答案 ， ， ①③④ 三、解答题共6小题，共85分． 16．（共15分） 解：（I）因为， 1分 所以． 3分 因为， 4分 所以或． 6分 因为是锐角三角形， 所以． 7分 所以． 8分 没有范围描述，只计算出一个答案扣2分 （Ⅱ）因为， 9分 所以，即， 11分 因此． 12分 因为， 所以，即． 13分 所以的面积为． 15分 17．（共16分） 解：（Ⅰ）（1）；（2）；（3）； 6分 （Ⅱ）（1）；（2）； 10分 （Ⅲ）（1）； （2） （3）． 16分 18．（共15分） 解：（Ⅰ）因为， 2分 所以． 3分 又因为， 4分 所以所求切线方程为，即． 5分 （Ⅱ）设切点为，因为， 6分 所以切线的斜率为． 7分 所以． 8分 因为， 所以切点为． 9分 所以切线方程为，即的方程为． 10分 （Ⅲ）设切点为，因为， 11分 所以切线的斜率为． 12分 又因为， 所以直线的方程为， 13分 将原点代入上式并整理，可得，解得， 14分 因此切点为，切线方程为，即的方程为． 15分 19．（共14分） 解：（I）函数的定义域为． 1分 因为， 2分 令，可得，因为，恒成立， 3分 所以，解得， 4分 因此可知函数的单调增区间为． 5分 令，可得，解得或． 6分 因此函数的单调减区间为，． 7分 （Ⅱ）函数的定义域为． 8分 因为， 9分 当时，恒成立，此时函数在上单调递减； 11分 当时， 令，可得，即， 12分 令，可得，即． 13分 此时函数在上单调递增，在上单调递减． 14分 综上可知，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． 20．（共13分） 解：（I）当时，． 1分 解方程，可得， 2分 解不等式，可得，此时在递增， 3分 解不等式，可得，此时在递减． 4分 所以是函数的极小值点，极小值为． 5分 函数无极大值点、极大值．也是函数的最小值点，最小值为． 6分 因为，当时，恒成立， 7分 所以函数的最大值点为2，最大值为． 8分 （Ⅱ）方法一：令，由题意知存在唯一的整数， 使得在直线的下方． 9分 由（Ⅰ）知，的最小值为． 因为，，所以． 10分 所以． 11分 为保证的唯一性，则需满足 12分 即解得． 13分 因此，当时，满足题意． 方法二：， 9分 当时，， 所以在上单调递减． 10分 因为，， 11分 所以若满足题意，只需 12分 即解得． 13分 因此，当时，满足题意． 21．（共12分） 解：（I）（i）不满足．令，不是数列中的项． 2分 （ii）满足．对于任意，，． 由于，故令即可． 4分 （II）对于有穷数列，记其非零项中，绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为． 故令时，存在一项． 5分 又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即． 6分 再令时，存在一项． 又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即． 8分 又， 所以数列所有非零项的绝对值均为1． 10分 又数列的各项均不相等，所以其至多有，，共3项． 所以． 11分 因为数列，，满足性质，所以项数的最大值为3． 12分 学科网（北京）股份有限公司 $