精品解析：北京市延庆区2024-2025学年高二下学期期末数学试题

延庆区2024—2025学年第二学期期末试卷 高二数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义及计算公式可得解. 【详解】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数求导公式，求出导函数，计算导数值. 【详解】由题意，， 即. 故选：C. 3. 已知函数的导函数.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特征，推出，所以函数在上单调递增；根据选项中x取值的大小顺序，结合函数单调性得出答案. 【详解】已知函数的导函数：，所以函数在上单调递增. 选项中，，大小顺序为：. 所以. 故选：A. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式列方程，再结合等差数列求和公式进行求和计算. 【详解】由已知数列为等差数列， 则， 解得， 即， 故选：D. 5. 已知曲线在点处的切线方程为，则值为（    ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. 6. 下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先明确函数图象存在与轴平行的切线意味着函数在某点处的导数为0，然后分别对各选项中的函数求导，令导数等于0，看是否有解来判断. 【详解】对于A选项，对求导可得.所以的图象不存在与轴平行的切线，A选项错误. 对于B选项，已知，对求导可得. 令，即，此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，B选项错误. 对于C选项，已知，其定义域为.求导可得. 令，即，解得，在定义域内，所以的图象存在与轴平行的切线，C选项正确. 对于D选项，求导函数得，令，即， 因为此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，D选项错误. 故选：C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算. 【详解】由， 即， 设， 则， 令，则， 令，则， 所以. 故选：B. 8. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D. 考点：等比数列 9. 若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围. 【详解】由已知有两个解， 即有两个解， 设， 则直线与函数有两个公共点， 又， 可知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，， 作出函数图象如图所示， 所以当直线与函数有两个公共点， 则， 故选：A. 10. 已知数列满足，则（ ） A. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C. 当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立 D. 当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立 【答案】D 【解析】 【分析】根据数学归纳法，结合定义法判断数列单调性，可得数列的取值范围，进而判断各选项. 【详解】由已知，即， 所以， A选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递减数列， 由， ， 即，故， 即， 若存在常数，使得恒成立， 则，即， 故，故仅对部分成立，A选项错误； B选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递增数列， 由， ， 即，故， 即， 所以不存在常数，使得恒成立，B选项错误； C选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递减数列，且， 所以当，使得恒成立，即C选项错误； D选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递增数列， 由， ， 即， 即， 若存在常数，使得恒成立， 则，即， 故，故仅对部分成立， 即不存在常数，使得恒成立，D选项正确； 故选：D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的二项展开式中，常数项为，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项求出常数项为，即得解. 【详解】由题得， 令. 所以常数项为. 故答案为：1. 12. 2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从24个节气中选择2个节气，则2个节气恰好在同一个季节的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型公式计算即可. 【详解】由题可知：所求概率为. 故答案为： 13. 已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为______. 【答案】，（或）（两组任写一组即可） 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列定义，联立方程组计算即可得出结果. 【详解】依题意可知，即； 若顺序调整为，即， 联立，解得，此时公比为1，不合题意，舍去； 若顺序调整为或，即， 联立，解得或（舍去）； 若顺序调整为或，即， 联立，解得或（舍去）； 综上可得，m，n的值依次可以为或. 故答案为：（或）（两组任写一组即可） 14. 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据导数图象确定原函数单调性，进而确定极值点，从而列方程，解方程即可得各参数值. 【详解】由图象可知当上时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取得极大值，即； 又，， 则， 解得， 即， 故答案为：；. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②当时，有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有； ④存在a，使得在上有四个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】需要结合导数与函数的性质进行分析. 【详解】对于①，当时，函数，，在区间上，恒成立，即为增函数，故①正确， 对于②，当时，函数，当时，，没有最小值，又，没有最小值，故②错误. 对于③，当时，令，即，需要分析与的交点间距， 当取很大的负数，（令，），则，零点满足，则在内为正，单调递增， 当足够大时，零点可能出现在和，两区间的间距为， 即存在零点间距大于，故③错误. 对于④，令，即在上有四个解， 取（令），则，即在上有四个解， 在上，在单调递增，在单调递减；单调递增且，故有两个零点, 在上，单调递增； 单调递增且， 当，，时，两个函数重合，故可能有两个零点， 存在a，使得在上有四个零点，故④正确， 故答案为：①④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率，然后根据函数值求出切线方程即可. （2）对函数求导，判断函数在区间上的单调性，求出极值和端点的函数值，从而求得函数的最值. （3）对函数求导，判断单调性，画出图象，从而得到的范围. 【小问1详解】 因为， 所以；，， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即，解得或， 在区间上，的单调递增区间为，递减区间为， 且，，； 所以当时，最大值为， 所以当时，最小值为. 【小问3详解】 c的取值范围为. 因为函数有三个零点，所以方程有三个根. 对函数求导得. 当或时，；当时，. 所以函数在单调递增，在上单调递减， 当时，；；；当时， 画出图象为： 要使函数有三个零点，则的取值范围为. 17. 在中，，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得解； （2）若选①，三角形不存在；若选②，结合余弦定理可得三角形三边，进而可得面积；若选③，由正弦定理可得与，结合三角恒等变换可得，进而可得面积. 【小问1详解】 由已知， 根据正弦定理可知， 则， 又， 则； 【小问2详解】 若选条件①： ，， ， 此时，不满足三角形性质， 即此时不存在； 若选条件②： 由（1）得，且，， 则，， 所以. 若选条件③： 由， 则， 由正弦定理可知， 即， 又， 解得，， 又在中， ， 所以. 18. 某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 1 4 10 3 2 女生人数 4 4 4 4 4 （1）在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； （2）从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； （3）从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（2）中X的方差大小.（结论不要求证明）. 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 3 P 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，分两种情况计算出各自的组合数和，相加除以总组合数求解；（2）将频率视为概率，确定男生中成绩达标概率，利用二项式分布求解分布列与期望；（3）计算女生对应的概率和方差，通过二项分布方差公式求解得出结论. 【小问1详解】 根据题中数据，成绩在80分及以上的学生共13人， 设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，分两种情况： ①男生在女生在：；②男生在女生在：. 总的组合数：，所以： . 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3. 用频率估计概率，从该市参赛的男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为， 可估计为，可估计为， 可估计为，可估计为. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 可估计为. 或者因为，所以可估计为. 【小问3详解】 女生中80分及以上频率为 ， ， 因为， 所以. 19. 已知椭圆C：的离心率为且经过点. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点，斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点B，D，且与直线交于点E，点D在线段BE（不包括两端点）上，O为坐标原点，直线EO与直线AB，AD分别交于点M，N，若和的面积为和，求：的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组，计算即可得到椭圆方程； （2）作出图形，设直线，与椭圆方程联立，使用韦达定理得到，，分别设出直线的方程，联立求解可得，进一步判断可得结果. 【小问1详解】 椭圆C的离心率为，且经过点， 所以，解得，，则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 过点，斜率为k的直线方程为. 由，得. 因为在椭圆内，所以. 设，，则，. 直线AB的方程为：，直线AD的方程为：， 在直线方程中，令，得，. 直线EO的方程为：. 由，得. 同理得，. . ， 所以，即点O为线段MN中点， 所以，. 20. 已知函数，其中. （1）当时，写出的单调递增区间； （2）若函数的极大值为0，且对，成立，求实数的最大值； （3）若过原点至少存在1条直线与曲线相切，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数求单调性即可； （2）利用导函数求出函数的单调性，由极大值为0可得，再利用导数解决恒成立问题； （3）分类讨论和两种情况，当时，，曲线过原点，存在至少一条切线；当时，设出切点坐标，利用导数以及两点坐标求得切线斜率构造出等式，将问题转化成方程有解，利用导数解决能成立问题即可. 【小问1详解】 当时，，定义域， 则，令，得， 所以的单调递增区间是. 【小问2详解】 由题意，函数定义域为，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取极大值，即，所以. 对任意的，成立，即对任意的，， 记，， 则， ①时，此时， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取极大值也是最大值，，不符合题意. ②当时，此时， 当时，，单调递增； 当时，，符合题意， 综上可得，所以实数的最大值为. 【小问3详解】 当时，，曲线过原点，存在至少一条切线. 当时，过原点作曲线的切线，切点设为，， ，所以， 要使过原点作曲线的切线，至少存在一条， 则方程至少存在一个解，即至少存在一个解， 令，， 则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，最大值为， 要至少一个解，则，即， 此时，，，在存在一个解. 综上，. 21. 已知A：，，…，为有穷实数数列.对于实数x，若A中存在，，，…，，使得，则称x为A的连续可表数，将所有A的连续可表数构成的集合记作. （1）设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2.写出和. （2）是否存在数列A，满足，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由； （3）求出所有的整数m，使得存在数列A，满足. 【答案】（1）， （2）不存在，理由：若数列A：，，…，满足，不妨设. 假设数列A只有两项，则中至多3个元素，这与中有5项矛盾，故假设错误， 所以数列A至少3项，即，. 因为数列A：，，…，中任意一项都属于， 所以，所以，解得，所以； 又因为且，所以， 此时，即不存在数列A满足. （3）－5，－4，－3，－2，－1，0，1 【解析】 【分析】（1）根据题中所给定义进行求解即可； （2）运用假设法，结合题中定义进行求解即可； （3）根据题中定义，运用分类讨论思想进行求解即可. 【小问1详解】 数列A：1，2，3，所有A的连续可表数构成的集合， 则，，；，，， 则，同理可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若数列A：，，…，满足， 不妨设.由（2）可知数列A至少3项，即，. ①当时，由， 得，且， 解得，所以，又，所以，即，2； 由（2）可知不成立，所以， 令数列A：1，1，1，1，1，满足； ②当，即时，由， 得，且， 解得，所以，又，则，－6； 当时，令数列A：－1，－1，－1，－1，－1，满足； 当时，由（2）同理可得不成立. ③当时，由，，－3，－2，－1，0. 当时，令数列A：0，1，1，1，1，满足； 当时，令数列A：－1，0，1，1，1，满足； 当时，令数列A：－1，－1，0，1，1，满足； 当时，令数列A：－1，－1，－1，0，1，满足； 当时，令数列A：－1，－1，－1，－1，0，满足； 综上所述，m可能的取值有－5，－4，－3，－2，－1，0，1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆区2024—2025学年第二学期期末试卷 高二数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 3. 已知函数的导函数.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线在点处的切线方程为，则值为（    ） A. 0 B. C. 1 D. 2 6. 下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，则（ ） A. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C. 当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立 D. 当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的二项展开式中，常数项为，则的值为______. 12. 2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从24个节气中选择2个节气，则2个节气恰好在同一个季节的概率为______. 13. 已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为______. 14. 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则______；______. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②当时，有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有； ④存在a，使得在上有四个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 17. 在中，，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 18. 某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 1 4 10 3 2 女生人数 4 4 4 4 4 （1）在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； （2）从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； （3）从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（2）中X的方差大小.（结论不要求证明）. 19. 已知椭圆C：的离心率为且经过点. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点，斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点B，D，且与直线交于点E，点D在线段BE（不包括两端点）上，O为坐标原点，直线EO与直线AB，AD分别交于点M，N，若和的面积为和，求：的值. 20. 已知函数，其中. （1）当时，写出的单调递增区间； （2）若函数的极大值为0，且对，成立，求实数的最大值； （3）若过原点至少存在1条直线与曲线相切，求的取值范围. 21. 已知A：，，…，为有穷实数数列.对于实数x，若A中存在，，，…，，使得，则称x为A的连续可表数，将所有A的连续可表数构成的集合记作. （1）设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2.写出和. （2）是否存在数列A，满足，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由； （3）求出所有的整数m，使得存在数列A，满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $