精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县多校联考2025-2026学年第二学期期末质量检测高一数学 试题

英吉沙县2025－2026学年第二学期期末质量检测 高一数学 试题卷 考试时间：120分钟，考试满分：150分 注意事项： 1.本试卷共150分，测试用时120分钟. 2.本试卷为问答分离式试卷，所有答案一律写在答题卡上，在问卷和其他纸张作答无效. 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 在正方形中, B. 已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C. 零向量可以与任一向量共线 D. 零向量可以与任一向量垂直 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 10，12，16，18，20，22，26，28的第分位数是（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 26 6. 在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A. 2 B. C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（    ） A. 若z为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若点M在第一象限，则 D. 若为z的共轭复数且，则 11. 如图，在棱长都相等的三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，则下列叙述错误的是（ ） A. 与是异面直线 B. 是等边三角形 C. 平面 D. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 在中，，，点在边上.若，，则的值为___________. 13. 边长为4的正三角形，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为___________. 14. 一支探险队有男生24人，女生18人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为7的样本，则女生被抽取的人数为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. （1）求； （2）如图，点M为边上一点，，，求的面积． 16. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 17. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点. （1）求证：平面平面； （2）若平面，求的值. 18. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值． 19. 复数且，对应的点在第一象限内，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 英吉沙县2025－2026学年第二学期期末质量检测 高一数学 试题卷 考试时间：120分钟，考试满分：150分 注意事项： 1.本试卷共150分，测试用时120分钟. 2.本试卷为问答分离式试卷，所有答案一律写在答题卡上，在问卷和其他纸张作答无效. 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 在正方形中, B. 已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C. 零向量可以与任一向量共线 D. 零向量可以与任一向量垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量相等和向量共线的条件逐个分析即可. 【详解】对于A:与模长相等,方向不同,故不成立. 对于B:向量共线指的是其方向相同或相反,不一定在同一条直线上,例如平行四边形中,但四点不共线; 对于C、D:零向量与任意向量共线,但不能说零向量与任意向量垂直.向量垂直指的是两个非零向量成°. 综上,应选C. 故答案为:C. 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法、乘法、共轭复数等知识求得正确答案. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在长方体中还原立体图为四棱锥． 【详解】在长方体中还原立体图为四棱锥如下图所示，由此解得体积为，故选D 【点睛】：由三视图还原几何体，当三角形比较多的时候，一般以长方体为模型，还原三视图．长方体的长、宽、高中的某个量可以对应几何体的高，求解很方便． 4. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，当，时，与可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误， 对于B，因为，，根据线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，当，时，与可能平行，可能在内，故C错误， 对于D，当，时，与可能平行，可能，可能相交不垂直，也可能在内，故D错误， 故选：B 5. 10，12，16，18，20，22，26，28的第分位数是（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据按由小到大重新排序，根据不是整数，则取第7位数． 【详解】先将数据按由小到大重新排序10，12，16，18，20，22，26，28，共8个数据，， 不是整数，所以第分位数是第7个数26. 故选：D 6. 在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量基本定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，， 故选：C. 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找到包含的平面与平面的交线，即可计算的值. 【详解】连结，交于点，连结和，， 因为平面，又平面，且平面平面， 所以，又点是的中点，所以是的中点， 所以 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，得，所以A正确； 由，得，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D正确. 10. 已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（    ） A. 若z为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若点M在第一象限，则 D. 若为z的共轭复数且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据纯虚数、复数的模、共轭复数的定义以及复平面内点所在象限的特征，分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A选项， 已知为纯虚数，则，则，A选项正确. 对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即， 由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确. 对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误. 对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误. 故选：AB. 11. 如图，在棱长都相等的三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，则下列叙述错误的是（ ） A. 与是异面直线 B. 是等边三角形 C. 平面 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据异面直线定义可知A错误，由勾股定理易知可得B错误；利用线面平行判定定理可知C错误；由线面垂直判定定理以及性质定理可知D正确. 【详解】对于A，由异面直线定义可知，，平面，即与不是异面直线，所以A错误； 对于B，不妨设三棱柱的棱长为，易知， 又底面，所以可知，而， 显然，所以不是等边三角形，即B错误； 对于C，取的中点为，连接，如图所示： 又是棱的中点，所以， 因为与平面相交，所以与平面不平行，即C错误； 对于D，取的中点，连接， 又各棱长相等，所以，且底面，即平面， 平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，可得，即D正确. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 在中，，，点在边上.若，，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值. 【详解】设，故， 即， 故， ， 所以 ， 两式相加可得，此式代入（1）式可得 或（舍去）， 代入（1）式可得 故答案为：. 13. 边长为4的正三角形，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为___________. 【答案】##5.75 【解析】 【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算即可求解. 【详解】由于, 所以, 设， 则， 当时，取最小值，且最小值为， 故答案为： 14. 一支探险队有男生24人，女生18人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为7的样本，则女生被抽取的人数为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例关系，列式求解即可. 【详解】女生被抽取的人数为． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. （1）求； （2）如图，点M为边上一点，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将条件边化角，结合平方关系可得解； （2）根据（1）可求得，进而可求得，根据余弦定理，可求得，进而可求得，代入面积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由及正弦定理，得 ， 因为，所以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 设， 易知，则， 在中，由余弦定理，得， 即，解得 (负值已舍去)， 所以， 在中，， ，即， 又，则， 所以. 所以. 16. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）300人 （3） 【解析】 【分析】（1）由所有频率之和为1求解； （2）由年龄在内的频率计算求解； （3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解. 【小问1详解】 由题可知组距为， 则： 解得：. 【小问2详解】 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为： 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人. 【小问3详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为： . 17. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点. （1）求证：平面平面； （2）若平面，求的值. 【答案】 （1）因为，所以， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 又，在平面内，，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）证明，即可得平面，由面面垂直的判定定理即可求证； （2）连接，相交于点，由线面平行的性质定理可得，再由平行线分线段成比例即可求解. 【详解】（1）略 （2）如图，连接，相交于点， 因为平面，面，面面， 所以，所以. 18. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值． 【答案】 【解析】 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】解：以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图， 设，则，，，，等于与所成的角． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，熟记向量的夹角公式，灵活运用建系的方法求解即可，属于常考题型． 19. 复数且，对应的点在第一象限内，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数，的值． 【答案】，. 【解析】 【分析】利用复数乘方运算、除法运算求出复数z，再结合复数的几何意义计算作答. 【详解】依题意，， ，复数0，，对应的点，，， 而复数0，，对应的点是正三角形的三个顶点，又， 于是得，又点在第一象限内，则有，，解得， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $