精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

英吉沙县2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A. B. C. D. 6. ，是两个平面，m，n是两条直线，则（ ） A 如果，，那么 B. 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，那么 D. 如果，n与相交，那么m，n异面直线 7. 某校举办了校园歌手大赛，参加总决赛的10名同学的成绩（单位：分）为73，82，84，70，74，88，92，80，79，90，则这10名同学成绩的第60百分位数为（ ） A. 80 B. 82 C. 83 D. 84 8. 在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现小于5的奇数点数”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 事件或至少有一个发生的概率为 10. 正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段上的动点（不包括两个端点），则（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 正方体的外接球表面积为 C. 存P点，使得 D. 当P为线段中点时，过A，P，O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为 11. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总数为 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C. 该校高一学生中选考物理人数比选考历史的人数多 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（在同一水平面上）测得M点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离为________m． 13. 如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为____________． 14. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 16. 如图所示，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四面体的体积. 17. 某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共1200名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）整理后得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计样本成绩的中位数（结果精确到小数点后1位）； （3）若测验成绩不低于80分的同学被定义为“地理爱好者”.试估计全年级“地理爱好者”的人数. 18. 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. （1）求丙投篮命中的概率； （2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 19. 点直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记． （1）若在正方体的棱的延长线上，，，由对施以视角运算，求的值； （2）若是的角的对边，且，D在线段AB上，由点对施以视角运算，，求的最小值． （3）若是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 英吉沙县2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可求解. 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则法则计算即可. 【详解】. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再由得到计算可得. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：B. 4. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解. 【详解】在正方体中，连接，，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为异面直线与所成角， 不妨设，则，， 取的中点，因为，所以， 在直角中，可得. 故选：B. 5. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C． 【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 6. ，是两个平面，m，n是两条直线，则（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，那么 D. 如果，n与相交，那么m，n是异面直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系及线线位置关系判断各个选项. 【详解】如果，，那么或相交或异面，A选项错误； 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交或平行，B选项错误； 如果，，那么无交点，所以，C选项正确； 如果，n与相交，那么m，n是异面直线或相交直线，D选项错误； 故选：C. 7. 某校举办了校园歌手大赛，参加总决赛的10名同学的成绩（单位：分）为73，82，84，70，74，88，92，80，79，90，则这10名同学成绩的第60百分位数为（ ） A. 80 B. 82 C. 83 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义直接求解即可. 【详解】将所给数据按照从小到大的顺序排列：， 因为，所以这10名同学成绩第60百分位数为. 故选：C. 8. 在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，得到为外接球的球心，且，设，求得三棱锥的体积为，得到取得最大值，在中，利用余弦定理，求得的值，结合球的截面圆的性质，得到截面圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现小于5的奇数点数”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 事件或至少有一个发生的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各事件包含的点数，然后由概率公式计算出概率后判断各选项． 【详解】事件A表示“出现的点数为1，3”，事件表示“出现的点数为5，6”，可知互斥，所以错误. 事件表示“出现的点数为1，3”，所以，而，B正确. 由上知，所以，C正确. 因为，所以D正确. 故选：BCD． 10. 正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段上的动点（不包括两个端点），则（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 正方体的外接球表面积为 C. 存P点，使得 D. 当P为线段中点时，过A，P，O三点平面截此正方体外接球所得的截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用反证法，由此判断A；求正方体的外接球的半径，结合球的体积公式判断B；根据勾股定理判断C；根据球的截面性质判断D. 【详解】假设存在点P，使得平面， 在上取点，使得，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，又 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面，又平面，,平面， 所以平面平面，与已知矛盾， 所以不存在点P，使得平面，A正确； 正方体的外接球的球心为的中点，外接球的半径， 所以正方体的外接球表面积，B正确； 假设存在P点，使得，在线段上取点使得, 设，则，，， 因为，所以， 所以，解得，与已知矛盾；C错误； 取的中点，因为P为线段中点时，连接交与点， 所以，又， 所以，故过A，P，O三点的平面为平面， 取的中点，过作，垂足为， 又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 过球心作，则平面， 所以正方体的外接球的球心到截面的距离为的长， 又， 所以，因为为的中点，所以， 故截面圆的半径为， 所以截面圆的面积，D正确； 故选：ABD 【点睛】本题为立体几何综合问题，考查面面平行的证明，正方体的外接球，求得截面问题，解决球的截面问题的关键在于合理使用球的截面的性质. 11. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总数为 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据政史地的人数和占比求出高一学生总数判断A，根据选考物化地和物化政组合 的人数相等和图表中的信息求出各选科的人数判断BC，利用分层抽样的特点判断D. 【详解】由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为人，占比， 所以该校高一学生总数为人，A说法正确； 由扇形图可知选择物化生的人数为人， 所以选择物化地和物化政的人数为人， 又因为选考物化地和物化政组合的人数相等， 所以选考物化地和物化政组合的人数均为人，B说法错误； 该校高一学生中选考物理的人数有人，选考历史的人数有人， 选考物理的人数比选考历史的人数多，C说法正确； 因为选考生史地的学生人数占比为， 所以用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人，D说法正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（在同一水平面上）测得M点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离为________m． 【答案】 【解析】 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故答案为： 13. 如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的外接球即是正方体的外接球，运算得解. 【详解】设正方体外接球的半径为，则，即， 由题，三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为：. 14. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数是纯虚数，可知其实部为0，虚部不为0，据此列出方程组求解即可. 【详解】解：依题意有解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查复数的概念,实部、虚部的辨析，考查运算求解能力，属于基础题型. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 16. 如图所示，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）设为的中点，连接、，根据中位线定理与平行公理得∥，进而得平面； （2）先证平面，再根据（1）得平面，进而得平面平面； （3）由（2）得为四面体的高，再根据几何关系计算体积即可. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接、， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴∥， ∵平面，平面 ∴平面； （2）证明：∵，是的中点 ∴， 又∵平面，平面， ∴， ∵，， ∴平面， ∵， ∴， ∵， ∴平面， ∴平面，平面， ∴平面平面； （3）由（2）知，平面， ∴为四面体的高， 又， ∴，，， ∴， ∴ 四面体的体积. 【点睛】本题考查线面平行与面面垂直的证明，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题. 常见的线面平行的证明方法有：①通过面面平行得线面平行；②通过线线平行得线面平行，再证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形性质； 证明面面垂直，常转化为 证明线面垂直，常见的线面垂直的方法有：①通过面面垂直的性质得线面垂直；②利用线面垂直的判定定理证明，再证明线线垂直时，又通常通过线面垂直得线线垂直，或由几何关系结合勾股定理得线线垂直. 17. 某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共1200名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）整理后得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计样本成绩的中位数（结果精确到小数点后1位）； （3）若测验成绩不低于80分的同学被定义为“地理爱好者”.试估计全年级“地理爱好者”的人数. 【答案】（1） （2）81.4 （3）660人 【解析】 【分析】（1）根据概率之和为即可求解； （2）找到中位数所在的组，列出方程即可求解； （3）根据题意列式求解. 【小问1详解】 由题意得，解得； 【小问2详解】 ，中位数在这一组， 设中位数的估计值为，则， 解得，即样本成绩的中位数约为81.4； 【小问3详解】 全年级“地理爱好者”约有人. 18. 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. （1）求丙投篮命中的概率； （2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解； （3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解. 【小问1详解】 设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件， 由题意可知，，，， 则，, 所以丙投篮命中的概率为； 【小问2详解】 甲和乙命中，丙不中为事件， 则， 所以甲和乙命中，丙不中的概率为； 【小问3详解】 甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件， 则, 19. 点是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记． （1）若在正方体的棱的延长线上，，，由对施以视角运算，求的值； （2）若是的角的对边，且，D在线段AB上，由点对施以视角运算，，求的最小值． （3）若是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：． 【答案】（1） （2）36 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入视角运算公式，结合三角函数运算公式，即可求解； （2）代入视角运算公式，以及面积运算公式，得到，再利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解； （3）由几何关系，结合视角运算公式，得到则，，相乘后即可证明. 【小问1详解】 因为，所以,则 ， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 则， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为36． 【小问3详解】 如图，因为是的等分点， 所以，． 在中，由正弦定理可得， 则． 在中，同理可得． 因为，所以， 则． 同理可得． 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$