2026年山东泰安市泰山区东岳中学等校中考考前自测数学试题

**基本信息** 立足核心素养，融合文化传承与生活实践，如第7题《张邱建算经》饮酒问题、第18题粽子销售问题，梯度覆盖基础巩固与创新应用，适配九年级三模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数（1）、三视图（2）、科学记数法（3）|结合数轴抽象无理数（1），体现数学眼光| |填空题|5/20|分式（11）、折叠变换（12）、增长率（14）|折叠问题（12）考查空间观念，培养数学思维| |解答题|8/90|函数综合（20）、几何旋转（23）、实际应用（18）|23题旋转综合题（18分），需推理论证，发展推理能力；18题销售问题，建立方程模型，体现数学语言表达|

九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（　　） A．m，n均为有理数 B． C．4＜m﹣n＜5 D．4＜m+n＜5 2．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．安徽省2025年夏粮早稻总产量838.6亿斤，838.6亿用科学记数法表示为（　　） A．838.6×108 B．8.386×109 C．8.386×1010 D．0.8386×1011 4．下列计算中正确的是（　　） A．a3÷a＝a3 B．a3•a2＝a6 C．a3+a3＝a6 D．（﹣a3）2＝a6 将两个三角形纸片按如图所示的方式叠放在一起，若∠D＝30°，∠CAB＝45°，AC∥DE，则∠BAD的度数为（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 6．已知四根电线中三根电线通电，小明做实验需要两根电线，他从四根电线中，随意选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（　　） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟九斗，醑酒一斗直粟四斗．今持粟五斛，得酒七斗，问清、醑酒各几何？意思是：现有一斗清酒价值9斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿50斗谷子，共换了7斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　） A．1 B． C．2 D．3 9．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（　　） A．y＝300x B．y＝300+x C． D． 10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点，连接BD，点E、点F分别为BD、AB上两动点，过点F作FH⊥BC于点H，当AE+EF+FH取最小值时，，则△ABC的面积是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11若分式的值为0，则x＝　 　 ． 12．如图，将一张长方形纸片ABCD按如下步骤折叠：（1）如图1，将纸片对折，点B落在点C处，得到折痕MN后展开纸片；（2）如图2，将∠BMN对折，点B落在折痕MN上的点B′处，得到折痕ME；（3）如图3，将∠CME对折，点C落在折痕ME上的点C′处，得到折痕MH，则∠EMH的度数为 　 　 度． 13．小明在一台计算器上看到有一个符号“log”，他进行了输入运算实验，发现log100＝2，log1000＝3，log10000＝4⋯，随着x的增大，logx的值增大，若a、b是两个相邻的整数，a＜1og20222023＜b，则a+b＝　 　 ． 14．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点O、O1、A、A1、B、B1、C…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C…在x轴正半轴上，∠AOO1＝45°，OA＝1，AB＝2，BC＝3，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 17．（10分）下面是小乐设计的利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形的尺规作图过程． 已知：矩形ABCD． 求作：菱形AEFD，使∠EAD＝45°． 作法：①作∠BAD的角平分线AP； ②以点A为圆心，以AD长为半径作弧，交射线AP于点E； ③分别以点E，D为圆心，以AD长为半径作弧，两弧交于点F，连接EF，DF，则四边形AEFD即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，完成②③步的尺规作图（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形AEFD是菱形的依据　 　 ； ②连结BE，CF，四边形BEFC的形状是　 　 ，依据是　 　 ． 18．（10分）端午节是中国的传统节日之一，端午节主要有包粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进的甲种粽子比乙种粽子多20袋．甲种粽子的每袋价格是乙种粽子每袋价格的1.2倍． （1）求甲、乙两种粽子每袋的价格； （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共120袋．若总金额不超过1300元，最多购进多少袋甲种粽子？ 19．（10分）4月22日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分，学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）此次测试中被抽查学生成绩的中位数为　 　 分； （3）求被抽查学生的平均成绩； （4）学校决定，给成绩在9分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校2000名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 20．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点（2，4）． （1）用含a的代数式表示b； （2）当0≤x≤3时，二次函数y＝ax2+bx+4的最小值为2a﹣2，求a的值； （3）将函数y＝ax2+bx+4（a＞0）的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当OP最小时，△POQ的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 21．（10分）如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂AB和曲臂BC可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为∠OAB和∠ABC，且当张角满足85°≤∠OAB≤165°，70°≤∠ABC≤165°时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知AO⊥OD，CD⊥OD，且AO＝4m，当伸缩臂AB和曲臂BC完全伸出时，AB长为40m，BC长为6m． （1）如图2，若BC∥OD，∠OAB＝120°，求CD的长； （2）如图3，当∠OAB，∠ABC达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时CD的长． （参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，1.73，结果保留整数．） 22．（12分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交AC于点P． （1）用含m的代数式表示线段PN的长度，并求出其最大值； （2）若，求点P的坐标． 23．（18分）如图，等边三角形ABC，点D为边AC上一动点，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE交直线AC于点F． （1）如图1，若∠FDE＝45°，，求AF的长度； （2）如图2，当B，A，E三点共线时，连接CE，点G为BD中点，连接AG，过点G作GH⊥CE于点H，请猜想AG，EH的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接AE，点D在边AC上运动时，点P为线段AB上一点，点Q为线段BD上一点，连接CP，CQ，且AP＝BQ，当AE以及CQ+CP均最小时，连接CE，若AB＝6，直接写出当AE以及CQ+CP均最小时对应△CPE的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D C C A B C C 11．﹣2． 12． 67.5． 13． 15． 14 . 20%． 15．（21，3）． 16．（1）﹣5+2； （2）2a﹣12． 解：（1） ＝（﹣2）+2（3） ＝（﹣2）3 ＝﹣5+2； （2） • ＝2a﹣12． 17．（1）如图，四边形AEFD即为所求菱形； （2）①四条边相等的四边形是菱形；平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 解：（1）如图，四边形AEFD即为所求菱形． （2）①∵由作图可知：AE＝AD，EF＝AD，DF＝AD， ∴AE＝EF＝DF＝AD， ∴四边形AEFD是菱形（依据：四条边相等的四边形是菱形）； ②∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵四边形AEFD是菱形， ∴EF＝AD，EF∥AD， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BEFC是平行四边形（依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：四条边相等的四边形是菱形；平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 18．（1）甲种粽子每袋的价格是12元，乙种粽子每袋的价格是10元； （2）最多购进50袋甲种粽子． 解：（1）设乙种粽子每袋的价格是x元，则甲种粽子每袋的价格是1.2x元， 根据题意得：20， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝1.2×10＝12（元）． 答：甲种粽子每袋的价格是12元，乙种粽子每袋的价格是10元； （2）设购进y袋甲种粽子，则购进（120﹣y）袋乙种粽子， 根据题意得：12y+10（120﹣y）≤1300， 解得：y≤50， ∴y的最大值为50． 答：最多购进50袋甲种粽子． 19．（1）见解答； （2）8； （3）8分； （4）600人． 解：（1）B等级人数为：20﹣4﹣6﹣8＝2， （2）此次测试中被抽查学生成绩的中位数为8分， 故答案为：8； （3）此次测试中被抽查学生的平均成绩为： （分）； （4）根据题意得：2000600（人）， 答：估计该校2000名学生中约有600人将获得“生态保护先锋”称号． 20．（1）b＝﹣2a； （2）a的值为﹣6或2； （3）P（﹣2，2），点Q（﹣1，5）或（，）． 解：（1）把点（2，4）代入二次函数y＝ax2+bx+4得， 4＝4a+2b+4， ∴b＝﹣2a； （2）由（1）得y＝ax2﹣2ax+4， ∴对称轴为直线x1， 当a＜0时，满足0≤x≤3的最小值是当x＝3时， ∴y＝9a﹣6a+4＝2a﹣2， ∴a＝﹣6， 当a＞0时，满足0≤x≤3的最小值是当x＝1时， ∴y＝a﹣2a+4＝2a﹣2， ∴a＝2， 综上a的值为﹣6或2； （3）由y＝ax2﹣2ax+4得，顶点为（1，﹣a+4）， ∵图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴顶点P为（1﹣a，﹣a+5）， ∴顶点P在直线y＝x+4上， ∴当点P为（﹣2，2）时OP最小， ∴a＝3，平移后的新函数为y＝3（x+2）2+2＝3x2+12x+14， ∴直线OP为y＝﹣x， 设Q（x，3x2+12x+14）， ∵△POQ的面积为4， ∴2×（3x2+12x+14+x）＝4， 解得x＝﹣1或x， ∴点Q（﹣1，5）或（，）． 21．（1）24m； （2）48m． 解：（1）过点B作BE⊥OD于点E，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线交CD于点H，如图2所示： ∵AO⊥OD，CD⊥OD，BC∥OD， ∴BC⊥CD，AH⊥CD， ∴∠AOD＝∠CDO＝∠BCD＝∠AFB＝∠CHA＝90°， ∴四边形AODH和四边形BCHF均为矩形， ∴DH＝AO＝4m，CH＝BF，∠OAH＝90°， ∵∠OAB＝120°， ∴∠BAF＝∠OAB﹣∠OAH＝120°﹣90°＝30°， 在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝40m，sin∠BAF， ∴BF＝AB•sin∠BAF＝40×sin30°＝20（m）， ∴CH＝BF＝20m， ∴CD＝CH+DH＝20+4＝24（m）． 答：此时CD的长为24m． （2）过点A作AM⊥CD于点M，过点B作BN⊥CD于点N，BP⊥AM于点P，如图3所示： ∵AO⊥OD，CD⊥OD， ∴∠AOD＝∠CDO＝∠AMN＝∠BNM＝90°， ∴四边形AODM和四边形BNMP均为矩形， ∴MD＝AO＝4m，NM＝BP，∠OAM＝∠PBN＝90°， 依题意得：当∠OAB，∠ABC达到最大角度时，则∠OAB＝165°，∠ABC＝165°， ∴∠BAP＝∠OAB﹣∠OAM＝165°﹣90°＝75°， 在Rt△ABP中，∠ABP＝90°﹣∠BAP＝15°，AB＝40m，sin∠BAP， ∴BP＝AB•sin∠BAP＝40×sin75°≈40×0.97＝38.8（m）， ∴NM＝BP＝38.8m， 在Rt△BCN中，∠CBN＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠PBN＝165°﹣15°﹣90°＝60°，BC＝6m， ∴sin∠CBN， ∴CN＝BC•sin∠CBN＝6×sin60°＝3√3≈3×1.73＝5.19（m）， ∴CD＝CN+NM+MD＝5.19+38.8+4＝47.99≈48（m）． 答：此时CD的长48m． 22．（1），PN最大值为； （2）点P的坐标为． 解：（1）抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 当y＝0时，得：x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1； 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）． 设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3． ∵点N的横坐标为m， ∴N（m，m2+2m﹣3），P（m，﹣m﹣3）． ∴PN＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m， ∴， ∵﹣1＜0，﹣3＜m＜0， 当时，PN取最大值； （2）∵MN⊥x轴，P（m，﹣m﹣3）， ∴PM＝﹣（﹣m﹣3）＝m+3， ∴， 解得：（经检验，方程的解）m＝﹣3（经检验，是增根，舍去）． 此时点P的坐标为． 23．（1）； （2）； 证明：连接CG，延长CG至点Q使得GQ＝CG，连接BQ，如图2， ∵点G为BD中点， ∴BG＝DG， 在△CDG和△QBG中， ， ∴△CDG≌△QBG（SAS）， ∴∠QBG＝∠CDG，BQ＝CD， ∵将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE， ∴BD＝DE，∠BDE＝120°， ∵B，A，E三点共线， ∴， ∴， ∵AB＝BC， BD⊥AC，AD＝CD， ∴BD为AC中垂线， ∴CG＝AG，∠CDB＝90°，AD＝CD， ∴∠QBD＝∠CDG＝90°， ∴∠CBQ＝∠CBD+∠QBD＝120°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠CAE＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠CAE＝∠CBQ， ∵∠AED＝30°， ∴∠ADE＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴BQ＝CD＝AD＝AE， ∴△CBQ≌△CAE（SAS）， ∴CE＝CQ＝2CG，∠ACE＝∠BCQ， ∴∠ACE+∠ACQ＝∠BCQ+∠ACQ＝∠BCA＝60° ∴∠GCE＝60°， ∵GH⊥CE， ∴∠CGH＝30°， ∴， ∴； ∴； （3）当AE以及CQ+CP均最小时对应△CPE的面积为． 解：（1）过点F作FH⊥BC于点H， ∵将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE， ∴∠BDE＝120°，BD＝DE， ∴∠BDC＝120°﹣∠FDE＝75°，∠DBE＝∠DEB＝30°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠CBD＝∠FDB﹣∠C＝15°， ∴∠FBH＝∠DBE+∠DBC＝45°， 在Rt△BFH中，， 在Rt△CFH中，∠C＝60°，FH＝3， ∴∠CFH＝30°， ∴CF＝2CH，， ∴， ∴ ∴； （2）； 证明：连接CG，延长CG至点Q使得GQ＝CG，连接BQ，如图2， ∵点G为BD中点， ∴BG＝DG， 在△CDG和△QBG中， ， ∴△CDG≌△QBG（SAS）， ∴∠QBG＝∠CDG，BQ＝CD， ∵将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE， ∴BD＝DE，∠BDE＝120°， ∵B，A，E三点共线， ∴， ∴， ∵AB＝BC， BD⊥AC，AD＝CD， ∴BD为AC中垂线， ∴CG＝AG，∠CDB＝90°，AD＝CD， ∴∠QBD＝∠CDG＝90°， ∴∠CBQ＝∠CBD+∠QBD＝120°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠CAE＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠CAE＝∠CBQ， ∵∠AED＝30°， ∴∠ADE＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴BQ＝CD＝AD＝AE， ∴△CBQ≌△CAE（SAS）， ∴CE＝CQ＝2CG，∠ACE＝∠BCQ， ∴∠ACE+∠ACQ＝∠BCQ+∠ACQ＝∠BCA＝60° ∴∠GCE＝60°， ∵GH⊥CE， ∴∠CGH＝30°， ∴， ∴； ∴； （3）当AE以及CQ+CP均最小时对应△CPE的面积为．理由如下： 延长CA至点F，使AF＝AC，则：AF＝AB，∠BAF＝120°， ∴∠ABF＝∠AFB＝30°， ∴∠ABF＝∠DBE＝30°，∠BAF＝∠BDE＝120°， ∴△BAF∽△DBE， ∴， ∴， ∵∠FBE＝∠ABD＝30°+∠EBA， ∴△FBE∽△ABD， ∴∠BFE＝∠BAD＝60°， ∴∠AFE＝∠BFE﹣∠AFB＝30°， ∴点E在直线EF上运动， ∴当AE⊥EF时，AE最小， 此时∠FAE＝60°， ∴∠BAF+∠FAE＝180°， ∴当AE最小时，点B，A，E三点共线， 由（2）可知，此时D为AC中点，，， 如图4，将AB绕点A旋转30°，得到AH，连接PH，CH，则：AH＝AB＝BC＝AC，∠PAH＝30°＝∠CBQ，∠CAH＝∠BAC+∠BAH＝90°， ∴△AHC为等腰直角三角形， ∴∠H＝45°， 又∵BQ＝AP， ∴△BCQ≌△AHP（SAS）， ∴CQ＝HP， ∴CQ+CP＝HP+CP≥CH， ∴当C，P，H三点共线时，CQ+CP有最小值， 过点P作PM⊥AH， ∵∠H＝45°，∠BAH＝30°， ∴PM＝HM，AP＝2PM， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图5，当AE以及CQ+CP均最小时，P，E位置如图，则：， 过点CN⊥AB，则：，， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/13 10:06:46；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@163.com；学号 第19页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 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