1.4 二次函数与一元二次方程（知识解读）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系这一核心知识点，系统梳理抛物线与x轴交点的横坐标即为方程根、交点个数与根的情况的对应关系，进而延伸到利用函数图象求方程近似解的步骤，以及二次函数与一元二次不等式的关系及解法，构建从概念到应用的学习支架。 资料以7大题型（如抛物线与x轴交点、利用图象确定根的情况等）为主线，每个题型配套例题与变式，通过图表分析培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）。随堂检测助力课后查漏补缺，课中教师可依托题型教学提升效率，学生通过实例掌握用数学语言（表格、图象）表达关系的方法。

1.4二次函数与一元二次方程（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 抛物线与x轴的交点】 3 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 3 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 4 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 5 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 6 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 7 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 7 【随堂检测】................................................................................................................................................................8 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【题型1 抛物线与x轴的交点】 【例1】已知二次函数的部分图象如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解________． 【变式1-1】二次函数的图象与轴有_____个交点． 【变式1-2】若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【变式1-3】二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 【例2】根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【变式2-2】如图是二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】二次函数（为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示．根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 【例3】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例4】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【变式4-2】设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 【例5】如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【变式5-1】如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式5-2】如图是二次函数的部分图象，时自变量x的取值范围是（    ）    A． B． C．且 D．或 【变式5-3】二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D．或 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 【例6】函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式6-2】在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 【变式6-3】已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 【例7】一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【变式7-1】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【变式7-2】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【变式7-3】如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是______． 随堂检测c 1．函数与轴的交点个数情况为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 3．在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 5．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 6．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 7．已知与之间的函数关系式为，则当时，______． 8．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 9．如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 10．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4二次函数与一元二次方程（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 抛物线与x轴的交点】 3 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 5 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 7 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 9 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 11 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 13 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 15 【随堂检测】................................................................................................................................................................18 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【题型1 抛物线与x轴的交点】 【例1】已知二次函数的部分图象如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用了对称的性质，求出抛物线的对称轴是解本题的关键． 先求出对称轴，再根据对称的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】二次函数的图象与轴有_____个交点． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，令，求出函数的图象与轴的交点，即可得出答案． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， ∴二次函数的图象与轴有2个交点． 故答案为：2． 【变式1-2】若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 【变式1-3】二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案为：和． 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 【例2】根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系． 将方程转化为，方程的根即为二次函数中函数值为3时对应的值，通过表格查找对应即可求解． 【详解】解：∵方程可变形为， ∴该方程的根是二次函数的函数值为3时对应的值， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：B． 【变式2-1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 【变式2-2】如图是二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程的根的关系，掌握二次函数图像与坐标轴的交点，对称轴的特点是关键． 根据二次函数与x轴的交点，对称轴的计算求解即可． 【详解】解：二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线， ∴， ∴与轴的另一个交点是， ∴关于的一元二次方程的解是， 故选：A． 【变式2-3】二次函数（为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示．根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，通过观察函数值的变化，发现当 从 到 时， 从正数变为负数，根据连续函数的性质，方程 在此区间内存在一个根，且为负数解． 【详解】解： 当 时，； 当 时，； 又因为二次函数 是连续函数， 所以在 区间内，必存在 使得 ，即方程 有一个负数解在此区间内； 故选B． 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 【例3】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【变式3-1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 【变式3-3】已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于，利用求解． 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例4】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 【变式4-1】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【变式4-2】设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 【变式4-3】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解对应二次函数的函数值为0时的值，根据表格中函数值的正负变化可确定解的范围． 【详解】解：令（，为常数） ∵当时， ∵当时， ∴在时，二次函数的函数值会从负变为正，即存在使得 ∴方程的一个解的范围是 故选：C． 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 【例5】如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 【变式5-1】如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查图象法解不等式，先根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点的坐标是， ∴与轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：一元二次不等式的解集是或； 故选A． 【变式5-2】如图是二次函数的部分图象，时自变量x的取值范围是（    ）    A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，根据图象即可解决问题． 【详解】由图可知，二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， 由对称性可知，另一个交点为， 故当或，， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围． 【变式5-3】二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点坐标求解即可． 【详解】∵二次函数与x轴交于点， 二次函数开口向上， ∴关于的不等式的解集是或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当时，利用图象得出不等式解集是解题关键． 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 【例6】函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向上，当时，有最小值， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为． 故选：D． 【变式6-1】已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 【变式6-2】在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 故选：C． 【变式6-3】已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 【例7】一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 【变式7-1】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 【变式7-2】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 【变式7-3】如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查函数交点的意义，函数图像与不等式的关系，把不等式关系转化为图像的位置关系是解题关键． 把不等式转化为函数图像的上下位置关系，找到交点横坐标作为分界点，再观察图像走势确定满足条件的取值范围． 【详解】解：由图可知，二次函数与一次函数的交点的横坐标为，交点的横坐标为， 则时，的取值范围为或． 故答案为：或． 随堂检测c 1．函数与轴的交点个数情况为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程，如果二次函数的图象与轴有交点，交点的横坐标为一元二次方程的实数根． 【详解】如果二次函数的图象与轴有交点，交点的横坐标为一元二次方程的实数根． 在一元二次方程中，，，，可得 ． 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 所以函数与轴的交点为个． 故选：C 2．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式求解．抛物线与x轴只有一个公共点，则关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：A 3．在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题依据抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式这一性质，通过将选项中点的横坐标代入解析式计算纵坐标，与选项中的纵坐标对比，即可判断点是否在抛物线上． 【详解】解：∵若点在抛物线上，则其坐标满足， ∴将D选项的横坐标代入解析式得； ∴点在抛物线上； ∵将A选项代入得，B选项代入得，C选项代入得 ∴A、B、C选项的点均不在抛物线上 综上，答案为D． 4．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 5．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 6．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 7．已知与之间的函数关系式为，则当时，______． 【答案】 【详解】解：把代入，得． 8．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数交于和两点由函数图象可得， 当或者时，一次函数在二次函数下方，即， ∴或者时，． 故答案为：或． 9．如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线的表达式，进而求出，将代入抛物线解方程即可得到答案； （2）先求出抛物线与直线交于点和点的坐标，找出抛物线在直线下方部分，得出对应的范围即可． 【详解】（1）解：直线与 轴交于点， ，则直线， 当时，，解得，即， 抛物线与直线交于点， ，解得； （2）解：关于的不等式的解集就是抛物线在直线下方部分对应的的取值范围， 联立，消去得， ，解得或， 或， 、， 当或时，抛物线在直线的下方， 关于的不等式的解集是或． 10．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $