第一章特殊平行四边形暑假预习单元检测卷 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质、判定及综合应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配九年级暑假预习检测，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|矩形性质与判定、菱形性质计算、中点四边形判定|结合实际情境（如检测窗户是否为矩形），考查概念辨析与几何直观| |填空|4题20分|矩形动态问题、正方形坐标系应用、动点最值|设置开放性问题（如整数解）和模型应用（公园跑道设计），培养模型意识| |解答题|6题60分|菱形判定、正方形折叠综合证明、图形变换计算|多问递进设计（如从证明到计算），融合推理能力与运算能力，贴合中考命题趋势|

第一章特殊平行四边形暑假预习单元检测卷新北师大版2026—2027学年九年级数学上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 2．在数学实践课上，老师要求各小组设计检测学校窗户玻璃是否为矩形的方案，下列四个小组提交的方案中，可行的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量一组邻边是否相等 D．测量对角线是否相等且互相平分 3．如图，已知四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 4．如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（     ） A． B．6 C． D．12 5．如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（     ） A． B．6 C． D． 7．如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（     ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 8．如图，已知正方形的边长为12，点是边上一点，在边的延长线上取一点，使，连接，，与交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．在矩形中，，，边上有一点，边上有一点，且，当的长为整数时，的长为______________________． 10．在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在 轴的上方，其中，，则点的坐标为__________． 11．如图，在中，，，于点，于点，且点是的中点，的周长是13，则_______ ． 12．如图，在一个长方形公园中，，，凉亭在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点在点左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时长为________m． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知：在平行四边形中，点E为对角线的中点，连接，且． (1)如图1，求证：平行四边形是菱形； (2)如图2，，于点F，延长交于点G，连接．在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，每条线段的长度是线段长度的倍． 14．如图，在中，，D是边上的一点，且，过点B作，过点C作，交点为E；记的周长为，的周长为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求AC的长． 15．已知四边形是正方形，点是延长线上一点，点是上一点，． (1)如图1，求证：； (2)连接交于点，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若正方形边长为8，点是的中点，求的值． 16．如图，在菱形中，对角线，交于点，，，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 17．如图1，在正方形中，点E为对角线上一动点，设，满足，P为点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F． (1)求的度数（用含α的式子表示）； (2)用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； (3)连接，若，，直接写出的长． 18．如图，在正方形中，点E在上，连接，以为边作正方形，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)设正方形的边长为，则当的长最小时，求的长（用含的代数式表示）． 参考答案 1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．或或 10． 11．10 12． 13．(1)证明：点E为对角线的中点，， 是的垂直平分线， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； （2）解：、， ， 由（1）知，平行四边形是菱形， ， ， ， 、是等边三角形， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 点E为对角线的中点， ， ， ， 在中，， ， ， 综上所述，，，，四条线段，每条线段的长度是线段长度的倍． 14．(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵，D是边上的一点，且， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 15．(1)证明：∵四边形是正方形， ，， ， 则， 即， 在与中， ， ， ； (2)①证明：如图，过点作交于， 则， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，则， ， 又， 在与中， ， ， ， 点为的中点， 是的斜边上的中线， ， 在中，，则， ， ； ②过点作交于，如图， 正方形边长为8， 是的中点，是等腰直角三角形， ， ， 又， ， 由①知， ，则． 16．(1)证明：∵，， 四边形是平行四边形， 在菱形中，， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ，，，， ∵， 是等边三角形， ∴， ∵在菱形中，， ，， ， 四边形的面积． 17．【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 根据对称可得，， ∴，， ∴， ∴． (2), 证明：作交于，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 根据（1）可知， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点D作交的延长线于点Q，则， 根据（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)证明：∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形和都是正方形， ∴，，， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∴点三点在同一条直线上， 如图，过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）解：如图，过点作于点， 由（2）已得：点三点在同一条直线上，，， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴， 由（2）已得：， ∴点的运动轨迹是在以点为顶点，为一边，向右边作角的另一条边上， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， 此时为等腰直角三角形，， ∴， ∴在中，， 又∵四边形是正方形， ∴， 即当的长最小时，． 学科网（北京）股份有限公司 $