第一章特殊平行四边形单元测试卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 特殊平行四边形单元卷，覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过图形变换、动态问题设计，培养几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|矩形折叠（第1题）、菱形面积（第3题）、正方形角度计算（第4题）|结合图形变换，考查空间观念| |填空题|6|菱形中点性质（第11题）、矩形动态点运动（第13题）|设置动态问题，发展创新意识| |解答题|8|菱形证明（17题）、矩形判定（18题）、正方形综合探究（24题）|注重推理能力，关联真题中图形证明与计算结合趋势|

第一章特殊平行四边形单元测试卷 一、单选题 1．如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用矩形的性质和平行线的性质得到，结合折叠性质得到，从而证得，推出，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质可得：， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ． 2．如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（     ） A． B． C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，然后求出对角线的长即可求解． 【详解】解：∵菱形的边长是8，， ∴，， ∵， ∴， 设交于点， ∴在中，，， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积是． 4．如图，在正方形中，点是边上一点，连接、交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据邻补角定义求出的度数，再在中求出的度数，最后在中利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E在边上，， ∴， 在中，， 在中，． 5．如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点M作于点E，根据正方形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于点E， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 6．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的判定定理，在菱形的基础上，只要添加条件或者即可证明四边形为正方形，逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，该条件无法推出它是正方形，不符合题意； 选项B：，不能直接让菱形成为正方形，不符合题意； 选项C：四边形是菱形，添加条件后，直接符合正方形的判定要求，因此选项C正确； 选项D：和四边形成为正方形没有必然关系，不符合题意． 7．如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，结合求出，判定为等边三角形，从而求出对角线长度，再利用勾股定理求出长，最后计算面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴矩形的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 9．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 10．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线段的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 二、填空题 11．如图，在菱形中，、分别为、的中点，如果，，那么菱形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线的性质定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接，根据三角形中位线定理可得；再根据菱形的性质可得，，，；再根据直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到，则，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵M、N分别为、的中点，， ∴， ∵在菱形中， N分别为的中点，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 12．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则_____． 【答案】/度 【分析】根据矩形的性质可得，得出，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵在中，为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴． 13．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为________． 【答案】或； 【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 14．如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【答案】50 【分析】过点A作交于点G，根据角平分线的性质可知，．再证明，得到，，，则四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴． 15．如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，作，垂足为，交于，则，，证明和均为等边三角形，推出，可得，当时最小，即的长度，然后利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，作，垂足为，交于， 由旋转得，，， ∴，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴当点，，M，E四点共线时最小，即的长度， ∵点E为边上任意一点， ∴当时，即点E和点H重合时，取得最小值，即的长度， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 16．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，点，分别在的边，上，，连接，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2)24 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，在中，利用勾股定理可得，，再由菱形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 18．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形 (2) 【分析】（1）先由平行四边形对边平行且相等，结合得与平行且相等，可证四边形为平行四边形，再由得，依据矩形定义即可判定其为矩形； （2）由角平分线和平行线性质得出，可得，结合求出，由平行四边形求出、，用勾股定理算出，最后在中由勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，． 19．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图， ∵， ∴菱形形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 20．如图，将边长为的等边沿射线向右平移到，连接，． (1)求证：； (2)求所扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了图形平移的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，垂直的判定，用勾股定理解直角三角形，平移扫过图形的面积计算． （1）通过图形平移的性质证明四边形是菱形，，得到，继而得证结论． （2）通过分析平移过程中扫过区域的面积组成，分别计算各部分的面积，再将所得的面积相加即可． 【详解】（1）证明：等边边长为，平移得到， ， ， 由平移性质可得：，且， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， 平分，即， 在中，，， ， ； （2）解：平移过程中扫过区域为与的面积之和， 又， 在中，根据勾股定理有：， ， 四边形是菱形， ，互相平分， ， 所扫过的总面积． 21．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 22．已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形 (2)①；② 【分析】（1）先由平行四边形性质得，推导出两组内错角相等，结合是中点得，通过证明，得到，结合，利用对角线互相平分即可证四边形是平行四边形； （2）①由得，在含角的中求出、的长度，即可计算四边形的周长；②由判定平行四边形是菱形，在中结合角性质与勾股定理求出，得到对角线长，用菱形面积等于对角线乘积的一半即可算出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形周长为； ②当时， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，，， 在中，， ∴，， ∴，解得， ∴， ∴． 23．已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 24．如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 如图所示 (2) (3) ， 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． （3）略 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊平行四边形单元测试卷 一、单选题 1.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4.将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，则 FC的长度为() D------ A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD,相交于点O,点E在BD上，CE平分∠BCD, ∠CAB=∠ACE,则∠ABD的度数是() D B A.22.5° B.30° C.35 D.45 3.如图，己知菱形ABCD的边长是8，∠BAD=120°，则菱形的面积是() D A.16V3 B.325 C.32 D.16 在 中， RtaAOB AB=8 ∠AB0=180°-∠A0B-∠BA0=180°-90°-60°=30°， 1 :01A=2B=2x8=4 试卷第1页，共3页 :.0B=VAB2-0P=V82-4=45 :1C=201=8BD=20B=85 ·菱形的面积是2×8√5×8=325 1 4.如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE、BD交于点F,若 ∠AEC=120°，则∠AFD的度数为() A.100° B.105° C.110° D.120 5.如图，正方形的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的平分线分别交AB,BD于点 4,N者1M=22 BM 则线段的长为() B.2 c.2-1 D.1 6.如图，四边形EFGH是菱形，要使四边形EFGH是正方形.则() A H D E B A.BD=AC B.BD⊥AC C.∠HEF=90° D.AB=CD 7.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若∠AOD=120°，AB=3,则矩形 ABCD的面积是() 试卷第2页，共3页 A.12 B.18 C.95 D.35 8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，对角线OB,AC交于点P, OA=2,OC=4.将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在'轴上时，点A的对应点 的坐标为() B C衣 A.（2,2) B（2,) c.(0,2) D.(0,) 9.如图，在eABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,∠OAD=5S°，则 ∠OAB的度数为() B A.35° B.40° C.45° D.50 10.如图，正方形ABCD的边长为3，E是BC边上的一动点，以AE为边向左作正方形 AEFG,连接BG,则AE+BG的最小值是() D E 试卷第3页，共3页 A.6V2 B.35 c.5+v5 D.3+2 二、填空题 11.如图，在菱形ABCD中，M、N分别为AB、AC的中点，如果MN=3, ∠BCD=60 ABCD ,那么菱形 的面积为 D B 故答案为 B 18√5 12.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB, BC上，连接EF交对角线BD于点P,若P为EF的中点，∠ADB=3S°，则∠DPE=一， E B 13.如图，在矩形ABCD中，AD=12cm,点P从点A向点D以lcm/s的速度运动，点O 以4cm/s的速度从点C出发，在B,C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点 D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P,Q,C,D四点为顶点的四边形是矩形， 那么运动时间为」 A P B 14.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF,若 试卷第4页，共3页 AE、4F分别平分∠BEF和∠DFE.已知AB=5,则(BE+5DF+5) 的值为 15.如图，己知矩形ABCD,AB=2,BC=3,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意 一点，则MA+MD+ME的最小值为一. M B E 16.如图，E为正方形ABCD内一点，∠CEB=90°，CE=3,CB=5,将△CBE绕点C按 顺时针方向旋转9O°，得到△CDF,延长BE交DF于点H,连接DE.则△DEH的面积 为 E 三、解答题 17.如图，点E,F分别在ABCD的边AB,BC上，AE=CF,连接DE,DF,且 ∠ADE=∠CDF D (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接BD,若AD=5,BD=6,求菱形ABCD的面积. 18.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E,点F在边AD上， 且DF=BE 试卷第5页，共3页 (I)求证：四边形AECF是矩形； (2)若BF平分∠ABC,且BE=3,AB=7,求线段BF的长. 19.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,DF∥AC. D (1)求证：四边形AFDE是菱形. (2)若<B1C=90 AD=4V2 求四边形4FDE的面积. 20.如图，将边长为2的等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE,连接AD,BD E (I)求证：DE⊥BD: (2)求△ABC所扫过的面积. 21,如图，口ABCD的对角线ACBD相交于O,△OAB是等边三角形，且AB=4. D E B (I)求ABCD的面积. (2)若点E、F分别是BO,AD的中点，连接EF,求EF的长. 试卷第6页，共3页 22.已知：如图，点O为口ABCD的对角线AC的中点，经过点O的直线分别交AD的延长 线、CB的延长线于点E,F,连接AF,CE D (I)求证：四边形AECF为平行四边形： (②若1C=23.∠DAC=30 ①当AE⊥EC时，四边形AECF的周长为 ②当EF⊥AC时，四边形AECF的面积为 23.己知正方形ABCD的对角线AC,BD交于O,M是A0上一点. D (I)如图，A01DM于点N,交BO于点Q. ①求证：OM=O0: NO+MN ②若DQ=DC,求DM的值. (2)如图，M是AO的中点，线段EF(点E在点F的左边)在直线BD上运动，连接 ,E,老A8=4,F=万.则4F+MEg 的最小值是 24.如图，在正方形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接CE,O为CE的中点，过点E 作EF⊥AC于点F,连接DF,OF.设∠BCE=a. 试卷第7页，共3页 A B (1)依题意补全图形： (2)求∠E0F的度数（用含a的式子表示）； (3)用等式表示线段DF,OF之间的数量关系，并证明 试卷第8页，共3页