广东实验中学2025-2026学年高一下学期7月模块考试数学试题

**基本信息** 广东实验中学高一级期末数学卷，以足球点球大战等现实情境为载体，融合复数、立体几何、概率统计等知识，通过分层设计考查数学眼光、思维与语言，适配高一学生核心素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、线面关系|基础概念辨析，如第2题线面位置关系判断| |多选题|3/18|统计方差、三角函数|多选项设计，如第9题分层抽样均值计算| |填空题|3/16|正四面体外接球、三棱锥高|空间几何与数据统计结合，如第13题球表面积比| |解答题|5/77|概率应用、立体几何翻折|现实情境化，如第19题点球大战概率计算；逻辑推理，如第17题翻折证明|

广东实验中学2025—2026学年（下）高一级期末模块考试 数 学 命题：方敏 审定：许作舟 校对：杨晋鹏 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、者号填写在答题卷上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数满足，则 A． B． C． D． 2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是 A若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为 A． B． C． D． 4．在中，若，则的形状为 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知在等腰梯形中，，，，是线段上（含设点）的动点，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知一组样本数据共有8个数，其平均数为9，方差为12．将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为10，则新的样本数据的方差最小值为 A．13.6 B．12.6 C．11.6 D．10 8．已知在直角梯形中，，，，，若将梯形绕所在直乱旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．某学校有学生5000人，其中男生3000人，女生2000人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分配的分层抽样原则抽取了容量为500的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是 A．女生样本容量为2000 B．每个男生被抽入到样本的概率均为 C．所有样本的均值为166cm D．所有样本的方差为 10．已知函数，则下列结论正确的有 A．的一个周期是 B．在上单调递增 C．的最大值为 D．方程在上有7个解 11．如图已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点．点为棱的中点，则 A．三点不共线 B．异面直线与所成的角为 C．点到平面的距离为 D．过点的平面截该正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共16分． 12．一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是_____． 13．已知正四面体的棱长为1，若该正四面体的外接球表面积为，其内切球表面积为，则_____． 14．在三棱锥中，已知，，，且，，，则以为底面时，三棱锥的高为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 设复数，，其中，且复数所对应的点都在复平面第一象限内． （1）若，求实数，的值； （2）设所对应的向量为，若与共线，求的最小值． 16．（本小题15分） 在中，角的对边分别为，且． （1）求的值； （2）若，，且的面积为20，求的长度． 17．（本小题15分） 如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为． （1）证明：平面； （2）当时，求证：平面； （3）当时，求点到平面的距离． （如果采用建系的方式来处理，将不会给分） 18．（本小题17分） 在平面直角坐标系中，先将线段绕原点按逆时针方向旋转角，再将旋转后的线段的长度变为原来的倍得到，我们把这个过程称为对点进行一次变换得到点，例如对点进行一次变换得到点． （1）若对点进行一次变换得到点，求的坐标； （2）若先对点进行一次变换得到点，再对点进行一次变换得到点，求的坐标． 19．（本小题17分） 2026年广州市高中组男子足球8进4比赛在6月12日结束，最终省实通过点球大战总比分5：4战胜五中．挺进4强．根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，则采用“点球大战”的方式决定胜负。“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，跟计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0，则不需要再踢第5轮）：③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则能续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出． （1）假设某门将每次可以扑出点球的概率为，且每次扑出与否互不影响，求该门将在前三次能够扑出点球的概率； （2）现有省实、五中两队在8进4比赛中相遇，常规赛1：1战平，需要通过“点球大战”来决定谁晋级下一轮．设五中每名队员射进点球的概率均为．省实每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响。 （i）若五中先踢点球，求在第3轮结束时，五中踢进了3个球并赢下比赛的概率； （ii）若“点球大战”在第7轮后结束，求省实以6：5离下比赛的概率。 学科网（北京）股份有限公司 $