精品解析：广东实验中学2025-2026学年高一下学期中段模块考试数学试题

广东实验中学2025-2026学年（下）高一级中段模块考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算得，再求复数的模即可. 【详解】由题意知， 所以 2. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜二测画法，确定的特征，求出即可. 【详解】依题意，在中，， 所以. 故选：C 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数单调性确定与中间量的大小，进而得到答案. 【详解】函数在上单调递增，所以， 函数在上单调递减，所以， 又，且 所以， 故选：D. 4. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与平面平行性质可得：为使//平面，则//，据此可得答案. 【详解】若//平面，因平面，平面平面，则//，从而. 5. 在中，，是上的一点，若是的角平分线，，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设， 由可得， 化简得，即，当且仅当时取等， 则得，解得. 故， 即面积的取值范围是. 6. 若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的高为，圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因圆锥的体积，解得， 则， 故圆锥的侧面展开图的面积为. 7. 若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用周期性，得，，再利用奇偶性得到，代入解析式计算即可. 【详解】因为的周期为4，且为奇函数，所以， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性等性质，是一道中档题. 8. 如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【详解】正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点， 在图①中，∵BC∥PN，AC∥PM，AC∩BC=C，PN∩PM=P， ∴平面ABC∥平面PMN， ∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故①能得出AB∥平面MNP； 在图②中，∵AC∥MN，BC∥PN，AC∩BC=C，MN∩PN=N， ∴平面ABC∥平面PMN， ∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故②能得出AB∥平面MNP； 在图③中，BC∥MN，AC∥PN，BC∩AC=C，MN∩PN=N， ∴平面ABC∥平面PMN， ∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故③能得出AB∥平面MNP； 在图④中，AB∩PB=B，PB⊂平面PMN，∴AB∩平面PMN=B， 故④不能得出AB∥平面MNP． 故选：C． 【点睛】本题主要考查空间中直线和平面的位置关系，考查线面平行的证明方法，考查面面平行的方法.对于①利用的是中位线，通过证明线线平行，用线面平行的判定定理来判断.对于③，利用的是构造面面平行，通过证明面面平行来证明线面平行.对于②则容易直接判断得出. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的值域为 C. D. 的零点小于 【答案】BC 【解析】 【分析】求出的定义域和值域可判断A，B；求解可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，故A错误； 对于B，函数单调递增且值域为， 单调递增且值域为，所以单调递增且值域为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 因为单调递增，所以的零点大于，故D错误. 故选：BC. 10. 下列四个命题中错误的是（ ） A. 如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B. 如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C. 如果直线，和平面满足，，，那么 D. 如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设及直线与直线平行，直线与平面平行相关知识可判断选项正误. 【详解】对于A，当//时，有可能平行于所在平面，也有可能在所在平面内，故A错误； 对于B，当//时，内的直线可能与平行，也有可能与异面，故B错误； 对于C，因，则存在，使得，又，则，结合，，则//，故C正确； 对于D，当直线与平面内无数条直线平行时，直线有可能在平面内，则此时直线与平面不平行，故D错误. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 若Q，M，N，P四点共面，则 C. 过点有且仅有一条直线与，都相交 D. 点在侧面上（包括边界），且平面，则三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行可判断线面平行，可判断A，利用正方体取六条棱的中点截面是正六边形截面，可判断B，利用面面相交可通过作图来判断C，建系后利用空间向量点到平面距离公式以及三角形面积公式计算判断D． 【详解】对于A，因为平面平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，作直线，分别交延长线于点， 再连接并延长交延长线于点，连接交于点， 因为分别是棱，，的中点，可作正方体截面为正六边形， 它们交于各棱中点，所以为中点，故，故B错误； 对于C，如图，由平面平面，则， 因为都在平面内，所以由图可得必与相交， 根据以上作图可得唯一交点， 所以直线是唯一与和相交的直线，故C正确； 对于D，以D为原点，以分别为建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 点在侧面上（包括边界），设，，， ，，设平面的一个法向量为， 则，令，，， 故法向量为，因为平面，故， 代入得， 整理得，因为； 可得点到平面的距离； 因为； 故； ， 则三棱锥的体积为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 【答案】 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 根据题意，将圆柱重新组合成的几何体，表面积多了两个矩形，对应的边长分别为， 所以表面积增加了，即， 所以圆柱的侧面积为 13. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】由题可得 ， 当时，，又，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围. 【详解】 如图，设,则, 因对任意实数都有，成立， 即对任意实数都有，成立， 因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，, 即点在以为直径的圆上，设圆心为. 则，而为向量在上的射影的长. 过点作，交于点，交圆于点，因则， 则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值）， 则, 不妨设,则 于是，， 因，则，而， 即的最大值为， 当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，， 此时取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题. 解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出，其二，求解时，应利用向量数量积的几何意义—投影向量，结合图形理解并转化求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且恒成立. （1）求的解析式； （2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【小问1详解】 由，得，而，则， 由恒成立，可知，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为． 16. 如图所示，在扇形广场中，为锐角，四边形是平行四边形，点在弧上，点M，N分别在线段，上，，，记. （1）当时，求； （2）草地为阴影部分，求面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，再利用数量积的定义可求； （2）利用正弦定理和面积公式求得平行四边形面积，结合三角变换和正弦函数的性质求得它的最大值，故可得阴影部分面积的最小值. 【小问1详解】 因为，故， 而，故即， 而为三角形内角，故，故，， 由正弦定理得，故， 故. 【小问2详解】 在中，，由正弦定理得， 即，则，， ，由，得， 则当，即时，平行四边形的面积取最大值， 且最大值为， 故阴影部分的面积的最小值为. 17. 如图，在棱长都为4的直三棱柱中，D，E，F，G，H分别为，，，，的中点. （1）求直三棱柱的体积； （2）证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与平行； （3）证明：，，三线共点. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据棱柱体积的计算公式求解可得； （2）利用中位线定理证明//，即可证明E，F，G，H四点共面，根据线面平行的判定定理可证此平面与平行； （3）通过证明与相交，得其交点是平面与平面的公共点，即可证明，，三线共点. 【小问1详解】 直三棱柱的体积为. 【小问2详解】 连接， ∵E，F分别为，的中点，且四边形是矩形， ∴// ，且 . ∵G，H分别为，的中点， ∴// ，且 ， ∴// ∴E，F，G，H四点共面. 取的中点，连接，分别交于点，则点分别是的中点. 连接，则// . ∵平面，平面， ∴// 平面. 【小问3详解】 由（2）知// ，且， 所以四边形是梯形，所以直线与是两条相交直线，记. 平面，平面， ∴平面，平面， ∵平面平面， ∴. ∴，，三线共点. 18. 已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足 （1）求证：； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据题意得三个等式，再代入原等式结合角度化简即可证明结论. (2)延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. (3)由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； 【小问1详解】 因为O为的外心，所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以： ， 由于 所以， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，则 所以， ， 所以由化简得： 所以. 【小问2详解】 延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且， 延长至，使得，则，如图：    所以， 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得， 所以， 当时， ， 当时， ， 所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 得，得或. 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知， 所以应舍去，所以， 所以的最大值为. 19. 已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为.复数单位根相关领域都有广泛的应用.例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点O逆时针旋转得到，则对应的复数为. （1）方程在复数域上的两根为，，将，对应的向量，逆时针旋转后得到，，记，对应的复数为，，求，，，（用代数形式表示）； （2）若把平面直角坐标系中的点绕原点逆时针旋转弧度后得到点，请用、、分别表示出、；（其中、、、均为实数） （3）定义在整数集上的函数，若，其中，，，令求的所有可能取值； 【答案】（1） ，，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用求根公式求解方程 在复数域上的两根可得，分别乘以可得； （2）结合复数的几何意义，利用题中的定义可得点相应的复数，从而得其坐标间的关系，即可用、、分别表示出、； （3）分类讨论，使成立的，再分析被除的余数，从而得到. 【小问1详解】 记方程 在复数域上的两根分别为 ， 则，. 【小问2详解】 点，对应的复数分别为， 所以，即. 所以. 【小问3详解】 ，得，. 所以. 由函数， 得，，. 当时，使成立的情况有或； 此时，或. 若， 因为能被整除，被除的余数为，被除的余数为， 所以能被整除，所以； 若， 因为都能被整除，所以能被整除，所以； 当时，使成立的情况有或； 此时，或. 若， 因为被除的余数均为，所以能被整除，所以； 若， 因为被除的余数为1，被除的余数为，能被整除， 所以能被整除，所以； 当时，使成立的情况有或. 若， 因为被除的余数均为2，所以能被整除，所以； 若， 因为被除余数为2，能被整除，被除余数为， 所以能被整除，所以. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学2025-2026学年（下）高一级中段模块考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，是上的一点，若是的角平分线，，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的值域为 C. D. 的零点小于 10. 下列四个命题中错误的是（ ） A. 如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B. 如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C. 如果直线，和平面满足，，，那么 D. 如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 若Q，M，N，P四点共面，则 C. 过点有且仅有一条直线与，都相交 D. 点在侧面上（包括边界），且平面，则三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 13. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 14. 已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且恒成立. （1）求的解析式； （2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 16. 如图所示，在扇形广场中，为锐角，四边形是平行四边形，点在弧上，点M，N分别在线段，上，，，记. （1）当时，求； （2）草地为阴影部分，求面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最小值. 17. 如图，在棱长都为4的直三棱柱中，D，E，F，G，H分别为，，，，的中点. （1）求直三棱柱的体积； （2）证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与平行； （3）证明：，，三线共点. 18. 已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足 （1）求证：； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的最大值. 19. 已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为.复数单位根相关领域都有广泛的应用.例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点O逆时针旋转得到，则对应的复数为. （1）方程在复数域上的两根为，，将，对应的向量，逆时针旋转后得到，，记，对应的复数为，，求，，，（用代数形式表示）； （2）若把平面直角坐标系中的点绕原点逆时针旋转弧度后得到点，请用、、分别表示出、；（其中、、、均为实数） （3）定义在整数集上的函数，若，其中，，，令求的所有可能取值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $