精品解析：湖南长沙市雅礼集团2025-2026学年下学期八年级期末检测试卷数学科目

2026年上学期八年级期末检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线中哪些不是表示y是x的函数（ ） A. B. C. D. 2. 仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表： 年龄/岁 11 12 13 14 15 人数 3 4 5 2 1 则该足球队队员年龄的第三四分位数是（ ） A. 15岁 B. 14岁 C. 13岁 D. 12岁 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 带根号的数都是无理数 D. 一组数据的方差越大，这组数据就越稳定 5. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（ ） A. 10m B. 12m C. 14m D. 16m 7. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. 20% B. 25% C. 30% D. 36% 8. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 将直线向上平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 12. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 13. 如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________． 14. 如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是______． 15. 如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于________． 16. 图1是轨道示意图，其中四边形是矩形，对角线，相交于点，．机器人以的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点，，，，处发生改变．机器人从点出发，经过其余四点各一次后，回到点．设机器人的运动时间为（单位：），机器人到点的距离为（单位：），与的函数图象如图2所示，则取最大值时，机器人在轨道上的位置是点_____． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图： （1）建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，写出棋子“马”所在的点的坐标； （2）在（1）的条件下，求经过棋子“帅”和棋子“马”所在点的一次函数解析式． 20. 践行生态文明理念，助力城市绿色发展．某校组织八年级学生开展公益植树志愿服务活动．活动结束后，为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求m，n的值； （2）求被抽取的八年级学生植树棵数的众数： （3）本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“生态守护先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“生态守护先锋”的人数． 21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 22. 如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，且，，求的长． 23. 为扎实推进中小学“书香校园”标准化建设，弘扬中华传统文化，某校计划采购甲、乙两类经典课外读物丰富馆藏．据了解，甲类读物每本比乙类读物每本低元，用元购买甲类读物的数量和用元购买乙类读物的数量相同． （1）求甲、乙两类读物的单价各是多少元； （2）若学校计划采购两类读物共本，且购买甲类读物的数量不超过乙类读物数量的倍，则购买甲、乙两类读物各多少本时，总采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 24. 已知分段函数（，为常数，）的图像如图所示，且该分段函数与直线的图象相交于、两点． （1）求，的值； （2）该分段函数图象与y轴的交点为，在轴上找一点，使取得最大值，求点坐标； （3）已知、，点在轴上，点在该分段图象上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“创新点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“创新点”P为“拔尖创新点”． （1）求函数的图象上所有“创新点”的坐标； （2）若点为“拔尖创新点”，求； （3）若已知关于的一次函数（为整数，）的图象上存在两个不同的“拔尖创新点”、，且满足，试问该函数的图象与坐标轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“创新点”？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期八年级期末检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线中哪些不是表示y是x的函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数． 【详解】解：根据题图可知，A、B、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； C、对于x的值，存在y有两个值与之相对应，则y不是x的函数； 故选：C． 2. 仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表： 年龄/岁 11 12 13 14 15 人数 3 4 5 2 1 则该足球队队员年龄的第三四分位数是（ ） A. 15岁 B. 14岁 C. 13岁 D. 12岁 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据第三四分位数的计算方法求解即可，先计算总样本数，再计算分位数的位置，最后找到对应位置的数据得到结果． 【详解】该足球队队员的总人数， 方法一：计算第三四分位数的位置， ∵不是整数，∴将向上取整得到， 即第三四分位数是从小到大排列后的第个数据，为13岁， 方法二：中位数为第8个数据，则第三四分位数为后一组的中位数，即第个数据，为13岁． 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 带根号的数都是无理数 D. 一组数据的方差越大，这组数据就越稳定 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关基础概念，逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：选项：只有两直线平行时同位角才相等，命题缺少前提条件，错误； 选项：根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，命题符合性质，正确； 选项：，是有理数，故带根号的数不都是无理数，错误； 选项：一组数据的方差越大，数据波动越大，这组数据越不稳定，错误． 5. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选：D． 6. 如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（ ） A. 10m B. 12m C. 14m D. 16m 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出旗杆顶部到折断处的长，再由旗杆折断之前的高度是折断的两部分的长度之和求解即可． 【详解】如图，记旗杆顶部为点A，折断处为点B，旗杆底部为点C， 由题意得BC⊥AC，BC=6m，AC=8m， ∴∠ACB=90°， ∴m， ∴BC+AB=6+10=16m， ∴旗杆折断之前的高度是16m， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 7. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. 20% B. 25% C. 30% D. 36% 【答案】A 【解析】 【分析】可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意可列方程为：， 解得：，（舍）， ∴每次降价得百分率为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键． 8. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 9. 将直线向上平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“左加右减，上加下减”的规则即可求出平移后的函数表达式． 【详解】将直线向上平移2个单位后，所得函数表达式为：． 10. 关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 12. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 【答案】93 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：（分）； ∴该参赛队的最终成绩是93分， 故答案为：93 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键． 13. 如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1． 故答案是：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14. 如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，问题得解． 【详解】解：点，分别是，的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：． 15. 如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于________． 【答案】##720度 【解析】 【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据多边形内角和公式  代入计算即可． 【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数， 根据多边形内角和公式，得． 16. 图1是轨道示意图，其中四边形是矩形，对角线，相交于点，．机器人以的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点，，，，处发生改变．机器人从点出发，经过其余四点各一次后，回到点．设机器人的运动时间为（单位：），机器人到点的距离为（单位：），与的函数图象如图2所示，则取最大值时，机器人在轨道上的位置是点_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先由矩形性质得到，然后结合函数图象判断出取最大值时的位置点． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵由图象可得，当时，， ∴当时，机器人从点运动到点，或从点运动到点， ∵从时到取最大值时，随的增大而增大， ∴机器人从点运动到点，或从点运动到点， 根据题意可知，机器人从点出发，需要经过其余四点各一次后，回到点， 若机器人从点运动到点，再点运动到点，运动方向没有发生变化，从函数图象看运动方向发生了变化，此种情况不符合题意，舍弃， ∴可得出机器人从点运动到点，再从点运动到点，且在点时取得最大值． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法解方程； （2）根据求根公式解方程． 【小问1详解】 解：原方程整理得， 可得， 解得，． 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∴， 解得，． 19. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图： （1）建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，写出棋子“马”所在的点的坐标； （2）在（1）的条件下，求经过棋子“帅”和棋子“马”所在点的一次函数解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据经过棋子“帅”所在点的坐标确定原点和坐标轴的位置，建立平面直角坐标系，即可得到棋子“马”所在的点的坐标； （2）利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系见答案，则棋子“马”所在的点的坐标为； 【小问2详解】 解：设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∴， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为． 20. 践行生态文明理念，助力城市绿色发展．某校组织八年级学生开展公益植树志愿服务活动．活动结束后，为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求m，n的值； （2）求被抽取的八年级学生植树棵数的众数： （3）本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“生态守护先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“生态守护先锋”的人数． 【答案】（1）， （2）3 （3）估计这些学生中被评为“生态守护先锋”的人数为96人 【解析】 【分析】（1）首先根据植2棵的人数和其对应占比，用部分量除以对应占比求出抽取的总人数；再根据植3棵的人数占比，用总人数乘该占比求出的值，最后用总人数减去已知的其他棵数的人数得到的值． （2）观察统计表格中各棵数对应的人数，找到出现次数最多的棵数即为众数． （3）先计算抽取的学生中植树不少于4棵的人数占抽取总人数的比例，再用八年级总人数乘该比例，估计得到“生态守护先锋”的总人数． 【小问1详解】 解：植2棵的人数为10人，占总人数的， 抽取的总人数：（人）， ∴，． 【小问2详解】 解：对比各组人数： 植3棵的人数最多（14人），因此众数是棵； 【小问3详解】 解：植树不少于4棵，即植4棵+植5棵， 样本中这部分人数为（人）， 因此估计八年级320名学生中，被评为“生态守护先锋”的人数为： （人） 答：估计这些学生中被评为“生态守护先锋”的人数为96人． 21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等实数根”；（2）根据根与系数的关系，找出关于m的一元二次方程． 22. 如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，且，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线分别交、的延长线于点、， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形对边平行且相等，结合推出与平行且相等，证得四边形是平行四边形； （2）根据菱形四边相等，在直角三角形中用勾股定理列方程求出，再等量代换得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故． 23. 为扎实推进中小学“书香校园”标准化建设，弘扬中华传统文化，某校计划采购甲、乙两类经典课外读物丰富馆藏．据了解，甲类读物每本比乙类读物每本低元，用元购买甲类读物的数量和用元购买乙类读物的数量相同． （1）求甲、乙两类读物的单价各是多少元； （2）若学校计划采购两类读物共本，且购买甲类读物的数量不超过乙类读物数量的倍，则购买甲、乙两类读物各多少本时，总采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲类读物每本元，乙类读物每本元 （2）当购进本甲类读物，本乙类读物时，总采购费用最少，最少采购费用是元 【解析】 【分析】（1）设甲类读物每本元，再表示出乙的单价，根据题意建立分式方程，求解后检验得到两类读物单价； （2）设购买甲类读物本，根据数量限制列出不等式得到取值范围，然后建立总采购费用关于的一次函数，根据一次项正负判断增减性，在允许范围内取的最大值算出最低费用． 【小问1详解】 解：设甲类读物每本元，则乙类读物每本元， 由题意得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， 故甲类读物每本元，乙类读物每本元． 【小问2详解】 解：设购买甲类读物本， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， 设总采购费用为元，则， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，总采购费用最小为：（元）． 故当购进本甲类读物，本乙类读物时，总采购费用最少，最少采购费用是元． 24. 已知分段函数（，为常数，）的图像如图所示，且该分段函数与直线的图象相交于、两点． （1）求，的值； （2）该分段函数图象与y轴的交点为，在轴上找一点，使取得最大值，求点坐标； （3）已知、，点在轴上，点在该分段图象上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或或或或 【解析】 【分析】（1）将两个交点坐标代入分段函数，联立二元一次方程组求出、； （2）先求点坐标，作点关于轴的对称点，连接并延长，交轴于点，求出直线的解析式进而得到点坐标； （3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况讨论，用中点坐标公式列方程，进而求出点坐标． 【小问1详解】 解：根据题意可知，、两点在上， 可得， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）得分段函数的解析式为， 当，， 则点的坐标为， 如图，作点关于轴的对称点，连接并延长，交轴于点， 在轴上取一点，可知， 当点与重合，即点，，在一条直线上时，取得最大值， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为：， 令，可得， 故点的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 点在分段函数图象上， 设点或，设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：或， 解得：或， 当，， 当，， 则点的坐标分别为：或； 当为对角线时， 同理可得：或， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当，， 则的坐标分别为：； 当为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 当，， 当，， 则的坐标分别为：或， 综上，点的坐标为：或或或或． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“创新点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“创新点”P为“拔尖创新点”． （1）求函数的图象上所有“创新点”的坐标； （2）若点为“拔尖创新点”，求； （3）若已知关于的一次函数（为整数，）的图象上存在两个不同的“拔尖创新点”、，且满足，试问该函数的图象与坐标轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“创新点”？ 【答案】（1） （2）或或 （3）该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），共个“创新点”． 【解析】 【分析】（1）根据创新点定义，x和y均为整数，因为是无理数，所以只有当x的系数对应的项为0时，y才能为整数，以此确定x的取值，再代入函数求y； （2）根据拔尖创新点定义，首先确认点的横纵坐标均为整数，因为和均为整数且乘积不为0，所以​为整数，设该整数为k，转化为整除问题求解a的可能值； （3）首先根据拔尖创新点定义，为整数，将函数表达式代入该比值，通过分离常数转化为整除问题，得到x与t的关系；再结合的条件，代入函数关系推导t的取值；最后确定t对应的函数表达式，求出函数与坐标轴的交点，枚举交点及围成区域内的整数点，统计创新点个数． 【小问1详解】 解：∵是整数， 当时，是一个无理数， ∴时，一定不是整数， 当时，， 即函数的图象上“创新点”的坐标是． 【小问2详解】 ∵点为“拔尖创新点” ∴为整数，且，， 即，， 设，即， ∵为整数， ∴， ∴或， ∴或或． 【小问3详解】 设、是两个“拔尖创新点”（ ，，，均为非零的整数）， ∵， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ①若，， 则图象经过点、， ∴该直线解析式为， ∴， 解得， ∵， 故不合题意，舍去； ②若，， 则图象经过点、， ∴该直线解析式为， ∴， 解得， ∵， 故不合题意，舍去； ③若，， 则图象经过点、， 代入函数， ∴，， ∵，均为非零的整数， ∴，， ∴或或， ∵， 且当时，函数解析式为， ∴该函数的图象与坐标轴没有围成平面图形， 故， ∴， ∴， ∴该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），一共含有：个“创新点”， ④若，， 则图象经过点、， 代入函数， ∴，， ∵，均为非零的整数， ∴，， ∴或或， 同上，可得，故结论和③相同， ∴该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），一共含有个“创新点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $