难点训练微专题：01集合的基本概念-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

难点训练微专题--01集合的基本概念（解析版） 突破通法：解决集合含义问题的三个关键点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限定条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题。 点拨:对于含参数的集合问题,在求出参数的值后,务必要验证集合的元素是否满足互异性. 微专题训练 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】已知集合，根据，讨论得出，从而得出集合中的元素个数. 【详解】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7． 故选：C. 2．（13-14高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 3．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若，则，则称为集合的“亮点”，若，则集合的所有“亮点”之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式不等式的解法，求得，再根据条件，直接求出所有的“亮点”，即可求解. 【详解】不等式，即，解得，所以， 若，则；若，不存在； 若，；若，，若，；若，. 由定义可知都是集合的“亮点”，所以集合的所有“亮点”之和为， 故选：C. 5．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 6．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 二、多选题 7．（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 8．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【分析】根据题意依次讨论当为6，，9，时，集合中的元素个数． 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 9．（23-24高一上·全国·单元测试）当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（    ） A．0是任何数域的元素 B．若数域有非零元素，则 C．集合是一个数域 D．任何一个数域的元素个数必为奇数 【答案】AB 【分析】根据新定义进行验证. 【详解】对任意数域，只要有，则，A正确； 是的一个非零元素，则，因此，，依此类推所有正整数是的元素，从而，B正确； 集合中，，但，因此不是数域，C错； 有理数集是一个数域，但有理数集中元素个数是无穷多个，D错； 故选：AB． 三、填空题 10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 12．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 14．（2025高三·全国·专题练习）设，，若，求集合B． 【答案】 【分析】由题可得3是二次方程的两个等根，据此可得，，据此可得集合B. 【详解】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 难点训练微专题--01集合的基本概念（学生版） 突破通法：解决集合含义问题的三个关键点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限定条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题。 点拨:对于含参数的集合问题,在求出参数的值后,务必要验证集合的元素是否满足互异性. 微专题训练 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（13-14高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 3．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若，则，则称为集合的“亮点”，若，则集合的所有“亮点”之和为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 6．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 二、多选题 7．（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 9．（23-24高一上·全国·单元测试）当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（    ） A．0是任何数域的元素 B．若数域有非零元素，则 C．集合是一个数域 D．任何一个数域的元素个数必为奇数 三、填空题 10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 11．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 四、解答题 12．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 14．（2025高三·全国·专题练习）设，，若，求集合B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$