精品解析：河北石家庄市（藁城、新乐等）七县联考2025-2026学年高一第二学期期末学情分析检测数学试题

2025－2026学年高一年级第二学期期末学情分析检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 9 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为10，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ） A. 16 B. 32 C. D. 4. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为的外心，若，则（ ） A. 18 B. 10 C. D. 9 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用横式，十位用纵式，则个位和十位上的算筹根数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知i为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 11. 某光伏仓库中有4块外观完全一致的光伏组件，其中低效组件2块（编号1，2），高效组件2块（编号3，4）.从中不放回依次抽取两块组件，设事件：取出两块组件发电等级不同，事件：第一次取出低效组件，事件：第二次取出低效组件，事件：取出两块组件发电等级相同.则下列说法正确的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取300名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为______. 13. 在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14. 如图，四边形中，已知，，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某半导体工厂对600块芯片做信号稳定性测试，统计芯片不间断连续运行时长（单位：h），将芯片连续工作时长划分为六组：，，，，，.采用分层随机抽样抽取20块芯片做深度试验，得到样本数据的频率分布直方图（如图），从左到右依次为第一组至第六组. （1）求的值，并估计这600块芯片中，连续运行时长落在中的芯片数量； （2）根据频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） （3）在抽取的这20块样本芯片中，从连续运行时长不低于35h的芯片中任选两块进行性能研究，求这两块芯片来自同一组的概率. 16. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形，，，. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，且，求的面积. 18. 某实验室对两种新型传感器开展耐久试验，利用分层随机抽样在甲、乙两条试验流水线各抽取8个传感器，记录每个传感器连续不间断工作时长（单位：分钟）.甲流水线的试验数据如下表： 传感器序号 1 2 3 4 5 6 7 8 连续不间断工作时间 200 220 200 180 200 220 设，分别为甲、乙流水线抽取的第个传感器的连续不间断工作时长，，分别为甲、乙流水线所抽取样本的方差，已知，，，，其中.，表示甲、乙抽取的样本连续不间断工作时长的平均数. （1）若，求和的值； （2）求甲流水线8组数据的上四分位数； （3）甲流水线升级温控装置，每个传感器连续不间断工作时长减少35分钟.用样本估计总体，求甲流水线升级后，甲乙两个流水线全部样本连续不间断工作时长的平均值和方差. 参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，总的样本平均数为，样本方差为，则. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，∥，，，. （1）设为上一点，若∥平面，求的值； （2）设平面与平面的交线为，证明∥平面； （3）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高一年级第二学期期末学情分析检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由纯虚数的定义列关系式求解. 【详解】因为复数为纯虚数，则有， 解得. 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为10，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图与圆锥的关系，求出圆锥的底面半径和高，进而求出体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题意可知，且， ，则， 故该圆锥的体积为. 3. 若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ） A. 16 B. 32 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在直观图中作高求出直观图的高，算出直观图面积，再利用平面图形面积与相应直观图面积比例关系计算出答案. 【详解】在直观图中过点作交于点， 因为，，，， 所以，则， 所以，则梯形的面积为， 所以原四边形的面积为. 4. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式求解. 【详解】. 5. 已知为的外心，若，则（ ） A. 18 B. 10 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】使用数量积的定义求解. 【详解】. 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立三角形面积公式与余弦定理，等量代换化简得到. 【详解】因为的面积为，所以， 又∵， ， 则. 7. 算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用横式，十位用纵式，则个位和十位上的算筹根数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分步算出所有不含 的两位数总个数、个位十位均为奇数的两位数个数，再用古典概型概率公式求解. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字的两位数，个位用横式，十位用纵式，共可以摆出个两位数， 其中个位和十位上的算筹都从1，3，5，7，9中选，共种， 所以个位和十位上的算筹根数都是奇数的概率为. 8. 在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先取中点，利用面面垂直性质推出平面，结合的形状确定，得出外接球球心是等边的外心，求出外接球半径后计算外接球表面积. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 由于平面平面，且平面平面，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心即为的外心， 设球的半径为，则， 故外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别利用向量模长公式、向量平行坐标关系、向量垂直数量积为 0、模长等式对应列方程逐一验证四个选项的正误 【详解】对于A：因为，所以，A正确； 对于B：若，则，得，B正确； 对于C：因为，所以，得，C错误； 对于D：若，则，得，D正确. 10. 已知i为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【解析】 【分析】通过复数运算法则化简求出，再依次验证的表达式、的虚部、与其共轭复数的乘积、在复平面内对应点所在象限这四个选项的正误. 【详解】对于A：，所以，A错误； 对于B：，其虚部为，B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：在复平面内对应的点为，它在第四象限，D错误. 11. 某光伏仓库中有4块外观完全一致的光伏组件，其中低效组件2块（编号1，2），高效组件2块（编号3，4）.从中不放回依次抽取两块组件，设事件：取出两块组件发电等级不同，事件：第一次取出低效组件，事件：第二次取出低效组件，事件：取出两块组件发电等级相同.则下列说法正确的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【详解】从4块组件中不放回依次抽取两块组件，有，，，，，，，，，，，，共12个基本事件， 包含，，，，，，，，共8个基本事件，所以， 包含，，，，，，共6个基本事件，所以 包含，，，，，共6个基本事件，所以， 包含，，，共4个基本事件，所以， ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取300名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为______. 【答案】540 【解析】 【分析】先根据抽取人数与抽样概率算出全校总人数，再结合三个年级人数比例求出高二人数. 【详解】因为从全校学生中随机抽取300名学生组成志愿者，且每人被抽中的概率都是， 所以全校的总人数为人， 因为高一、高二、高三的人数之比为， 所以该校高二年级的人数为（人）. 13. 在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【详解】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 14. 如图，四边形中，已知，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过角度计算判定为等腰三角形得到，再在中用正弦定理求出的长度，最后在中利用余弦定理计算出的长. 【详解】在中，， 为等腰三角形，则， 在中，，， 所以由正弦定理得，即，得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某半导体工厂对600块芯片做信号稳定性测试，统计芯片不间断连续运行时长（单位：h），将芯片连续工作时长划分为六组：，，，，，.采用分层随机抽样抽取20块芯片做深度试验，得到样本数据的频率分布直方图（如图），从左到右依次为第一组至第六组. （1）求的值，并估计这600块芯片中，连续运行时长落在中的芯片数量； （2）根据频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） （3）在抽取的这20块样本芯片中，从连续运行时长不低于35h的芯片中任选两块进行性能研究，求这两块芯片来自同一组的概率. 【答案】（1）0.03；180块 （2）平均数33，中位数31.67 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积和为求出区间的频率，再结合样本总量计算该区间芯片数量； （2）先通过组中值与对应频率加权计算平均数，再累计频率定位中位数所在区间，列方程求解中位数； （3）先根据抽样总数与各组频率算出三类芯片数量，枚举所有抽取两块芯片的基本事件与同组事件，用古典概型公式计算对应概率. 【小问1详解】 由题意可得：， 则， 所以这600块芯片中，连续运行时长落在中的芯片数量为块. 【小问2详解】 由题意可得：， 又因为， 可知，则，解得：. 【小问3详解】 中的芯片数：，分别记为，，，； 中的芯片数：，分别记为，，， 中的芯片数：，记为， 则任选两块芯片的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种， 其中来自同一组的情况有，，，，，，，，，，共9种， 所以两块芯片来自同一组的概率为. 16. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形，，，. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）因为平面，又平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而，且，平面，所以平面. （2）1 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直得，再由菱形对角线垂直得，由线面垂直判定定理证出平面； （2）先由面面垂直性质定理得到底面，算出高，再利用等体积法转换顶点，将三棱锥体积转化为的体积代入锥体体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示：过作，垂足为， 因为四边形为菱形，且， 所以为等边三角形， 所以为中点， 因为平面，平面，所以平面平面， 因为平面平面，又，平面， 所以平面， 因为，，所以， 由，，，， 所以， 所以三棱锥的体积为1. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和正弦公式消去同类项，约去后用二倍角公式化简，求出角； （2）先用余弦定理、三角形面积公式建立关系式，再由角平分线分割的两个小三角形面积和等于大三角形面积得到与的等式，联立求解后代入面积公式算出面积. 【小问1详解】 由正弦定理，， 即， 而， 结合两式可得，， 则， 又，则，故，即， 又，则，上式化简为，则，故. 【小问2详解】 ，由余弦定理得， 又因为，则，， 且，则，即， 与联立，得，化简得， 解得，或（舍去）， 所以. 18. 某实验室对两种新型传感器开展耐久试验，利用分层随机抽样在甲、乙两条试验流水线各抽取8个传感器，记录每个传感器连续不间断工作时长（单位：分钟）.甲流水线的试验数据如下表： 传感器序号 1 2 3 4 5 6 7 8 连续不间断工作时间 200 220 200 180 200 220 设，分别为甲、乙流水线抽取的第个传感器的连续不间断工作时长，，分别为甲、乙流水线所抽取样本的方差，已知，，，，其中.，表示甲、乙抽取的样本连续不间断工作时长的平均数. （1）若，求和的值； （2）求甲流水线8组数据的上四分位数； （3）甲流水线升级温控装置，每个传感器连续不间断工作时长减少35分钟.用样本估计总体，求甲流水线升级后，甲乙两个流水线全部样本连续不间断工作时长的平均值和方差. 参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】（1） （2）210 （3）175；290 【解析】 【分析】（1）利用平均数公式得到的等式，结合方差公式得到的等式，联立方程组并根据确定的值； （2）将甲数据从小到大排序，通过样本容量乘定位上四分位数对应的两个数，取两数平均值得到上四分位数； （3）利用数据平移不改变方差的性质求出升级后甲数据的均值与方差，再运用两组数据合并后的均值、方差计算公式算出整体均值与总方差. 【小问1详解】 由题意可知： 得：， 得， 即得或 因为，故 【小问2详解】 将甲的数据从小到大排列：180，180，200，200，200，200，220，220. 上四分位数即第75百分位数，， 第6个数和第7个数为200，220， 则上四分位数为. 【小问3详解】 设甲流水线升级后，甲流水线抽取的第i个传感器的连续不间断工作时长为， 则， 则，， ， . 19. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，∥，，，. （1）设为上一点，若∥平面，求的值； （2）设平面与平面的交线为，证明∥平面； （3）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）2 （2）∥，平面，平面， ∥平面， 又平面，平面平面，∥， 又平面，平面，∥平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）如图，连接交于点，连接，利用线面平行的性质和梯形的性质可证得∥，再利用平行线的性质可得结果； （2）利用线面平行性质定理与线面平行判定定理证明即可； （3）取的中点，连接、，可得为与平面所成的角，在可求得结果. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接， ∥平面，平面，平面平面， ∥， 在梯形中，∥，， ， ∥，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，连接、， 为的中点，且∥，， ∥且， 四边形为平行四边形，∥， ，， 又，为等边三角形，为等边三角形， 又，，平面， 为与平面所成的角， ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $