1.4 第2课时 正方形的判定-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

©第2课时 ①基础在线沙 知识要点分类练 知识点1正方形的判定 1.(福州质检)在四边形ABCD中，∠A=∠B= ∠C=90°，若再添加一个条件可使四边形ABCD 是正方形，则此条件是 ( A.∠D=90 B.AB=CD C.BC-CD D.AD-BC 2.如图，把一张长方形纸对折两次， 然后剪下一个角.为了得到一个 正方形，剪刀与折痕所成的角的 度数应为 3.(中考·乐山)如图，在□ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个 条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个 条件可供选择：①AC⊥BD;②AC=BD; ③∠ADC=90°，则正确的组合是 (只 需填一种组合即可) ☒ 4.如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角 形，∠A=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是正方形. 正方形的判定 知识点2中点四边形 5.(成都月考)如图，四边形ABCD为矩形，E, F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，则 四边形EFGH的形状是 () H A.等腰梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 6.正方形ABCD的周长为8cm,顺次连接正方 形各边的中点，得到四边形EFGH,则四边形 EFGH的面积等于 cm2. 2能力在线》 方法规律综合练 ● 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直 平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且 BE=BF,添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF为正方形的是 () A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD-DF D.AC-BF 8.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF, 依次连接B,F,D,E各点. (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若∠ABC=50°，则∠EBA的度数为 时，四边形BFDE是正方形，请说明理由， 第-章12 9.(1)如图①，点E,F,G,H分别是菱形各边中 点，可判定四边形EFGH的形状为； (2)如图②，点E,F,G,H分别是四边形AB CD各边中点，且对角线AC⊥BD,判定四边 形EFGH的形状，并证明； (3)在(2)的条件下，请对四边形ABCD增添 一个条件，使四边形EFGH为正方形.（直接 写出所添条件) 图① 图② 13探究在线九年级数学（上）·BS 10.如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB= 90°，将Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转90° 得到△ADF,DF的延长线交BE于点H, (1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； (2)已知BH=7,BC=13,求DH的长. 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 11.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB 2,∠ABC=60°，E,F是对角线BD上的动 点，且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC 上的动点.下列四种说法：①存在无数个平行 四边形MENF;②存在无数个矩形MENF; ③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正 方形MENF.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4∴.△ABE≌△ADF(ASA).∴.BE=DF. 4.,△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°， ∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF. .AB=AD,BC=CD.∠ABD=∠CBD=45. 7.D ∴∠ABC=90°.∴∠A=∠C=∠ABC=90°. 8.如图：连接AC,则AC为正方形 .四边形ABCD是矩形. AECF与菱形ABCD的对角线， AB=AD,.四边形ABCD是正方形. ∴.∠EAC=∠FAC=45°，AB=BC. 5.B6.2 ∠B=46°， 能力在线 ∠BAC=180,∠B=67, 7.D 2 8.(1),四边形ABCD是菱形， .∠BAE=∠BAC-∠EAC=22° .BD⊥AC,OB=OD,OA=OC 能力在线 又AE=CF,.OE=OF 9.C10.34 ∴.四边形BEDF是平行四边形， 11.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ,BDLEF,□BEDF是菱形 ∴.AD=BC,∠ADE=∠CBF=45° (2)20°.理由如下： 在△ADE和△CBF中， ,四边形ABCD是菱形， (AD=BC, ∠ADE=∠CBF, ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25 DE=BF, ∠EBA=20°，∴∠EBO=45 .△ADE≌△CBF(SAS): 在菱形BEDF中，∠EBO=∠FBD=45°， (2)连接AC交BD于点O, ∴.∠EBF=90°.∴.菱形BEDF是正方形 四边形ABCD为正方形，BD=10, 9.(1)矩形 (2)四边形EFGH为矩形. ∴.BD垂直平分AC,OA=OC=OB= 证明：：点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AD, =5. BA,CB,DC的中点， ..AF-CF,AE=CE. .EF,FG,GH,HE分别为△ABD,△BCA,△BDC, 由(1)知，△ADE2△CBF △ACD的中位线： ∴.AE=CF.∴.AF=CF=AE=CE. ∴.EF∥BD,EF= .四边形AECF为菱形. BD,GH∥BD,GH=合BD,FG/ 四边形AECF的周长为4√34， AC,FG-AC. AF=是×4V原=v. ∴.EF∥GH,EF=GH. 四边形EFGH为平行四边形. 在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3, 'AC⊥BD,EF∥BD,FG∥AC .EF=2OE=6. ∴.EF⊥FG. 即EF的长为6. ∴.平行四边形EFGH为矩形. 12.(1):四边形ABEF、四边形ECPQ分别是面积为6,2的 (3)当AC=BD时，四边形EFGH是正方形 正方形， 10.(1)四边形AFHE是正方形.理由如下： ∴.BE=EF=AF=AB=√6，QE=QP=CP=CE=√2. 由旋转知，∠AEB=∠AFD=90°，AE QF=√6-√2 AF,∠FAE=90°， 四边形ABCD是矩形，.四边形PQFD是矩形 ∴∠AEB=∠AFH=∠FAE=90°， ∴.四边形FQPD(阴影部分)的面积为√2×（√6一√2）= .四边形AFHE是矩形 2√3-2. 又：AE=AF,矩形AFHE是正方形. (2)四边形ABEF、四边形ECPQ分别是面积为6,2的 (2)连接BD, 正方形， :四边形ABCD是正方形，.BC=CD=13, ∴.BE=EF=AF=AB=√6，QE=QP=CP=CE=√2， 在Rt△BCD中，BD=√CD+BC=13√2. ∠B=∠C=90°. ,四边形AFHE是正方形，.∠EHD=90° ∴.AE=√AB2+BE=2√3，PE=√CE+CP 2 在Rt△DHB中，DH=√BD-B平，又BH=7, (3)如图，取AP的中点K,连接EK, .DH=17. ,四边形ABEF、四边形ECPQ是正方形 拓展在线 ∴∠AEB=45°=∠PEC. 11.C .∠AEP=180°-45°-45°=90° 微专题1特殊平行四边形中的图形变换问题 AE=2√5，PE=2,∴.AP=√AE2+PE2=4. 1.(1)C EK-AP-2. (2)①证明：由题意知，AFDF, ∴四边形AFFD是平行四边形. 拓展在线 'SGABCD =15,AD=5,..AE=3. 13.(1)3(2)35或125 又EF=4,∠E=90°，AF=5. 第2课时正方形的判定 ∴AF=AD=5..四边形AFFD是菱形. 基础在线 ②如图，连接AF,DF, 1.C2.45°3.①②或①③（填写一组即可） 在Rt△AEF中，AE=3,EF=9, 18 一探究在线·九年 .AF=310 .∠FDC+∠CDH=45°，即∠FDH=45°. 在Rt△DFE中，FE=1,DE=AE ∠EDF=∠FDH=45°， =3, 在△EDF和△HDF中， .DF=10, (DE-DH, ∠EDF=∠HDF, .四边形AFFD两条对角线的长分别是3√10和√I0. DF-DF, 2.C .△EDF≌△HDF(SAS).∴.EF=HF. 3.(1)证明：由翻折的性质可得AF=AB,∠F=∠B. HF=CH十CF=AE+CF,∴.EF=AE+CF ,四边形ABCD为矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90°. (2)设EF=x,则HF=x. .AF=CD,∠F=∠D=90°. 正方形ABCD的边长为3，.AB=BC=3. 又'∠AEF=∠CED,.△AFE≌△CDE(AAS) AE=1,..BE=2,CH=1...CF=x-1. (2)△AFE≌△CDE,∴.AE=CE,EF=ED. ∴.BF=BC-CF=3-(x-1)=4-x. 根据翻折的性质可知FC=BC=8,AF=AB=4, 在Rt△BEF中，：BE+BF2=EF2, 在Rt△AFE中，AE=AF2+EF,即(8-EF)2=42+EF. 解得EF=3,.EC=5. 2+(4--,解得x一昌 ∴阴影部分的面积为7EC·AF=之×5X4=10, EF=8, 4.D5.√6+√2 微专题3特殊平行四边形的性质与判定 微专题2与正方形有关的四个常考模型 1.C 1.,四边形ABCD是正方形， 2.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90° ∴.AF∥BC,AB∥DC, :∠AOB=180°-∠AOF=90°， ∠AFE=∠FBC,∠FED=∠ABE. .∴.∠BAE+∠OBA=90° BE平分∠ABC,∴.∠FBC=∠ABE, 又'∠ABE=∠CBF+∠OBA=90°，.∠BAE=∠CBF .∠AFE=∠FED,.DE=DF 在△ABE和△BCF中， (2)四边形AEFG是矩形.理由如下： ∠ABE=∠BCF, 四边形ABCD是平行四边形， AB=BC, .AF∥BC,AB∥DC,AD=BC, ∠BAE=∠CBF, .∠AFE=∠FBC. '.△ABE≌△BCF(ASA).∴.BE=CF 又DE=EC,∠DEF=∠BEC, 2 .△DEF≌△CEB,.FD=BC=AD ,DE=DG,∴.四边形AEFG是平行四边形 .(1)证明：如图①，过点P作FG∥DC,分别交AD,BC于 DE=DF,EG=AF,四边形AEFG是矩形. 点F,G.易得∠PFD=∠CGP=90° 3.问题解决： ,BD为正方形ABCD的对角线， (1)证明：如图①，四边形ABCD是 .∠BDF=∠FPD=45.∴.PF=FD. 矩形， 又，FG∥DC,FD∥GC,∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠DAB=90° .四边形FGCD为矩形..FD=CG.'.PF=CG. ∴.∠BAF+∠GAD=90°. .'PE⊥PC,∴.∠FPE+∠GPC=90° DE⊥AF,∴∠ADG+∠GAD=90° ∠FEP+∠FPE=9O°，∠FEP=∠GPC. ∴.∠BAF=∠ADG. 在△PFE和△CGP中， 又.AF=DE,.△ABF≌△DAE,∴.AB=DA. ∠FEP=∠GPC, ∴矩形ABCD是正方形. ∠PFE=∠CGP, (2)△AHF是等腰三角形.理由如下： PF=CG, AB=DA,∠ABH=∠DAE=90°，BH=AE, ∴.△PFE≌△CGP(AAS).∴.PE=CP. ∴.△ABH≌△DAE,.AH=DE. (2)补全图形如图②所示.(1)中的结论仍成立. 又，DE=AF,∴AH=AF,即△AHF是等腰三角形. 理由：过点P作FG∥DC分别交AD,BC于点F,G.同理 类比迁移： 可证△PFE≌△CGP(AAS). 如图②，延长CB到点H,使得BH=AE=6,连接AH. ∴.PE=PC 四边形ABCD是菱形， ∴.AD∥BC,AB=AD,∴∠ABH=∠DAE. BH=AE,∴.△ABH≌△DAE. .AH=DE,∠AHB=∠DEA=60° 图② 又DE=AF,AH=AF. 4.(1)证明：延长BC至点H, ∠AHB=60°，.△AHF是等边三角形， 使CH=AE,连接DH, ∴.AH=HF, :四边形ABCD是正方形， .DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8. .AD=CD,∠A=∠DCH=90° 阶段测评1(1.1~1.4) .'.△DAE≌△DCH(SAS) 1.D2.A3.D4.B5.B6.C7.(5,4)8.菱形 .DE=DH,∠ADE=∠CDH 9.√1010.√1011.1312.22.5° :∠ADC=90°，∠EDF=45°，.∠ADE+∠FDC=45° 13.(1)证明：，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线， 级数学（上）·BS一