专题11.2 图形在坐标系中的平移（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦平面直角坐标系中点与图形的平移，从点的平移坐标规律（左减右加、上加下减）切入，延伸至图形整体平移的本质（所有顶点同步平移），构建从单点平移到图形平移、正向计算到逆向推导的知识脉络，通过概念解析、规律总结、分层题型形成学习支架。 该资料以“规律提炼-双向转化-综合应用”为特色，通过10类题型（如单点移动、图形作图、参数问题）培养数学思维中的推理意识（如逆平移公式推导）和几何直观（图形平移作图），融入规律探究、动点问题发展创新意识。课中助力分层教学，课后通过即学即练与综合练习帮助学生巩固坐标规律，提升数形结合能力，有效查漏补缺。

专题11.2 图形在坐标系中的平移 教学目标 1.理解平面直角坐标系中点的平移、图形平移的概念，明确图形平移的本质是图形上所有点的同步平移，平移只改变图形位置，不改变图形的形状与大小。 2.掌握平面内点左右、上下平移的坐标变化规律，熟练记忆点的平移坐标变换法则，能根据平移方向与距离求出平移后点的坐标。 3.掌握平面图形平移的坐标变化特征，能根据图形顶点坐标的变化，判断图形的平移方向和平移距离，实现图形平移与坐标变化的双向转化。 4.能根据已知条件画出平移后的几何图形，通过求出顶点平移后的坐标，规范描点、连线，完成图形平移作图，掌握平移作图的基本步骤与规范。 5.能利用坐标系平移规律解决简单的几何计算、图形位置判断问题，能结合图形平移特征分析图形位置关系，提升数形结合与几何直观能力。 6.经历观察、操作、猜想、归纳坐标平移规律的过程，体会数形结合思想、转化思想，培养归纳总结与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握平面直角坐标系内点的平移坐标变化规律，能熟练完成点平移前后的坐标计算； （2）掌握图形平移与顶点坐标变化的对应关系，能根据图形平移确定坐标变化，根据坐标变化判定图形平移过程； （3）能利用坐标平移规律，规范完成平面图形的平移作图； （4）运用平移坐标规律解决基础求值、图形位置判断问题。 2. 难点 （1）准确区分左右平移、上下平移对应的横、纵坐标变化，避免正负号、加减规律混淆出错； （2）理解图形整体平移等价于所有顶点同步平移的几何本质，建立点与图形的平移关联； （3）根据坐标的整体变化逆向推导图形的平移方向与平移距离，突破正向思维局限； （4）结合多个平移变换进行综合推理，解决连续平移、参数平移类问题，灵活运用数形结合思想分析问题。 知识点01 平面直角坐标系中的平移 1. 在平面直角坐标系中，描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标的变化来表示。 2.对于平面直角坐标系上任意一点 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 平移变换 向左平移个单位 向右平移个单位 向上平移个单位 向下平移个单位 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 【注意】 1）左右平移，横坐标改变(左减右加)，纵坐标不变； 2）上下平移，纵坐标改变(上加下减)，横坐标不变； 3）平移变换的特征：平移变化下，图形的形状和大小不变，变的是图形的位置。 3.中点坐标：若平面直角坐标系中有两点，，则线段AB的中点坐标为。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）若点的坐标为向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为（  　） A． B． C． D． 2．如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，．将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标； (2)求三角形的面积 题型01 求点沿坐标轴移动后的坐标 【典例1】将点沿x轴方向向左平移3个单位，所得的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 单点移动直接套公式：原坐标(x,y)，左右移变x，上下移变y，单次移动一步计算，不易出错。 【变式1】在平面直角坐标系中，将点沿x轴向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】点沿轴正方向平移2个单位长度，再向轴负方向平移1个单位长度后，点的坐标为_____，它位于_____轴上． 【变式3】将点先沿y轴向下平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点，则点的坐标是__． 题型02 求点平移后的坐标 【典例1】将点先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 平移无先后顺序，横竖平移互不影响，可分开计算横坐标、纵坐标。 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点关于轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，将它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是____________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将点P先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点．若点P的坐标为，则点的坐标是______． 题型03 由平移前后点的坐标确定平移方式 【典例1】在平面直角坐标系中，将点平移到轴上，则下列方法正确的是（　　） A．向右平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度 【典例2】在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． （1）横坐标差值判断：新x-原x，结果为正向右平移，结果为负向左平移，绝对值为平移单位数； （2）纵坐标差值判断：新y-原y，结果为正向上平移，结果为负向下平移，绝对值为平移单位数。 【变式1】在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【变式2】（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标分别是，将线段平移后得到线段（点M，N分别平移到点，的位置），若点的坐标为，则点的坐标为____． 【变式3】将点向_______平移______个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 【变式4】如果点A，B的坐标分别为,，那么将点A向______平移________个单位得到点B． 题型04 由平移后的坐标求平移前的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． （1）逆平移核心：已知平移后坐标求原坐标，平移方向全部反向，运算符号反向； （2）逆推公式：右移变左移、左移变右移，上移变下移、下移变上移。 【变式1】如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为_______． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 题型05 图形在坐标系中的平移 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，将平移，使点与原点重合，得到，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 整体平移原则：图形所有顶点平移方向、平移单位完全一致。 【变式1】的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2】如图，把经过一定的变换得到（与B重合），如果图中上点P的坐标为，那么这个点在中的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（    ） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【变式4】如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _____． 题型06 由平移求字母参数 【典例1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， （1）根据平移规则列出含参数等式，横坐标变化列一个方程，纵坐标变化列一个方程； （2）求解验算：解出参数后代入原坐标，验证平移前后变化一致。 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，将点先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到点，则________． 【变式3】将点向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点，则_________． 题型07 求中点坐标 【典例1】点和点的中点坐标为__________． 【变式1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为_______． 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·期末）嘉嘉探究线段的中点的坐标时，发现如下结论：在平面直角坐标系中，已知两点，，则线段的中点的坐标为，例如：点，，则线段AB的中点M的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是，则的值等于______． 题型08 在坐标系中作图形的平移 【典例1】作图题： 是由平移后得到的，中任意一点经过平移后对应点为，请在坐标系中画出三角形并求出，，的坐标． （1）定点法作图：选取多边形所有顶点、曲线关键点，逐一平移得到对应点； （2）严格按规则平移：所有关键点平移方向、单位完全相同，保证图形不变形； （3）收尾规范：用平滑线条顺次连接对应点，标注新顶点字母，保留作图痕迹。 【变式1】（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图，在网格图中，平移使点A平移到点D．点C的坐标是． (1)画出平移后的，并写出各点坐标； (2)求的面积． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，三角形经过平移得到三角形、、，若三角形内任意一点平移后的对应点为． (1)写出点、、的坐标，并在图中作出三角形． (2)求三角形的面积． 【变式3】平面直角坐标系中，三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）． (1)请画出沿x轴向右平移4个单位长度后的（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法） (2)直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． (3)求的面积． 题型09 坐标系中的规律探究问题 【典例1】小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球P从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球P第2024次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一个机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，以此规律走下去，当机器人到达点时，它在坐标系中坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，对点进行如下规则的操作：横坐标乘以再减1，纵坐标加1，得到点．第一次操作得到的点记为，对点坐标继续进行一次相同规则的操作，得到的点记为，对点再进行相同操作得到的点记为，…，以此类推，第n次操作得到的点记为．现有点，对进行2026次这样的操作后得到的点的坐标为______． 【变式4】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是______． 题型10 坐标系中的动点存在性问题 【典例1】如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （1）设参列式：设动点运动时间为t，用含t的代数式表示动点横、纵坐标； （2）分类讨论：根据动点位置、运动区间、象限情况分情况讨论，不重不漏； （3）条件列方程：根据平行坐标轴、距离相等、中点重合、面积定值等条件列方程求解； （4）取值验证：求出t后，验证是否在动点有效运动范围内，舍去无效解。 【变式1】在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点．将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B，再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接、． (1)直接写出点B、C的坐标； (2)连接，如图①，求三角形的面积； (3)连接，如图②，点在y轴上，若三角形与三角形的面积相等，求m的值； (4)如图③，过点C作轴于点E，P是射线上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接、，直接写出、、之间的数量关系． 【变式4】如图，四边形是长方形，边在x轴上，轴．已知点A坐标为，点C坐标为．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P的运动时间为． (1)点D坐标为______； (2)连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求x的值； (3)连接，，直接写出三角形的面积为3时，点P的坐标． 1．（25-26七年级下·河南许昌·期中）点向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，，将线段平移到，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系中，点向左平移个单位长度得到点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（2026·山东淄博·一模）如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 5．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）将点向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，点的坐标为，则__________． 6．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点的坐标是，则点在内的对应点的坐标是__________． 7．（25-26七年级下·天津武清·期末）将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，，．把三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形，并写出点的坐标． 9．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点的坐标． (2)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点的对应点，请在所给坐标系中画出． (3)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示点的坐标为___________． 10．已知点，点Q的坐标为． (1)若点P在x轴上，请求出点P的坐标； (2)若直线轴，请求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标． 11．在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． 1．已知点，，将线段平移至，若在轴正半轴上，在轴上，则的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2026秒瓢虫在（    ）处 A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________． 5．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位得到点．若点在第二象限，则n的取值范围是________． 6．（25-26七年级下·北京·期中）已知在平面直角坐标系中，点，都不在坐标轴上，将线段平移，使点，平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标为__________． 7．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，则： （1）点的友好点的坐标为______； （2）设，则的值为______． 8．（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，平移线段，使点移动到点，则点对应点． (1)点的坐标为_________，四边形的面积为_________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，点，，，将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，回答下面问题： (1)请在平面直角坐标系中画出平移后的三角形； (2)填空： ， ， ； (3)三角形中任意一点，平移后的对应点的坐标为 ．（请用含的代数式填空） 10．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）在平面直角坐标系中，点，，满足．将线段沿着轴向上平移5个单位长度，得到线段（点，分别对应点，），连接． (1)填空：的值为_________，的值为_________，点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)如图①，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），连接，．无论点如何运动，则有始终成立，请你说明理由； (3)备用图②，点是轴上的一个动点，连接，，当点运动到某个位置时，三角形的面积和四边形的面积相等，试求出此时点的坐标． 11．（25-26七年级下·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中．已知点，，且．平移线段得到，且点到轴的距离为5个单位，点到轴的距离为3个单位． (1)求，的值； (2)直接写出点，的坐标； (3)当点，在第一象限时，顺次连接点，，，，得到平行四边形．连接和，相交于点，已知点是线段和的中点．观察点的坐标与线段和端点坐标的关系． ①猜想：已知点，，线段的中点坐标是多少？ ②点是线段上任意一点，当时，求点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 图形在坐标系中的平移 教学目标 1.理解平面直角坐标系中点的平移、图形平移的概念，明确图形平移的本质是图形上所有点的同步平移，平移只改变图形位置，不改变图形的形状与大小。 2.掌握平面内点左右、上下平移的坐标变化规律，熟练记忆点的平移坐标变换法则，能根据平移方向与距离求出平移后点的坐标。 3.掌握平面图形平移的坐标变化特征，能根据图形顶点坐标的变化，判断图形的平移方向和平移距离，实现图形平移与坐标变化的双向转化。 4.能根据已知条件画出平移后的几何图形，通过求出顶点平移后的坐标，规范描点、连线，完成图形平移作图，掌握平移作图的基本步骤与规范。 5.能利用坐标系平移规律解决简单的几何计算、图形位置判断问题，能结合图形平移特征分析图形位置关系，提升数形结合与几何直观能力。 6.经历观察、操作、猜想、归纳坐标平移规律的过程，体会数形结合思想、转化思想，培养归纳总结与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握平面直角坐标系内点的平移坐标变化规律，能熟练完成点平移前后的坐标计算； （2）掌握图形平移与顶点坐标变化的对应关系，能根据图形平移确定坐标变化，根据坐标变化判定图形平移过程； （3）能利用坐标平移规律，规范完成平面图形的平移作图； （4）运用平移坐标规律解决基础求值、图形位置判断问题。 2. 难点 （1）准确区分左右平移、上下平移对应的横、纵坐标变化，避免正负号、加减规律混淆出错； （2）理解图形整体平移等价于所有顶点同步平移的几何本质，建立点与图形的平移关联； （3）根据坐标的整体变化逆向推导图形的平移方向与平移距离，突破正向思维局限； （4）结合多个平移变换进行综合推理，解决连续平移、参数平移类问题，灵活运用数形结合思想分析问题。 知识点01 平面直角坐标系中的平移 1. 在平面直角坐标系中，描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标的变化来表示。 2.对于平面直角坐标系上任意一点 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 平移变换 向左平移个单位 向右平移个单位 向上平移个单位 向下平移个单位 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 【注意】 1）左右平移，横坐标改变(左减右加)，纵坐标不变； 2）上下平移，纵坐标改变(上加下减)，横坐标不变； 3）平移变换的特征：平移变化下，图形的形状和大小不变，变的是图形的位置。 3.中点坐标：若平面直角坐标系中有两点，，则线段AB的中点坐标为。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）若点的坐标为向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，掌握点平移的坐标变化规律“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”即可求解． 【详解】解：∵点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴根据点平移的坐标变化规律，点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为， 故选：A． 2．如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 【答案】 【分析】根据坐标平移变化规律，向上平移纵坐标增加，横坐标不变，得到平移后点的坐标，结合x轴上点的纵坐标为0，求出的值，代入即可得到点的坐标． 【详解】解：点向上平移个单位长度后，所得点的坐标为，即． 平移后点落在轴上， ． 将代入点的坐标得，横坐标，纵坐标， 则点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，．将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标； (2)求三角形的面积 【答案】(1)见解析，点的坐标为（1，5） (2)7 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移变换以及三角形面积的计算（割补法），解题的关键是掌握平移规律（右移横坐标加，上移纵坐标加）和割补法求格点三角形面积的方法． （1）根据平移规律求出坐标，再画出平移后的三角形； （2）用割补法，通过矩形面积减去周围三个直角三角形面积，计算的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作，点的坐标为（1，5）； （2）解：． 题型01 求点沿坐标轴移动后的坐标 【典例1】将点沿x轴方向向左平移3个单位，所得的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的平移：左减右加，上加下减解答可得． 【详解】解：将点沿x轴方向向左平移3个单位，所得的点的坐标是，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 单点移动直接套公式：原坐标(x,y)，左右移变x，上下移变y，单次移动一步计算，不易出错。 【变式1】在平面直角坐标系中，将点沿x轴向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用平移变换，点的变化规律求解即可． 【详解】将点沿x轴向右平移3个单位到Q点， 即Q点的横坐标加3，纵坐标不变，即Q点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查点坐标的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式2】点沿轴正方向平移2个单位长度，再向轴负方向平移1个单位长度后，点的坐标为_____，它位于_____轴上． 【答案】 【分析】先根据平移规则算出平移后的横、纵坐标，再根据坐标特征判断点在哪条坐标轴上（纵坐标为0在轴上，横坐标为0在轴上）． 【详解】解：已知点， 沿轴正方向平移2个单位，横坐标加2： ； 再向轴负方向平移1个单位，纵坐标减1： ， 因此平移后点的坐标为， 该点纵坐标为0，根据坐标轴上点的特征，纵坐标为0的点在轴上． 【变式3】将点先沿y轴向下平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点，则点的坐标是__． 【答案】 【分析】根据点的坐标平移规律左减右加，上加下减计算即可． 【详解】∵点先沿y轴向下平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位， ∴点的坐标是即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 题型02 求点平移后的坐标 【典例1】将点先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（上加下减），依据该规律计算平移后点的坐标即可，熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律是解此题的关键． 【详解】解：将点先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的对应点的坐标是，即， 故选：A． 平移无先后顺序，横竖平移互不影响，可分开计算横坐标、纵坐标。 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点关于轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标平移，关于轴对称点的坐标特征，解题的关键是掌握点平移坐标的变化规律．根据平移规则，得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标取相反数，纵坐标不变，求点的坐标即可． 【详解】解：将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点， ，即， 点关于轴对称点的坐标为． 故选：C． 【变式2】已知点，将它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是____________． 【答案】 【分析】根据坐标平移的变化规律，向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算得到点的横纵坐标即可求解． 【详解】解：点，将它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到点，则点的坐标是，即， 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将点P先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点．若点P的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，结合点的坐标进行计算即可． 【详解】解：因为点的坐标为， 根据题意，得点的坐标是即． 题型03 由平移前后点的坐标确定平移方式 【典例1】在平面直角坐标系中，将点平移到轴上，则下列方法正确的是（　　） A．向右平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是关键． 根据点的平移规律“左减右加”求解即可． 【详解】解：将点平移到轴上，即平移后横坐标变为， 所以点向右平移3个单位长度即可平移到轴上， 故选：A ． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 【答案】 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴的对应点D的坐标为，即． （1）横坐标差值判断：新x-原x，结果为正向右平移，结果为负向左平移，绝对值为平移单位数； （2）纵坐标差值判断：新y-原y，结果为正向上平移，结果为负向下平移，绝对值为平移单位数。 【变式1】在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，利用平移变换的规律解决问题即可．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点向左平移个单位，向上平移5个单位得到点的坐标为， 线段平移的方式是：向左平移个单位，向上平移5个单位． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标分别是，将线段平移后得到线段（点M，N分别平移到点，的位置），若点的坐标为，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】比较的横坐标、纵坐标，可知平移后横坐标加2，纵坐标加2，由于点平移规律相同，坐标变化也相同，即可得的坐标． 【详解】解：由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同， 由点M到点可知平移后点的横坐标加2，纵坐标加2， 故点的坐标为，即． 【变式3】将点向_______平移______个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 【答案】 上 5 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点特征、点平移的特征，根据关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得出点关于轴对称的点，再根据点平移的特征：把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减，即可得出结果． 【详解】解：根据关于坐标轴对称的点特征，可知：点关于轴对称的点为， 又∵点， ∵， ∴将点A向上平移个单位长度后得到的点． 故答案为：上；． 【变式4】如果点A，B的坐标分别为,，那么将点A向______平移________个单位得到点B． 【答案】 上 7 【分析】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握坐标平移的规律是解题的关键．根据左减右加横坐标，上加下减纵坐标进行求解即可． 【详解】∵，得横坐标相同， ∴将点A向上平移7个单位得到点B， 故答案为：上，7． 题型04 由平移后的坐标求平移前的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知平移后的坐标求原坐标． 根据点平移的规律，用，表示点的坐标，可得关于，的方程，从而可得，的值，即可得点的坐标． 【详解】解：由平移过程可得， ∵点R的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：B． （1）逆平移核心：已知平移后坐标求原坐标，平移方向全部反向，运算符号反向； （2）逆推公式：右移变左移、左移变右移，上移变下移、下移变上移。 【变式1】如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 【详解】解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 【变式2】点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 - 平移，熟练掌握点的平移规律（右加左减横坐标，上加下减纵坐标）是解题的关键．根据点平移的逆过程，将点反向平移得到点的坐标． 【详解】解：横坐标： 纵坐标： 故点的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：将点向左平移得到，左右平移过程中纵坐标不变， 点的纵坐标为， 又将点向下平移得到，上下平移过程中横坐标不变， 点的横坐标为， 点的坐标为． 题型05 图形在坐标系中的平移 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，将平移，使点与原点重合，得到，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点的原始坐标，根据平移后与原点重合，得出平移量，再用此平移量计算点平移后的坐标． 【详解】解：由图可知： 点的原始坐标为 点的原始坐标为 ∵平移后点与原点重合， ∴平移量为： ∴点平移后， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的平移变换，解题关键是准确确定平移向量，并利用坐标平移规则计算对应点的坐标． 整体平移原则：图形所有顶点平移方向、平移单位完全一致。 【变式1】的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，沿x轴平移时纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规则，需分向右平移和向左平移两种情况计算． 【详解】解：点沿x轴平移时，纵坐标保持不变，横坐标右移加、左移减， 分两种情况： 当沿轴向右平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 当沿轴向左平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 综上，A点坐标变为或， 故选：C． 【变式2】如图，把经过一定的变换得到（与B重合），如果图中上点P的坐标为，那么这个点在中的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到一对对应点的平移规律，让点P的坐标也作相应变化即可． 【详解】解：点B的坐标为，点的坐标为； 横坐标增加了；纵坐标增加了； ∵上点P的坐标为， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 【变式3】如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（    ） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【答案】C 【分析】本题考查图形变换−平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解． 【详解】解：A.由图可得，将先向右平移3格，再向上平移2格得到选项正确； B.将先向上平移2格，再向右平移3格得到，选项正确； C.将先向左平移3格，再向下平移2格可得到，故选项错误； D.将先向左平移3格，再向下平移2格得到，选项正确； 故选：C． 【变式4】如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _____． 【答案】(-2,-1) 【分析】根据“左减右加，上加下减”的原则即可求解． 【详解】由图可知，P点坐标为(-5,4)， ∵图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴P点横坐标加3，纵坐标减5， 即-5+3=-2，4-5=-1， 即的坐标为(-2,-1)． 故答案为：(-2,-1)． 【点睛】本题考查了坐标的平移，掌握“左减右加，上加下减”的原则是解答本题的关键． 题型06 由平移求字母参数 【典例1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． （1）根据平移规则列出含参数等式，横坐标变化列一个方程，纵坐标变化列一个方程； （2）求解验算：解出参数后代入原坐标，验证平移前后变化一致。 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征．熟悉关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 两个点关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，且， ∴， ∴． 故选：． 【变式2】（25-26七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，将点先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到点，则________． 【答案】 【分析】根据点的平移-横坐标左减右加，纵坐标上加下减，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：将点先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到点， 则，， 解得：，， 则． 【变式3】将点向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点，则_________． 【答案】 【分析】先按照坐标平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，列式求得m、n，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵将点向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点， ∴，， ∴，， ∴． 题型07 求中点坐标 【典例1】点和点的中点坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查中点坐标公式．若，，则中点坐标为，熟练掌握公式是解题的关键． 根据中点坐标公式运算即可． 【详解】解：∵点和点 ∴，， ∴点和点的中点坐标为． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 【变式2】公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·期末）嘉嘉探究线段的中点的坐标时，发现如下结论：在平面直角坐标系中，已知两点，，则线段的中点的坐标为，例如：点，，则线段AB的中点M的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是，则的值等于______． 【答案】或 【分析】先根据中点公式表示出点的坐标，再根据题意得出点的横坐标为，纵坐标为，分别计算即可． 【详解】解：∵点，， ∴线段的中点的坐标为， ∵点位于轴上，且到轴的距离是， ∴，， 当时， 解得， ∴； 当时， 解得， ∴； 综上所述，或． 题型08 在坐标系中作图形的平移 【典例1】作图题： 是由平移后得到的，中任意一点经过平移后对应点为，请在坐标系中画出三角形并求出，，的坐标． 【答案】图见解析，、、 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，解题关键是根据已知点的平移规律，求出各顶点的坐标，再进行作图．已知中任意一点经过平移后对应点为，说明是由向左平移3个单位，向下平移5个单位得到的，由坐标平移变化规律得出新坐标即可． 【详解】解：如图所示，、、 （1）定点法作图：选取多边形所有顶点、曲线关键点，逐一平移得到对应点； （2）严格按规则平移：所有关键点平移方向、单位完全相同，保证图形不变形； （3）收尾规范：用平滑线条顺次连接对应点，标注新顶点字母，保留作图痕迹。 【变式1】（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图，在网格图中，平移使点A平移到点D．点C的坐标是． (1)画出平移后的，并写出各点坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，，， (2)7 【分析】本题考查了平移作图，写出点的坐标，坐标与图形，数形结合，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质，可得平移方式为向右平移6个单位，然后向下平移2个单位，找到的对应点，顺次连接，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可知，，，； （2）的面积为． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，三角形经过平移得到三角形、、，若三角形内任意一点平移后的对应点为． (1)写出点、、的坐标，并在图中作出三角形． (2)求三角形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了画平移图形，坐标与图形，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质求出、、的坐标，然后根据、、的坐标描出各点，最后顺次连线即可； （2）根据割补法即可求解面积． 【详解】（1）解：∵三角形内任意一点平移后的对应点为， ∴三角形向右平移3个单位，再向上平移4个单位， ∴得， 如图所示． （2）解： ． 【变式3】平面直角坐标系中，三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）． (1)请画出沿x轴向右平移4个单位长度后的（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法） (2)直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． (3)求的面积． 【答案】(1)作图见详解． (2)，，． (3)． 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质、图形的平移、三角形的面积问题，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标的确定方法、分割法求三角形的面积的思想等知识点． （1）将三点分别向右平移4个单位，再顺次连接即可得到答案； （2）由（1）中所画图形即可得到答案； （3）割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）三点坐标为：，，． （3）采用割补法，将放在一个长方形中，用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积． ． 题型09 坐标系中的规律探究问题 【典例1】小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球P从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球P第2024次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律性变化，解决此类问题的关键是找到待求量与序号之间的关系．按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，然后计算2025有几个6即可求出对应点的坐标． 【详解】解：按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，如下图： ，，，，，，，…， 通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环， ∵， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 【变式1】如图，一个机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，以此规律走下去，当机器人到达点时，它在坐标系中坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点的坐标规律探究，熟练掌握分析移动方向和距离规律，分别计算坐标轴方向净移动量是解题的关键．先分析机器人每次移动的方向和距离规律，分别计算出到达时在轴和轴方向上的移动量，进而确定坐标． 【详解】解：机器人移动方向依次为东、北、西、南循环，移动距离依次为，，，，，即第次移动距离为米． 第次向东（正方向）移动米； 第次向西（负方向）移动米； 第次向东（正方向）移动米； 第次向西（负方向）移动米； 第次向东（正方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 第次向南（负方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 第次向南（负方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 因为机器人向轴正方向移动了，轴正方向移动了， 所以坐标为． 故选：． 【变式2】如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据前几次运动的坐标特点可得规律横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，据此求解即可． 【详解】解：第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， …， 以此类推可知，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次， 纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次， ∵， ∴第2025次运动后，蚂蚁的横坐标为，纵坐标为 ∴第2024次的坐标是， 故选D． 【变式3】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，对点进行如下规则的操作：横坐标乘以再减1，纵坐标加1，得到点．第一次操作得到的点记为，对点坐标继续进行一次相同规则的操作，得到的点记为，对点再进行相同操作得到的点记为，…，以此类推，第n次操作得到的点记为．现有点，对进行2026次这样的操作后得到的点的坐标为______． 【答案】 【分析】先计算前几次操作后的点坐标，归纳坐标变化规律，再根据规律确定第2026次操作后的坐标． 【详解】解：已知初始点为，按照操作规则依次计算得： 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即． 归纳规律： 1. 纵坐标：每次操作纵坐标加，第次操作后纵坐标为； 2. 横坐标：操作次后，若为偶数，横坐标为；若为奇数，横坐标为； 因为是偶数，因此的横坐标为，纵坐标为． 【变式4】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键． 观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， 由于， 所以经过第2024次运动后，动点P的坐标是． 故答案为：． 题型10 坐标系中的动点存在性问题 【典例1】如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)6 (3)存在，P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． （1）设参列式：设动点运动时间为t，用含t的代数式表示动点横、纵坐标； （2）分类讨论：根据动点位置、运动区间、象限情况分情况讨论，不重不漏； （3）条件列方程：根据平行坐标轴、距离相等、中点重合、面积定值等条件列方程求解； （4）取值验证：求出t后，验证是否在动点有效运动范围内，舍去无效解。 【变式1】在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 【变式3】在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点．将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B，再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接、． (1)直接写出点B、C的坐标； (2)连接，如图①，求三角形的面积； (3)连接，如图②，点在y轴上，若三角形与三角形的面积相等，求m的值； (4)如图③，过点C作轴于点E，P是射线上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接、，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)8 (3)或． (4)或 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律、三角形面积、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据平移的方式求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）首先求出，，，然后根据三角形与三角形的面积相等得到，然后分情况讨论求解即可； （4）如图所示，过点P作，根据题意分两种情况讨，然后分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）∵将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B， ∴ ∵将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C， ∴； （2）∵， ∴，轴 ∵ ∴三角形的面积； （3）∵，， ∴，， ∵三角形与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴当时，，解得，不符合题意，应舍去； ∴当时，，解得，符合题意； ∴当时，，解得，符合题意； 综上所述，或． （4）如图所示，过点P作，当点P在线段上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点P在射线上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上所述，、、之间的数量关系为或． 【变式4】如图，四边形是长方形，边在x轴上，轴．已知点A坐标为，点C坐标为．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P的运动时间为． (1)点D坐标为______； (2)连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求x的值； (3)连接，，直接写出三角形的面积为3时，点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用； （1）利用矩形的性质求出，，可得结论； （2）分两种情形：如图1，当点在线段上时，如图2，当点在线段上时，分别根据将长方形的面积分为的两部分构建方程求解即可； （3）当点与重合时，的面积为3，此时，当点在上且时，的面积为3，此时． 【详解】（1）解：四边形ABCD是矩形，，， ，， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 如图1，当点P在线段上时， 由题意，， ， ， 如图2，当点P在线段上时， 由题意，， ， ， 综上所述，满足条件的x的值为或； （3）如图3， 当点P与A重合时，的面积为， 此时， 当点在上且时，的面积为， 此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 1．（25-26七年级下·河南许昌·期中）点向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移规律：上下平移时横坐标不变，纵坐标向上平移加，向下平移减，计算即可得到结果． 【详解】解：∵点向上平移时，横坐标不变，纵坐标加上平移的单位长度． ∴ 点向上平移个单位长度后，横坐标保持不变，纵坐标为． ∴ 平移后得到的点的坐标是． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，，将线段平移到，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点的坐标平移后所得点的坐标得到平移规律，再根据平移规律可得点的坐标，确定平移规律是解题的关键． 【详解】解： ∵向右平移3个单位，向下平移4个单位得到， ∴向右平移3个单位，向下平移4个单位得到， 故选：A． 3．（2026·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系中，点向左平移个单位长度得到点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，向左平移时横坐标减小，纵坐标不变，据此列出方程求解的值． 【详解】解：∵点向左平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标减去等于点的横坐标， 即， 解得， 4．（2026·山东淄博·一模）如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点B和其对应点D的坐标，计算出平移的横坐标变化量和纵坐标变化量．利用上述计算出的变化量，结合点A的坐标求出点C的坐标． 【详解】∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化：，纵坐标变化：． ∵， ∴的横坐标：，的纵坐标：， ∴的坐标为． 5．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）将点向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，点的坐标为，则__________． 【答案】2 【分析】利用坐标平移的变化规律得到平移后点的坐标，根据平移后点的已知坐标建立关于和的方程，求解得到和的值后，即可计算的值． 【详解】解：将点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到点的坐标为，即． 点的坐标为， ，， 解得，， ． 6．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点的坐标是，则点在内的对应点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标是，先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点， ∴点的坐标是． 7．（25-26七年级下·天津武清·期末）将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 【答案】先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） 【分析】根据已知点平移前后的坐标特征，即可确定三角形的平移方式． 【详解】解：点平移后的对应点为， 横坐标加，符合向右平移个单位长度的坐标变化规律，纵坐标减，符合向下平移个单位长度的坐标变化规律， 三角形的平移方式为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） ． 8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，，．把三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】， 【分析】先根据平移作出点，依次连接即可得到三角形，根据所画的图形写出点的坐标即可解答． 【详解】解：如图，三角形即为所求，点的坐标为． 9．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点的坐标． (2)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点的对应点，请在所给坐标系中画出． (3)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)图见详解 (3) 【分析】（1）根据坐标系直接进行求解即可； （2）根据平移方式得到点，，的坐标，然后作图即可； （3）根据（2）中的平移方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由坐标系可知：； （2）解：所作如图所示： （3）解：由（2）可知：点的坐标为． 10．已知点，点Q的坐标为． (1)若点P在x轴上，请求出点P的坐标； (2)若直线轴，请求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标系里点的平移．熟练掌握坐标轴上的点的坐标特征，平行坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解题的关键，x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，平行y轴的直线上点的横坐标相等，平行x轴的直线上点的纵坐标相等． （1）根据x轴上点的纵坐标为0，建立方程，求出a的值，即得； （2）根据平行y轴，的直线上的横坐标相等，建立方程求得a值，即得； （3）根据点P的坐标为，，分点Ｑ在点Ｐ的上方和下方两种情况解答． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）∵，，直线轴， ∴， ∴， ∴． ∴点P的坐标为． （3）∵点P的坐标为，， ∴，或 ∴点Q的坐标为或． 11．在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【分析】（1）因为点P在过点且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中，即可得到答案． 本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征． 【详解】（1）解：∵P点在过点且与y轴平行的直线上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）由题意知，点M的坐标为，即， ∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7， ∴， 解得． 1．已知点，，将线段平移至，若在轴正半轴上，在轴上，则的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移规律求解，平移规律为：点左右平移时纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移时横坐标不变，纵坐标上加下减． 【详解】解：∵在轴正半轴上， ∴的横坐标为， ∵在轴上， ∴的纵坐标为， 已知，， ∵点原横坐标为，平移后横坐标为，可得线段向左平移个单位长度， 点原纵坐标为，平移后纵坐标为，可得线段向下平移个单位长度， ∴点平移后的纵坐标为， ∴的坐标为． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2026秒瓢虫在（    ）处 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出四边形的周长，则可得到瓢虫绕四边形一周需要的时间为7秒，求出2026除以7的余数即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ， ∴， ∴瓢虫绕四边形一周需要秒， ∵，，且， ∴第2026秒瓢虫在上，且与点B的距离为， ∴第2026秒瓢虫在处，即在处． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给运动方式，依次求出点(n为正整数)的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：观察蜗牛运动的方式可知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ……， 所以纵坐标每4次一个周期，横坐标每一个周期增加2， ∵，且， 所以点的坐标为． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点A和点C的坐标可判断出平移方式，再根据平移方式可得点D的坐标． 【详解】解：∵将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即． 5．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位得到点．若点在第二象限，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据点的平移规律得到平移后点的坐标，再根据第二象限内点的坐标特征列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解∶点向上平移个单位得到点， 根据平移规律，横坐标不变，纵坐标上移加，可得， 点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， ， 解不等式得， 解不等式得， 的取值范围是． 6．（25-26七年级下·北京·期中）已知在平面直角坐标系中，点，都不在坐标轴上，将线段平移，使点，平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标为__________． 【答案】 或 【分析】根据平移的性质，平移后点 分别落在两条坐标轴上，分两种情况讨论，结合坐标轴上点的坐标特征计算即可得到结果 【详解】解：设平移时横坐标变化量为，纵坐标变化量为，则平移后点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况讨论： 情况1：平移后点落在轴，点落在轴， 由坐标轴上点的坐标特征得： 得，， 此时点平移后的坐标为; 情况2：平移后点落在轴，点落在轴， 由坐标轴上点的坐标特征得： 得，， 此时点平移后的坐标为； 综上，点平移后的对应点的坐标为或 7．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，则： （1）点的友好点的坐标为______； （2）设，则的值为______． 【答案】 【分析】（1）根据友好点的定义直接代入坐标计算即可； （2）根据友好点定义推导点坐标的循环规律，得到周期为，再计算除以的余数，推出的坐标，进而计算的值． 【详解】解：（1）由友好点定义可知，点的友好点坐标为， ∵的坐标为， ∴的坐标为：， （2）设， 则，，，，， 因此点的坐标每次循环一次，周期为， ∵， ∴与坐标相同， ∵的坐标为， ∴， 则． 8．（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，平移线段，使点移动到点，则点对应点． (1)点的坐标为_________，四边形的面积为_________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；18 (2)点E的坐标为或 【分析】（1）由题意可得平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再结合平移的性质计算即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点，，的坐标分别是，，，平移线段，使点移动到点，则点对应点， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴四边形的面积为； （2）解：存在， 设点E的坐标为． ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴． ∵点C的坐标为，点O的坐标为， ∴． ∴的面积为． ∵三角形的面积是三角形面积的3倍， ∴的面积为3． ∵点B的坐标为，点E的坐标为． ∴． ∵的面积为3，． ∴． ∴或． ∴或2． ∴点E的坐标为或． 9．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，点，，，将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，回答下面问题： (1)请在平面直角坐标系中画出平移后的三角形； (2)填空： ， ， ； (3)三角形中任意一点，平移后的对应点的坐标为 ．（请用含的代数式填空） 【答案】(1)三角形如图所示： (2)，，； (3) 【分析】（1）根据题意画出平移后的三角形即可； （2）、（3）已知平移的方式，根据坐标点的平移法则“左减右加，上加下减”即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵，，， 又∵三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴，即；，即；，即； （3）∵三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 又∵为三角形中任意一点， ∴． 10．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）在平面直角坐标系中，点，，满足．将线段沿着轴向上平移5个单位长度，得到线段（点，分别对应点，），连接． (1)填空：的值为_________，的值为_________，点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)如图①，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），连接，．无论点如何运动，则有始终成立，请你说明理由； (3)备用图②，点是轴上的一个动点，连接，，当点运动到某个位置时，三角形的面积和四边形的面积相等，试求出此时点的坐标． 【答案】(1)，，，； (2)解：理由如下： 如图，过点作， 则． 由平移可得，． ． 则． ， ； (3)满足条件的点的坐标为或． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性得出，确定，再由平移的性质求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质得出，，结合图形即可证明； （3）结合图形得出，设点的坐标为，分两种情况分析：点在轴负半轴上时，当点在轴正半轴上时，作出图形，然后利用面积之间的关系建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将线段沿着轴向上平移5个单位长度，得到线段， ∴； （2）略 （3）由题可得，，，，． ． ． ． 设点的坐标为． ①当点在轴负半轴上时， ， 又， ． ， 解得． ②当点在轴正半轴上时， ，，， ， 解得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 11．（25-26七年级下·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中．已知点，，且．平移线段得到，且点到轴的距离为5个单位，点到轴的距离为3个单位． (1)求，的值； (2)直接写出点，的坐标； (3)当点，在第一象限时，顺次连接点，，，，得到平行四边形．连接和，相交于点，已知点是线段和的中点．观察点的坐标与线段和端点坐标的关系． ①猜想：已知点，，线段的中点坐标是多少？ ②点是线段上任意一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)，；，；，； ， (3)①；② 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）根据点到轴的距离为5个单位，点到轴的距离为3个单位，不妨设或，或，根据坐标的变化，确定平移方式，求解即可； （3）①根据，，，得出中点P的坐标；即可得中点坐标等于两个端点对应坐标和的一半，求解即可； ②根据得到，又点P是的中点，得到即点F是的四等分点，求解即可； 【详解】（1）解：，，， ，， ，； （2）解：根据题意，得，， 根据点到轴的距离为5个单位，点到轴的距离为3个单位，不妨设或，或， 当，时，这是一个向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度的平移变换，此时，； 当，时，这是一个向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度的平移变换，此时，； 当，时，这是一个向下平移8个单位长度，再向右平移5个单位长度的平移变换，此时，； 当，时，这是一个向下平移8个单位长度，再向左平移1个单位长度的平移变换，此时，； （3）解：①根据（2）可知在第一象限的点，坐标分别为，， 又，， 则， 不难发现中点P的横坐标为，纵坐标为； 故中点坐标等于两个端点对应坐标和一半， ∵点，，故线段的中点坐标是； ②解：， ， 又点P是的中点， ， ， ， ， 即点F是中靠近点的四等分点， 故点的横坐标为：，纵坐标为， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $