第十一章 平面直角坐标系（举一反三讲义）数学沪科版2024八年级上册

第十一章 平面直角坐标系（举一反三讲义）全章题型归纳 【沪科版2024】 【培优篇】 3 【题型1 由点的坐标判断象限】 3 【题型2 由点的坐标特征求值】 4 【题型3 由点到坐标轴的距离求坐标】 6 【题型4 点或图形的平移、对称】 8 【题型5 坐标系中的面积问题】 10 【拔尖篇】 14 【题型6 坐标与点的移动规律探究】 14 【题型7 坐标与图形变换规律探究】 17 【题型8 坐标系中的动点问题探究】 21 【题型9 坐标系中角度关系问题探究】 29 知识点1 有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫做有序数对，记作． 知识点2 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点3 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点4 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 知识点5 用坐标表示平移 （1）点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)． （2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 知识点6 轴对称与坐标变化 （1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数;反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称． （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数;反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称． 【培优篇】 【题型1 由点的坐标判断象限】 【例1】如图是某动物园的平面示意图，若以大门为原点，向右的方向为轴正方向，向上的方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则驼峰所在的象限是(        ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】首先以大门为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后再根据驼峰的位置确定象限. 【详解】解：如图所示， 熊猫馆、猴山、百草园都在第一象限，横、纵坐标都为正数； 驼峰在第四象限，横坐标为正数，纵坐标为负数， 故选D． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系，掌握四个象限内点的坐标符号. 【变式1-1】（24-25八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，解题关键是掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴该点位于横、纵坐标均为正的第一象限．故选A． 【变式1-2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判定点所在象限，根据象限中点判定即可．第一象限点的符号为，第二象限点的符号为，第三象限点的符号为，第四象限点的符号为，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B ． 【变式1-3】（24-25七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点一定不在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查点的坐标的相关知识；根据x的取值判断出相应的象限是解决本题的关键．判断出A的横纵坐标的符号，进而判断出相应象限即可． 【详解】解：当x为正数的时候，一定为正数， 所以点可能在第一象限； 当x为负数的时候，可能是负数，也可能为正数， ∴可能在第二象限，或第三象限， ∴点一定不在第四象限． 故答案为：四． 【题型2 由点的坐标特征求值】 【例2】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第 象限． 【答案】二 【分析】此题主要考查根据点坐标判定其所在象限，熟练掌握各象限的点的坐标特征是解题关键．根据点在轴上，可得横坐标为，即可得出，进而得出点的坐标，即可判定其在第二象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴在第二象限． 故答案为：二 【变式2-1】（2025·河北沧州·模拟预测）若第二象限内的点满足，写出一个满足条件的点的坐标： ． 【答案】（答案不唯一，保证，，即可） 【分析】本题考查了点所在的象限求参数，写出直角坐标系中点的坐标，根据点在第二象限，以及即可得出符合题意的结果． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， ，时，，满足要求， ， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知平面直角坐标系中有两点、，且轴时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点、，且轴， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行x轴 的点的纵坐标相等，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：1． 【题型3 由点到坐标轴的距离求坐标】 【例3】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）点在第四象限，且到两条坐标轴的距离之和为5，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，涉及坐标点的象限，坐标点到坐标轴的距离，掌握相关知识点是解题的关键．根据点在第四象限可得，根据点到两条坐标轴的距离之和为5，列出关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵点到两条坐标轴的距离之和为5， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知点在轴上方，在轴左侧，则点到轴、轴的距离分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标的几何意义，到x轴的距离就是纵坐标的绝对值，到y轴的距离就是横坐标的绝对值．应先判断出点A的横纵坐标的符号，进而判断点A到x轴、y轴的距离． 【详解】解：点在x轴上方， 点A的纵坐标大于0，得到， 点A到x轴的距离是； 点在y轴的左边， 点A的横坐标小于0，即， 点A到轴的距离是； 故选：C． 【变式3-2】已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值确定出点的横坐标与纵坐标，即可得解． 【详解】解：点P在第四象限且到x轴距离为5，到y轴距离为3， ∴点P的横坐标是3，纵坐标是， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 【答案】(1)30； (2)． 【分析】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n， ． ， ． （2）解： ， ． ， ， ． 【题型4 点或图形的平移、对称】 【例4】（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，坐标确定位置，根据题目的已知条件建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．根据已知建立适当的平面直角坐标系，然后再根据点的平移规律，即可解答． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示： 棋子“马”位于点， 将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25九年级上·青海海东·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点B在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查点关于原点对称的坐标特点，根据点坐标的特点判定所在象限，理解并掌握点的对称性质是解题的关键． 根据点关原点对称的点的横坐标、纵坐标均变为相反数，再根据点坐标的符号即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点B的坐标为， ∴点B在第四象限， 故答案为：四． 【变式4-2】（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次 “跳马运动”．例如∶如图，点A做一次“跳马运动”，可以到达点B，但是到达不了点C．点P从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是 ． ① P 进行一次“跳马运动”可能到达的点有8 个； ② P 进行三次“跳马运动”后可以到达； ③ P 进行四次“跳马运动”后可以到达． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了坐标的平移，根据题中“跳马运动”的移动规则逐项进行分析判断即可，熟练掌握坐标移动规则是解题关键． 【详解】解：①由题可知，进行一次跳马运动， 首先沿任一坐标轴方向平移2个单位，可以到达，，，四个点， 再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位， 以上4个点都有向上或向下2种情况， 故可能到达的点有8 个，故①正确； ②，可以先向下平移2各单位， 再向右平移到，再向右平移2个单位， 再向上平移1个单位得到，第三次向左平移2个单位， 再向上平移1各单位得到，故②正确； ③按照规则如何移动四次都无法到达，故③错误， 综上所述正确的有：①②， 故答案为：①②． 【题型5 坐标系中的面积问题】 【例5】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 【变式5-1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意可以求得的值，然后再对进行讨论，即可求得的值，解题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 【详解】由题意可得，“水平底”， 当时，， 则， 解得：， 故点的坐标为； 当时，， 故此种情况不符合题意； 当时，， 则， 解得：， 故选：． 【变式5-3】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【拔尖篇】 【题型6 坐标与点的移动规律探究】 【例6】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点，点，点，点…的坐标分别为点，点，点，点…，按照这样的规律下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为下标数减1，…1，进而判断与的纵坐标相同，即可求解． 本题主要考查规律型：点的坐标，找到点的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：，，，，，… 根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为下标数减1，…1， 与的纵坐标相同， 故答案为： 【变式6-1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是 ，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置． 【详解】解：根据题意，可以画出相应的图形，罗列前几次小球的位置如下： 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，位置是， 小球第三次碰到球桌边时，位置是， 小球第四次碰到球桌边时，位置是， 小球第五次碰到球桌边时，位置是， 小球第六次碰到球桌边时，位置是， ……， ∵， ∴小球第2025次碰到球桌边时，位置是． 故选：B． 【变式6-2】（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）如图，已知，，按这样的规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标的规律问题，先找到点的规律，然后计算解题即可，解题的关键是找到点的坐标规律． 【详解】解：由题可知，每4个点纵坐标重复一次，横坐标向右平移6个单位长度， ∴ ， 则的横坐标为： ，纵坐标为1， 故选：C． 【变式6-3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 【题型7 坐标与图形变换规律探究】 【例7】（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的变化规律，根据 坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中， 都是等边三角形，且点的坐标分别是 ．依据图形所反映的规律，则的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到横坐标为，在x轴正半轴上，纵坐标为0，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，每4个为一组， ∵，，，……； ，的横坐标为， ，的横坐标为， ，的横坐标为， ……； ∵， ∴横坐标为， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∴的坐标是． 故选：A． 【变式7-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知． (1)求出三角形各个顶点的坐标． (2)按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系． 【答案】(1)点O的坐标是，点的坐标是，点的坐标是 (2) 【分析】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是找出点的规律； （1）先得到A的横坐标是，而纵坐标都是3，点的横坐标是，纵坐标是0即可作答； （2）根据三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】（1）解：由图可知，点O的坐标是． 已知，从点，，…，的坐标中找规律，发现点的横坐标是，而纵坐标都是3． 同理，点也一样找规律，发现点的横坐标是，纵坐标是0． 由上述规律可知，点的坐标是，点的坐标是． （2）解：根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高都是3． 由（1），得，所以． 又因为， 所以． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…，以为对角线作第一个正方形，以为对角线作第二个正方形，以为对角线作第三个正方形…顶点，，，…都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用图形分别得出B点横坐标，，，…的横坐标分别为：…，点的横坐标为：，再利用纵坐标变化规律进而得出答案． 【详解】解：分别过点，，，作轴，轴，轴于点D，E，F，    ∵ ， ∴，，，，， 可得出， ∵， ∴，，，， 可得， 同理可得出：，，…， ∵，，，…的横坐标分别为：…， ∴点的横坐标为：， ∵，，，…的纵坐标分别为：…， ∴点的纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键． 【题型8 坐标系中的动点问题探究】 【例8】（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在x轴、y轴上，B 点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问 题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求P、Q两点的坐标． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)① ②，  ③能；， 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点的坐标，再利用矩形的性质求出点的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可； ②点到轴的距离为个单位长度，则，即可求解； ③先求出矩形的面积，再表示出四边形的面积，进而建立方程求出时间即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ， ∴； （2）①由题意得，， ∴， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ， ∴当时， 直线轴； ②∵点到轴的距离为个单位长度， ∴， ∴， ∴； ③， ， 由运动知，，， ， ， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ∴， ． 【变式8-1】如图1，已知，点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应． (1)三角形的面积为__________． (2)如图1，若点在线段上，请你连接，利用图形面积关系说明． (3)如图2，连，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过秒，三角形与三角形的面积相等，试求的值及点的坐标． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)时，，时，． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，采用分类讨论的思想． （1）利用三角形面积公式计算即可得出答案； （2）根据，计算即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上；当点在的延长线上时；分别建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：点，轴， ，， ， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接． 由（1）知，， ， ，即， ； （3）解：①当点在线段上，， 解得，此时．                                         ②当点在的延长线上时，， 解得，此时， 综上所述，时，，时，． 【变式8-2】（24-25七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度速度，沿路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动． (1)直接写出B，C，D三个点的坐标； (2)当P，Q两点出发时，求三角形的面积； (3)设P，Q两点运动的时间为，当三角形的面积为6时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)当或时，三角形的面积为6 【分析】本题主要考查坐标与图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，动点与一元一次方程的综合，理解图示，找出正确的数量关系是关键． （1）根据题意，结合线段的长度判定即可； （2）根据题意得到，点在线段上，，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到点从的时间为，点从的时间为，分类讨论，数学结合分析即可求解． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，轴，轴，且， ∴， ∴； （2）解：动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度速度，当时间为时，， ∴点在线段上，， ∴； （3）解：点在线段上运动的时间为，在线段上运动的时间为， ∴点从的时间为， 点在线段上运动的时间为，在线段上运动的时间为， ∴点从的时间为， ∵若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动， ∴点不能到达点的位置， 设P，Q两点运动的时间为， 当是，， ∴， 解得，； 当时，点在线段上，点在线段上， 如图所示，过点作延长线的垂线，交于点， ∴，，，点的横坐标为，纵坐标为，点的横坐标为，纵坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，； 综上所述，当或时，三角形的面积为6． 【变式8-3】读一读： 数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，表示的数为，表示的数为，则，两点的距离可用式子表示，例如：5和－2的距离可用或表示． 研一研： 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足． (1)直接写出以下点的坐标：（______，0），（0，______）． (2)若点、点分别是轴正半轴（不与点重合）、轴负半轴上的动点，过作，连接．已知（近似值），请探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)已知点是线段的中点，若点为轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)6，4； (2)∠BPQ＋∠PQC＝236°； (3)H（0，）或（0，）． 【分析】（1）利用平方和绝对值的非负性解答即可； （2）过点P作PM∥CQ，得出QC∥AB∥PM，根据三角形外角的性质求出∠DBP，再根据平行线的性质求出∠DBP＋∠BPM＋∠MPQ＋∠PQC＝360°，最后利用等量代换得出结果； （3）设H（0，x），根据结合三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a−6＝0，b−4＝0， 解得：a＝6，b＝4， ∴A（6，0），B（0，4）， 故答案为：6，4； （2）∠BPQ＋∠PQC＝236°， 理由：如图，过点P作PM∥CQ， ∵∠BAO＝34°， ∴∠DBP＝∠90°＋34°＝124°， ∵QC∥AB， ∴QC∥AB∥PM， ∴∠DBP＋∠BPM＝180°，∠MPQ＋∠PQC＝180°， ∴∠DBP＋∠BPM＋∠MPQ＋∠PQC＝360°， ∵∠BPQ＝∠BPM＋∠MPQ， ∴∠DBP＋∠BPQ＋∠PQC＝360°， ∴∠BPQ＋∠PQC＝360°−∠DBP＝360°−124°＝236°； （3）如图：∵A（6，0），B（0，4）， ∴S△AOB＝， 设H（0，x）， ∵点D（3，2）是线段AB的中点， ∴S△AHD＝S△AHB＝， ∵， ∴， ∴ ∴或， 解得：x＝或x＝， ∴H（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，坐标与图形，解绝对值方程等知识，解题的关键是作出图形利用数形结合的思想解答问题． 【题型9 坐标系中角度关系问题探究】 【例9】在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，，面积为10，点在第二象限，点P是射线CB上一动点，． (1)求点B坐标； (2)线段OC能否通过平移AB得到？试求点C坐标； (3)、、之间有何关系？请说明理由． 【答案】(1)B(0,4). (2)线段OC能否通过平移AB得到，理由见详解，C(-5,4); (3)∠OPA=∠POC+∠PAB或∠OPA=∠POC-∠PAB. 【分析】（1）设OA=5m，OB=4m，根据△AOB面积为10建立方程，解出m的值，即可求出点B坐标； （2）证明BC∥x轴，得到OC∥AB，即可线段OC能否通过平移AB得到， 由OA=5，通过平移即可得到点C的坐标； （3）分当点P在点B，C之间时和当点P在点B的右侧时两种情况进行讨论即可得出结论． 【详解】（1）解：∵OA∶OB=5∶4 设OA=5m，OB=4m， ∵△AOB面积为10， ∴ 5m4m=10， ∴m2=1， ∵m为正数， ∴m=1， ∴OB=4， ∴B(0，4)． （2）解：线段OC能否通过平移AB得到． 理由：如图 ∵B(0，4)，C(m，4)的纵坐标相同， ∴BC∥x轴， ∴∠C=∠1， ∵∠C=∠OAB ∴∠1=∠OAB ∴OC∥AB， ∴线段OC能否通过平移AB得到． 由（1）得，OA=5，将AB向左平移5个单位长度，点A到点O，点B(0，4)到点C． ∴C(-5，4)． （3）解：∠OPA=∠POC+∠PAB或∠OPA=∠POC-∠PAB． 理由： 当点P在点B，C之间时，如图2，过点P作PH∥CO交x轴于点 H， ∴∠OPH=∠POC， 由（2）知，OC∥AB ∴PH∥OC∥AB ∴∠HPA=∠PAB， ∴∠OPA=∠OPH+∠APH=∠POC+∠PAB． 当点P在点B的右侧时，如图3，过点P作PH∥CO， 由（2）知，OC∥AB ∴PH∥OC∥AB ∴∠BAP=∠APH， ∠HPO=∠COP， ∴∠OPA=∠HPO-∠APH=∠POC-∠PAB． 综上所述，∠OPA=∠POC+∠PAB或∠OPA=∠POC-∠PAB． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，求点的坐标，平移，解决问题的关键是分类讨论和正确的作辅助线． 【变式9-1】某区进行课堂教学改革，将学生分成5个学习小组，采取团团坐的方式．如图所示，这是某校八(1)班教室简图，点、、、、分别代表五个学习小组的位置．已知点的坐标为(-1，3)．    (1)请按题意建立平面直角坐标系（横轴和纵轴均为小正方形的边所在直线，每个小正方形边长为1个单位长度），写出图中其他几个学习小组的坐标； (2)若(1)中建立的平面直角坐标系坐标原点为，点在的延长线上，请写出、、之间的等量关系，并说明原因． 【答案】（1）见解析，B（4，3），C（﹣1，0），D（4，0），E（﹣2，5）；（2）∠FOD=∠FAB+∠AFO，见解析 【分析】（1）根据A点的坐标画出平面直角坐标系，再得出各个点的坐标即可； （2）根据平行线的性质和三角形外角性质得出即可． 【详解】解：（1）画出坐标系：    由图可得，B（4，3），C（﹣1，0），D（4，0），E（﹣2，5）； （2）∵AB∥OD， ∴∠FOD=∠FGB， ∵∠FGB是△AFG的外角， ∴∠FGB=∠FAB+∠AFO， ∴∠FOD=∠FAB+∠AFO． 故答案为：∠FOD=∠FAB+∠AFO． 【点睛】本题考查了点的坐标和平行线的性质、三角形的外角性质，能正确画出图形是解此题的关键． 【变式9-2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标 ； (2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动（不与点C、H重合），请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形、平行线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，求出，即可得解； （2）先求出三角形面积，设点，根据三角形面积公式列出方程计算即可得解； （3）分三种情况，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点B的坐标是，， ∴， 设点， ∵三角形的面积等于三角形面积的， ∴， 解得：， ∴或； （3）解：如图，当点在点的上方且在的下方时，设交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在点的上方且在的上方时， ， 同理可证得：； 如图，当点在线段上（不与、重合）时，作， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式9-3】如图1，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，，，点在第一象限． (1)点的坐标为______； (2)如图2，点是线段延长线上的点，连接，，则，，三个角满足的关系是什么？并说明理由； (3)在（2）的基础上，已知：，，在第一象限内取一点，连接，，满足，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或2或 【分析】（1）根据长方形求出各边长，从而得到点B坐标； （2）设与交于D，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求解； （3）分当F在上方时和当F在下方时，求出相应角的度数，可得结果． 【详解】（1）解：在长方形中，，， ∵点在第一象限， ∴； （2），理由是： 设与交于D， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）①当F在上方时， ∵， ∴， ∵，   ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同（2）可得：，即， ∴， ∴； ②当F在下方，当F在左边时，延长交于点，如图所示， ，，， ∵， ∴， ∵， ∴； ③当F在下方，当F在右边时， ，，， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴． 综上：的值为或2或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是分类讨论，理清角的关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 平面直角坐标系（举一反三讲义）全章题型归纳 【沪科版2024】 【培优篇】 3 【题型1 由点的坐标判断象限】 3 【题型2 由点的坐标特征求值】 3 【题型3 由点到坐标轴的距离求坐标】 4 【题型4 点或图形的平移、对称】 4 【题型5 坐标系中的面积问题】 5 【拔尖篇】 6 【题型6 坐标与点的移动规律探究】 6 【题型7 坐标与图形变换规律探究】 7 【题型8 坐标系中的动点问题探究】 9 【题型9 坐标系中角度关系问题探究】 11 知识点1 有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫做有序数对，记作． 知识点2 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点3 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点4 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 知识点5 用坐标表示平移 （1）点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)． （2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 知识点6 轴对称与坐标变化 （1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数;反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称． （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数;反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称． 【培优篇】 【题型1 由点的坐标判断象限】 【例1】如图是某动物园的平面示意图，若以大门为原点，向右的方向为轴正方向，向上的方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则驼峰所在的象限是(        ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（24-25八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】（24-25七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点一定不在第 象限． 【题型2 由点的坐标特征求值】 【例2】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第 象限． 【变式2-1】（2025·河北沧州·模拟预测）若第二象限内的点满足，写出一个满足条件的点的坐标： ． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知平面直角坐标系中有两点、，且轴时，则 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【题型3 由点到坐标轴的距离求坐标】 【例3】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）点在第四象限，且到两条坐标轴的距离之和为5，则点坐标为 ． 【变式3-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知点在轴上方，在轴左侧，则点到轴、轴的距离分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 【题型4 点或图形的平移、对称】 【例4】（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·青海海东·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点B在第 象限． 【变式4-2】（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次 “跳马运动”．例如∶如图，点A做一次“跳马运动”，可以到达点B，但是到达不了点C．点P从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是 ． ① P 进行一次“跳马运动”可能到达的点有8 个； ② P 进行三次“跳马运动”后可以到达； ③ P 进行四次“跳马运动”后可以到达． 【题型5 坐标系中的面积问题】 【例5】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-3】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【拔尖篇】 【题型6 坐标与点的移动规律探究】 【例6】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点，点，点，点…的坐标分别为点，点，点，点…，按照这样的规律下去，点的坐标为 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是 ，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）如图，已知，，按这样的规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型7 坐标与图形变换规律探究】 【例7】（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【变式7-1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中， 都是等边三角形，且点的坐标分别是 ．依据图形所反映的规律，则的坐标是(   ) A． B． C． D． 【变式7-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知． (1)求出三角形各个顶点的坐标． (2)按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…，以为对角线作第一个正方形，以为对角线作第二个正方形，以为对角线作第三个正方形…顶点，，，…都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点的坐标为 ．    【题型8 坐标系中的动点问题探究】 【例8】（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在x轴、y轴上，B 点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问 题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求P、Q两点的坐标． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【变式8-1】如图1，已知，点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应． (1)三角形的面积为__________． (2)如图1，若点在线段上，请你连接，利用图形面积关系说明． (3)如图2，连，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过秒，三角形与三角形的面积相等，试求的值及点的坐标． 【变式8-2】（24-25七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度速度，沿路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动． (1)直接写出B，C，D三个点的坐标； (2)当P，Q两点出发时，求三角形的面积； (3)设P，Q两点运动的时间为，当三角形的面积为6时，求t的值． 【变式8-3】读一读： 数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，表示的数为，表示的数为，则，两点的距离可用式子表示，例如：5和－2的距离可用或表示． 研一研： 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足． (1)直接写出以下点的坐标：（______，0），（0，______）． (2)若点、点分别是轴正半轴（不与点重合）、轴负半轴上的动点，过作，连接．已知（近似值），请探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)已知点是线段的中点，若点为轴上一点，且，求点的坐标． 【题型9 坐标系中角度关系问题探究】 【例9】在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，，面积为10，点在第二象限，点P是射线CB上一动点，． (1)求点B坐标； (2)线段OC能否通过平移AB得到？试求点C坐标； (3)、、之间有何关系？请说明理由． 【变式9-1】某区进行课堂教学改革，将学生分成5个学习小组，采取团团坐的方式．如图所示，这是某校八(1)班教室简图，点、、、、分别代表五个学习小组的位置．已知点的坐标为(-1，3)．    (1)请按题意建立平面直角坐标系（横轴和纵轴均为小正方形的边所在直线，每个小正方形边长为1个单位长度），写出图中其他几个学习小组的坐标； (2)若(1)中建立的平面直角坐标系坐标原点为，点在的延长线上，请写出、、之间的等量关系，并说明原因． 【变式9-2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标 ； (2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动（不与点C、H重合），请直接写出，，之间的数量关系． 【变式9-3】如图1，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，，，点在第一象限． (1)点的坐标为______； (2)如图2，点是线段延长线上的点，连接，，则，，三个角满足的关系是什么？并说明理由； (3)在（2）的基础上，已知：，，在第一象限内取一点，连接，，满足，，请直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$