专练27 相似与特殊图形(四)矩形&专练28 相似与特殊图形(五)正方形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（沪科版·新教材）

27 专练27 相似与特殊图形（四）矩形 【方法规律】利用矩形的边、角性质构造三角形相似， 典例导练 模型一作垂线，构造直角三角形相似 示范题如图，四边形ABCD为矩形，以AD为边向上作等边三角形 MDE,连E交AD于点F,且部号，CHE交AB于点H,交BE于点 G,若AE=2,求BE·BG的值. 【思路点拨】过，点E作EM⊥AB交BA的延长线于点M,先证△EMB∽△HBC,再 证△BGH△BME. 【自主解答】 之知能检测 模型二作垂线，构造“一线三等角”型相似 1.如图，点P为矩形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥AP交BC于点E,若AD=10, DC=6,求号路的值 2如图，在矩形ADCD中，能-专E,F分别是线段DD,BC上的点，AE1EF,FHL BD于点H,求器的值 28 专练28 相似与特殊图形（五） 正方形 【方法规律】利用正方形的性质结合基本图形构造三角形相似. 典例导练 模型一利用正方形的性质构造K型相似 示范题如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC边上一动点（与B,C不重 合)，连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于点F,设BE=x,△ECF的面积为 y,求y与x的函数关系式。 【思路点拨】过，点F作FH⊥BC于，点H,证△BAE∽△HEF. 【自主解答】 之知能检测 模型二利用正方形的性质构造A,X型相似 1.如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB,AE,CD 于点G,F,H,求GF:FH的值. 2.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，DP⊥AE,垂足为点P,BF⊥AE于点F (1)求证：AF=PF D E C (2)连接CP,若AB=2W5,求CP的长.∠EAB,∠EAB=∠CAD, 又.∠EDF=∠B=∠ACB, ∴∠E=∠CAD,.CE=CA, ·ABBD ACDRADE,漂B, ·ACCD ∴.DF=EF·CF. (2) 知能检测 3 专练24 相似与特殊 1号 图形（一）直角三角形 2.过点C作CH∥AD交DE的延 典例导练 长线于点H,则∠ADE=∠H= .四边形ABCD为正方形，.OCL ∠B,.AD=AE,.∠H= BO,∠BCD=90°，∴.BC=BO· ∠ADE=∠AED=∠CEH, BD,CF⊥BE,∴.BC=BF·BE, ∴.CE=CH, ÷B0·BD=BF·BE,即器 :∠ADC=∠ADE+∠HDC= ∠B+∠BAD,∴.∠HDC= BD,而∠OBF=∠EBD,△BOF B ∠BAD,.△BAD∽△HDC, P△BED. .CH-BD.CE_BD CD=AD…CD=AE· 知能检测 专练26相似与特殊 1.连接CM,则EF垂直平分CM, 图形（三）平行四边形 过点M作MN⊥BC于点N,证 典例导练 △CEr△NCM:器-深 作OG∥BC,交边CD于点G,O BNBM 1 为BD中点，.OG为△BDC的中 CN=AM3· 位线，0G-号BC,又：CE=2CD, 2a鸣 CF/0G,△CRPGO,÷ (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 E易证△POD△QOE,得8贺 CE 1 CF 1 EG2'AD4 -8C在R△A0D和Rt△OE 知能检测 1.在□ABCD中，AB∥CD, 中，0D-0A.0E=0B, .∠AED=∠CDE,.DE=AE ·CDDE=CD .OP_3 AE=D是，∴△ADEO …0Qn1 专练25相似与特殊 △CD0-器AD.CD 图形（二）等腰三角形 =CE·DE. 典例导练 2.(1)证明：：AB∥CG,∴.∠ABF 证明：（1).AB=AC,.∠B= =∠G,又.·∠ABF=∠ACF, ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC= ∴.∠ECF=∠G, ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, 又∠CEF=∠GEC,∴△ECF .∠DEB=∠CDF,.△BDE∽ △CFD. ABcC器-3，即CE (2)点D是BC的中点，∴.BD= EF·EG CD,由(1)可知：△BDE∽△CFD, (2),平行四边形ABCD中，AB 哪漂 =CD,又DG=DC,AB=CD =DG,..AB:CG=1:2,.'AB// 52 .∠DCH=90°，CF平分∠DCH, 2EG=14,BG=21.AB∥ ∠FPCH=∠DCH=45,∴FH =CH,易证△BAE∽△HEF, DG器 AB DG =1,BF= ∴.AB:EH=BE:FH,∴.4：(4-x十 2BC-,∴EF=BR-BE= FH)=z:FH,..FH=x,= XCEXFH=-2(4-)·x=2z 1 专练27相似与特 殊图形（四）矩形 知能检测 典例导练 1.分别延长AE,DC交于点K, 过点E作EM⊥AB交BA的延长 △ABE∽△KCE, 线于点M,则EM=2AE=1, ∴.AE:EK=BE:CE,E是BC中 :∠EMB=∠HBC=90°，且CH⊥ 点，则BE=CE,AE=EK, GH平分AE,∴.EK=AE= BE,△EMBC△HBC,÷ 2AF,FK-3AF, BH·BM=EM·BC=2, AG∥HK,∴.△AGF∽△KHF, ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. BE 易证△BGH∽△BME,B 2.(1)设EP=x,则PD=2x,PA=4x, 易证△ABF≌△DAP, EBE·DG=BI,BM=2 ∴.AF=DP=2x,∴.PF=2x=AF. 知能检测 (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, 1.过点P作AD的垂线MN,交AD DF=√2DP,∠BDF=∠CDP, 于点M,交BC于点N,易证 △APn△PEN,-祭， △P△nDF,帶-器=厄， 易证兴-器兴 Bn=ECR部-安Bm=, ∴.CP=22. AD_10_5·PA_5 CD-6=3PE31 专练29全等与相似 典例导练 2.过点E作MN∥AB分别交AD, (1)PQ=BP++DQ BC于点M,N,过点A作AG⊥ BD于点G,则△EFN∽△AEM, (2)①△BAM∽△CAQ,△DAN∽ △EF∽△ABG,A-是 △CAP,△ANM∽△APQ证明： △BAMP△CAQ,四边形ABCD是 器别器-畏=青H 正方形，∴.∠ABM=∠ACQ=∠BAC =45°，AC=√2AB,∠BAC= 专AG易汪部-部-告AD ∠PAQ=45°，∴.∠BAM=∠CAQ, =G器-品 ∴.△BAM∽△CAQ,相似比为BA: CA=1V2. 专练28相似与特殊 图形（五）正方形 ②易证ADAN△CAP,是-8 典例导练 过点F作FH⊥BC于点H, 2,由(2)证△BAE△CAQ, 53 岩是9器器竖，AC.BD.R∥ACE是 .∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ △ACD的中位线，∴FE=2AC= △MP0洽祭号由①可知 ,CE=号CD=2,在R△BFE PQ-BP+DQ-4+6-10,.MN- 中，tan∠FBD= FE 33 10 B=8十2=0 9Mw=52 知能检测 1.25 专练30相似之类比探究 2.(1)证明略 典例导练 (2)tan∠BCF=tanBEA=w√15. (1)2(2)2 专练32三角函数与其他 (3)过点P作DP⊥AB于点P,DQ⊥ 知识的结合 AC于点Q,∴.∠DPA=∠DQA= 典例导练 ∠A=90°，.四边形APDQ是矩形， 延长AB交DC的延长线于点M, DP-AQ,0-AP,品-号， ∴.∠BCM=∠A=53°，.cos53°= BC 需0年DP/ 0.6,CM=10,BM=8, ..AM=AB+BM=18,.'AD= AC,DQ∥AB,∴.△DQC∽△BAC, AM·cosA=10.8,DM=AM· △DP△CB器-常器 sinA=14.4,∴.截面的面积=SAM DQ-”、 BD CB ·AB=abDp Sx-7·AD·DM-2BC: B0.AC-a BM=53.76(cm2). +b' 知能检测 4b 器阳卖2 (1)W3 (2)设直线AD的解析式为y=mx十 a+b n根据题意，得点A(2,2√3)，B(4, (4)当△DEF与△ABC相似时，CD 0), 5或8. 2m+n=2w m=-√3 ,解得 专练31三角函数与三角形、四边形 (4m+n=0 (n=4v5 典例导练 ∴.直线AD的解析式为y=一√3x I:ACLBD,.s∠ABC-器 /y=-√3x+45 +4√3，联立，得 号，BC-8,AB=10,在R△ACB = x 中，由勾股定理得，AC= 解得x=2十√3或x=2-√3（舍 √AB2-BC=√102-82=6，即 去)，.点D(2+3,2W3-3), AC的长为6. ∴tan∠D0B=25-3=7N5-12. (2)连接CF,过F点作BD的垂线， 2+√3 垂足E,,F是AD中点，FE⊥BD, 54