专练01 求二次函数解析式(一)顶点式&专练02 求二次函数解析式(二)隐含对称轴-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（沪科版·新教材）

C1 专练01求二次函数解析式（一）顶点式 【方法规律】顶，点式y=a(x一h)2十k,顶，点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h. )典例导练 示范题在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2十mx十m的顶点在直线y= 一x上，求m的值 【思路点拨】求得抛物线的顶，点坐标，然后将顶，点坐标代入y=一x,从而可以求得m 的值. 【自主解答】 知能检测 1.抛物线的对称轴为直线x=2,最小值为一1，且与y轴的交点坐标为(0,3)，求抛物线 的解析式。 2.已知抛物线的顶点是(4,2)，且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式 专练02 求二次函数解析式（二）隐含对称轴 【方法规律】利用题中隐含的对称轴求出相应的点的坐标，然后代入解析式中，解方 程求出待定系数. 心典例导练 示范题已知二次函数y=a.x2+2ax十c的最小值为一8.当0<x<1时，y值为负； 当一4<x<一3时，y值为正.求二次函数的解析式. 【思路点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x=一1，则根据抛物线的对称性得到当 x=一3和x=1时，函数值相等，由于当0<x<1时，y值为负；当一4<x<一3时，y值 为正，则可判断抛物线与x轴的交点坐标，再设交点式求出α. 【自主解答】 知能检测 1.如图，抛物线y=a.x2一4ax十3与x轴交于点A(,0)和点B(x2,0),c1,x2满足2x1十 x2=5,求此抛物线的解析式. 2.如图，抛物线y=mx2一4mx十n(m>0)与x轴交于A,B两点，点B在点A的右侧，抛 物线与y轴正半轴交于点C,连接AC,BC,已知OC=3OA,∠CBO=45°.求抛物线的 解析式. OA /B十C,即号x=5十x,解得x= =x海里，由题意得，∠ABD= 32°，∠ACD=45°，BC=6海里， 15,.AB=AG+BG=15+1.6= 在Rt△ACD中，∠ACD= 16.6≈17(m). ∠CAD=45°，∴.AD=CD=x海 答：震风塔AB的高度为17m. 里，在Rt△ABD中，tan∠ABD= 8.A9.20√510.14.4 品∴z千6≈0.625，解得，x≈ AD 11.过C作CE⊥AB于E,·'∠BAD =45°，∴.△ABD是等腰直角三角 10,10>9,∴.如果船不改变航 形，∴.∠ABD=45°，AD=BD= 线继续向西航行，没有触礁危险 200,AB=2002(m),△BCE是9.(1)过点D作DF⊥AE,垂足为 等腰直角三角形，设AE=xm, F,由题意得：四边形ACDF是矩 在Rt△ACE中，∠EAC=60°， 形，∴.DF=AC=170m,在Rt 则AC=2xm,∴.CE=√5AE=√5 △EFD中，∠DEF=58°，∴.DE m,BE=AB-AE=(200√2- =D5≈170=200(m,步 sin58≈0.85 x)m,√5x=200√2-x,解得x 道DE的长度约为200m. =1006-100√2，∴.BC=√2 (2)小红从A出发，经过点B到 CE=√6AE=(600-2003)m, 达点D路程较近，理由： 在Rt△EFD中，∠DEF=58°，DF ∴.CD=BC-BD=400-200W3 ≈54(m),∴.CD的长度约为 -10mEP=PS≈g≈ 54m. 106.25(m),在Rt△ABC中， 12.(1)过点B作BM⊥CD于点M, ∠ABC=30°，则AB=2AC= 则∠DBM=∠BDN=30°， 340m,BC=√3AC=170√3m, 在Rt△BDM中，BM=AC=24V3 ,BD=100m,∴.CD=BC+BD 米，∠DBM=30°，∴.DM=BM· =AF=(170√5+100)m,.AE= tam/DBM-24/3X3-24(m, 3 AF-EF=170W3+100-106.25≈ ∴.AB=CM=CD-DM=49.6- 288m,.从A出发，经过点B到 24=25.6(m); 达点D路程=AB+BD=340十 (2)延长EB交DN于点G,则 100=440(m),从A出发，经过点 ∠DGE=∠MBE,在Rt△EMB E到达点D路程=AE十DE= 中，BM=AC=24v3m,EM=CM 288+200=488(m), ,440m<488m,.从A出发，经 -CE=24m,:BM/GD影 过点B到达点D路程较近. 器GD-2BM=483, 第4课时坡度与解直角三角形 1.D2.B3.B4.30 ∴.48√3÷4√5=12(s),.经过5.(1)过点B作BD⊥AM于点D, 12s时，无人机刚好离开圆圆的 视线EB. aa=号AB=300m,-设BD 第3课时方向角与解直角三角形 =xm,则AD=3.xm,故x2+ 1.B2.B3.(40+40W3)4.24 (3x)2=3002,解得：x=30√10， 5.AB=22海里， 答：点B到直线AM的距离为 6.4.57.没有超速 30√/10m 8.过点A作AD⊥BC于D,设AD (2)过点C作CN⊥AM于点N,交 43 BG于点F,.BC=200m,∠CBF 专题十解直角三角形的实际 =30,CF=BC=100(m, 应用模型 1.延长DF交AB于点G,则∠AGF 则CN=(100+30√10)m, =90°，DF=CE=6.6m,CD=EF 答：这座山的高度为(100+30√10)m =BG=-1.5m,设FG=xm,∴.DG 6.C7.D8.6+√3 =FG+DF=(x+6.6)m,在Rt 9.需要拆除。 △AGF中，∠AFG=45°，.AG= 理由为： FG·tan45°=x(m),在Rt△AGD 在Rt△ABC中， 中，∠ADG=32,.tan32°=AG DG ∠CAB=45°， ∴.AB=CB=10m, x十6.6≈0.625，x=11,经检 在Rt△DBC中，，DC的坡度i 验：x=11是原方程的根，∴.AB =√3：3， AG+BG-11+1.5-12.5(m), ∴.∠CDB=30°，DB=103m, .城徽的高AB约为12.5m. ∴.AD=BD-AB=7.32m, 2.设CD=xm,在Rt△ACD中，AD .7.32+3=10.32>10, CD ∴需要拆除。 an光D=an2=g在 10.过点B作BF⊥AD于点F,过 CD Rt△BCD中，BD= tan∠CBD 点C作CG⊥AD于点G,在Rt △ABF中，i=2:√，.可设 tan581.6AD+BD=AB, BF=2k,AF√3k,,'AB=20√7m, 小0g十6=58，解得33.4 BF+AF=AB,..(2k)2+3)2 答：宝塔的高度约为33.4m. =(20√7)2，解得k=20(负的已 3.过点D作DE⊥AB,可得四边形 舍)，.BF=2k=40m,延长BC, CHED为矩形，'.HE=CD= DE交于点H,,BC是水平线， 40m.设CH=-DE=xm,在Rt DE是铅直线，.DH⊥CH, △BDE中，∠DBA=60°，∴.BE △CDH和△CEH都是直角三 角形，：AD,BC都是水平线， 3 :xm.在Rt△ACH中， BF⊥AD,DH⊥BC,∴.四边形 ∠HAC=30°，∴.AH=√3xm. BFDH是矩形，∴DH=BF= 由AH+HE+EB=AB=160m, 40m,在Rt△CDH中， ∴.tan∠DCH= ,..CH= DH 得3z+40+号x=160, 解得x=30√3，即CH=30√3m DH 40 tan∠DCH tane60 403(m, 3 答：该段运河的河宽为30W3m 在△CEH中，.tan∠ECH= 4.在△ADC中，设AD=x, 8器EH=CH·tm∠BCH .AD⊥BD,∠ACD=45°， .CD=AD=x,在△ADB中， =40,5×tan37°≈40y5×3 AD⊥BD,∠ABD=30°，.AD= 3 3 103(m),.'.DE=DH-EH= BD.ans0,即x=9(16+, (40-10W3)m. 解得：x=8√3十8，∴.AB=2AD 答：古树DE的高度为(40-10W3)m =2×(8√3+8)=16w3+16, 44 ∴.钢索AB的长度约为(16√3+ BM-BD=83-7.52≈6.3(cm). 16)m ∴.点C到AE的距离约为6.3cm 章末核心考点与素养提升 10.A11.A12.C13.3 1A么号 3.C4.D 14.2√3或3√2 15.把PD向两方延长，交BE于点 号6c7.9 8.438 G,交AC的延长线于点F,由题意 9.过点B作BM⊥AE,垂足为M, 得：BG=AF,AB=FG=53米，DG 过点C作CN⊥AE,垂足为N, ⊥BE,PF⊥AF,设BG=AF=xm, 在Rt△DCF中，∠DCF=30°， 过点C作CD⊥BM,垂足为D, 则MD=CN,∠AMB=∠BDC CD=l8m∴DF=2CD=9(m, =90°，在Rt△ABM中，∠BAE 在Rt△AFP中，∠PAF=45°， =60°，AB=16cm,∴.BM=AB· ∴.PF=AF·tan45°=x(m),在Rt sn60°=16x'9=85cm,∠ABM △BPG中，∠GBP=18°，∴.GP= BG·tanl8°≈0.325x(m), =90°-∠A=30°，.∠ABC= .GP+PF=GF,..0.325x+ 50°，∴.∠CBD=∠ABC-∠ABM =53,解得：x=40,∴.PF= =20°，.∠BDC=90°，∴.∠BCD= 40m,∴.PD=PF-DF=40-9 90°-∠CBD=70°，在Rt△BCD中， =31(m),∴.该通信塔的塔杆 BC=8cm,∴.BD=BC·sin70°≈≈ PD的高度为31m. 8X0.94=7.52(cm),∴.CN=MD= 夹册《提分专练》参考答案 专练01求二次函数解析式（一） 解析式为y=- +x. 顶点式 典例导练 专练02求二次函数解析式（二） 隐含对称轴 y-xtmxtm-(+2m) 典例导练 4十m,由题意，得-m m 根据题意，得抛物线的对称轴为 十m= (一2m）小.解得：m=0或m=2, 直线x=-%=-1,当x=-3 2a 和x=1时，函数值相等，由题意， 知能检测 得x=1和x=一3时，y=0,即抛 1.由题意，可设顶点式为y=a(x 物线经过(-3,0)，(1,0)， -2)2-1,将(0,3)代入得，4a 设抛物线解析式为y=a(x十3) 一1=3，解得a=1,.抛物线的 (x一1)，当x=-1时，y最小值= 解析式为y=(x一2)2-1. 一4a=一8，解得a=2,∴.抛物线 2.根据题意，可知抛物线的对称： 解析式为y=2x2+4x-6. 轴为直线x=4,抛物线与x轴 知能检测 的两交点坐标为(0,0)，(8,0)， 1.由题意，得2=2，联立2.x 设抛物线解析式为y=a(x 2 4)2+2,把(0,0)代人得16a= 十x2=5,解得x1=1,x2=3, .A(1,0),B(3,0),把A(1,0) 一2，解得a=一日，所以抛物线 代入y=a.x2-4ax+3,解得：a 45 =1..抛物线的解析式为y= (3)一m>2时，x=2函数有最小 x2-4x+3. 值，则4+4m+m+2=一3，解得 2.由题意，得对称轴为直线x= m=- 号〔合去).综上所述，m的 4m=2,点C坐标为(0， 2m m),0C=OB=m,0A=3,由抛 值为3或团 知能检测 物线对称轴可得， 2=2,解 1.名或-3 2.y=-x2+2x-3=-(x-1)2 得：n=3,将B(3,0)代人y= 一2，函数图象开口方向向下， mx2-4mx+3,得9m-12m+ 对称轴为直线x=1,顶点为(1， 3=0,.m=1,∴.抛物线的解析 -2) 式为：y=x2一4x+3. (1)当a-3>1时，此时x=a 专练03求二次函数解析式（三） 3时，y取最大值一3，可得：一3 图象变换 =-(a-3-1)2-2,解得a=5 典例导练 或3（舍去） 示范题1y=x2十4x一5=(x十 (2)当a十2<1，此时x=a十2 2)2-9,设y=(x+2-)2-9, 时，y取最大值-3，可得：一3= 由题意，得(2-p)2一9=0，解得p -(a十2-1)2-2，解得a=-2 =5或p=一1（舍去)，故p的值 或0（舍去）. 为5. (3)当a-3≤1≤a+2时，y的 示范题2287 最大值为一2，此时不符合题 知能检测 意.综上，a的值为5或一2. 1.y=3(x+1)2-1 专练05数形结合（一） 2.y= 2(x-1)2 1 函数值的大小比较 典例导练 3.y= (z-3)2+3y 3 & 专练04 二次函数的区间最值 知能检测 与增减问题 1.C 典例导练 2.-1<n<0 y=x2+2m,x+m+2=(x+m)2 由题意，可知抛物线开口向上， 十2十m一m2,对称轴为直线x= 对称轴为直线x=1, -m, .A,B两点在对称轴x=1的 (1)当-m<-2时，即m>2时，x 两侧，则点A在x=1的右侧， =一2函数有最小值，则4一4m十 列不等式组 m十2=一3，解得m=3. r2n+3>1 (2)当一2≤-m≤2时，x=一m n-1<1 函数有最小值，则2十m一m2= 1-(n-1)>2n+3-1 解得-1<n<0. 3,解得m=1+)2(舍去)，m 2 专练06数形结合（二） -1-w21 二次函数图象与系数a,b,c的关系 2 典例导练 46 C 30000,则一25x2+2000x= 知能检测 30000,解得x=60或20，.28≤x 1.B2.B <80,∴.60≤x<80时，安装成本 专练07数形结合（三） 分析 不超过30000元. 一元二次方程的根 专练09二次函数的应用（二） 典例导练 商品利润 m2-3m(-1<m<0） 典例导练 (1)d=-m+3m(0<m<3) (1)当50≤x≤80时，y=210-(x (2)①号<d<4时，点P的个数 50),即y=260-x,当80<x≤ 140时，y=210-(80-50)-3(x 为1，②d=是时，点P的个数为2： -80),即y=420-3x.∴.y= 260-x(50≤x≤80) ③0<d<9时，点P的个数为3. 420-3x(80<x≤140)1 知能检测 (2)当50≤x≤80时，销售利润： 1.D2.D =(x-40)(260-x)=-x2十 专练08 二次函数的应用（一） 300x-10400;当80<x≤140时， 图形面积 =(x-40)(420-3x)=-3x2+ 典例导练 540x一16800.综上分析可知，= -x2+300x-10400(50≤x≤80) (1)由题意得，AE=HG= AD -3x2+540x-16800(80x≤140) 2xm,DC=AB=(200- (3)当50≤x≤80时，w=-x2十 300x-10400=-(x-150)2+ =(100-xm,故y=x(100 12100,当x=80时有最大值，最 大值为：-(80-150)2+12100 )=-号d+10,自变量x的 7200(元)；当80<x≤140时，w= 取值范围为：28≤x<80. -3x2+540x-16800=-3(x 5 90)2+7500,当x=90时，有最大 (2)由题意可得：y=一x2+ 值，最大值为7500元.故售价定 100x=- (x (x-80)=- 为90元时.每个月可获得最大利 润，最大利润为7500元. -40)2+2000,.28≤x<80, 专练10二次函数的应用（三）》 .当x=40时，y有最大值，最大 实物抛物线 值为2000m2. 典例导练 (3)由题意得，S矩形EGH=AG·AE (1)依题意，设该抛物线的表达式 =(1o0-·x=- 52 为y=a(x-4)2十3，由抛物线过 十25.x,SE形Erc=DC·DE= 点A,有16a十3=2.解得a= 1 (1o0-是)·2x=-82+ 一该抛物线的表达式为y 50x,设安装成本为心元，则= 6-4)+3. 40(-6x+25x)+20(-日x (2)令y=0,得-6x-402+3= +50x)=-25x2+2000x,令= :0,解得m=4+4V3,x2=4-4√3(C 47 为x轴正半轴，故舍去.二点C的百，解得m<一号∴m的取值范 6 坐标为(4十4√3,0)，∴.OC=4+ 4√3>10.∴.小明此次试投的成绩 围是m≤一号 达到优秀 专练12 二次函数综合（二） 知能检测 抛物线与等腰三角形 (1)y=-2(x-1)2+8 典例导练 (2)设抛物线的表达式为y=一2(x -1-b+c=0 一1)2+k,把(3.5,0)代入可得k= (1)由题意，得 -9+3b+c=01 12.5,∴.解析式为y=-2(x-1)2 6=2 +12.5,当x=0时，y=10.5. 解得：C=3b=2,c=3 答：水管OA的高度调整为10.5m (2),抛物线的函数表达式为：y= 专练11二次函数综合（一） -x2+2x十3，.C(0,3),设直线BC 抛物线与线段 的解析式为y=x十3，将点B(3,0) 典例导练 代入y=x十3，解得：k=一1，∴.直 (1)抛物线C过A(0,1),B(6, 线BC的解析式为y=一x十3， (c=1 3)两点，. 解 设点P(x,-x2+2x+3),则点H ×8+60+c=-3 (x,-x十3)，由点P、C、H的坐 7 标得PH=(-x2+3x)2,CH= b=- 得 6,则抛物线C的函数解 2x2,PC=x2+(-x2+2x)2.分 c=1 三种情况： 析式为y= ①当PC=CH时，2x2=x2十 (-x2+2x)2,整理，得x4-4x3十 (2).抛物线C2的对称轴是直线 3x2=0,x>0,∴.x2-4x十3= x=6,则 m 2x =6,解得m= 0,解得xc1=1,x2=3(不合题意， 舍去)，.点P的坐标为(1,4)； ∴抛物线C的解析式为：y 3 ②当PC=PH时，x2+(-x2十 2x)2=(一x2十3x)2,整理，得2x =日2-多-2，由题意PQ=1, -4x2=0,.x>0,∴.2x-4=0, 则2r2-6x+1-(日2-3x 解得x=2,∴.P(2,3); ③当PH=CH时，(-x2+3x)2 2)=1.整理，得x2-8x-48=0, =2x2,整理，得x2一6x十7=0，解 解得x1=-4(舍去)，x2=12, 得x1=3-√2，x2=3十√2，由题 ∴.点P的横坐标为12. 意，得0<x<3,∴x=3-√2， (3):=22-x+1=x ∴.P(3-√2,4√2-2) 综上可得，点P的坐标为(1,4)或 7)2 韶此时点Q的坐标为 (2,3)或(3-√2,4√2-2). (7,一)则点P的坐标为(7， 专练13二次函数综合（三） 抛物线与直角三角形 8×7+7m-2),又：PQ≥25 , 典例导练 --(×+7m-2)≥ (1)由题意，得AC-5,OC=4,,AC =BC=5,∴.B(4,5),把A(-1,0) 48