专题03 待定系数法确定二次函数表达式（6大题型）（专项训练）数学北师大版九年级下册

专题03 待定系数法确定二次函数表达式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一点一参数代入求二次函数的表达式 1 题型二、两点两参数代入求二次函数的表达式 5 题型三、三点三参数代入求二次函数的表达式 11 题型四、一点一对称轴求二次函数的表达式 14 题型五、已知顶点式求二次函数的表达式 18 题型六、已知交点式求二次函数的表达式 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一点一参数代入求二次函数的表达式 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)求此抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式． （1）把点代入即可求出答案； （2）把抛物线解析式化为顶点式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点． ∴， 解得 （2）由（1）得到抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 2．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）已知抛物线（m为常数，且）． (1)若该抛物线过点，求抛物线的解析式； (2)若，点与在该抛物线上（点P、Q不重合），求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质． （1）将代入，求出的值，进而可知抛物线的解析式； （2）先求出抛物线解析式为，则对称轴为直线，由题可知，P，Q关于对称，则可得，据此把代入所求式子中求解即可． 【详解】（1）解：∵该抛物线过点， ∴， ∴， 即； （2）解：当时，抛物线为， ∴对称轴为直线， 由题可知，P，Q关于对称， ∴，即， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数． (1)若它的图像过点，求此二次函数解析式． (2)当时，随的增大而增大，求的范围． (3)如果，，都在这个二次函数上，且，求的范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数图形的性质，运用待定系数法，二次函数的单调性，及二次函数的对称性推导参数的取值范围． （）已知二次函数的图像过点，将点的坐标代入函数解析式即可求出a的值，进而得到二次函数解析式； （）根据二次函数的对称轴公式，结合函数在时的单调性，随的增大而增大，确定的取值范围； （）依据二次函数的对称性(纵坐标相同的点关于对称轴对称)，先求出对称轴，再结合点的坐标关系以及的条件，确定a的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中，可得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数的对称轴为， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，且对称轴， ∴； （3）解：∵二次函数的对称轴为， ∵，，都在这个二次函数上，且和的纵坐标相同， ∴和关于对称轴对称， ∴，即， 因此距离对称轴均为2个单位， ∵，且， ∴点的横坐标与对称轴的距离为， ∴当时，， ∴， 解得， 当时，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大， 等价于点比点离对称轴更近，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即， 解得； 当时，开口向下，函数值随离对称轴距离增大而减小， 等价于点比点离对称轴更远，即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 解得， 综上，的范围为或． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，B． (1)若， ①求此抛物线的解析式并求出其顶点坐标； ②当时，直接写出m的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由． 【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点坐标为； ②； (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键； （1）①待定系数法求出二次函数解析式，求出顶点坐标即可；②根据函数图像的性质即可得到答案； （2）根据t的取值得到a的取值，再根据二次函数图像的性质即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，， ∴， 解得：； ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为，顶点坐标为； ②∵抛物线的解析式为， 令 ，得， 解得： ∴抛物线与轴的交点坐标为 ， ∵， ∴抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值就越大， ∴当时，， 故答案为：； （2）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的开口向上，即， ∴物线的对称轴为直线：， ， ． 又且， ． ∴ ∴即． 抛物线开口向上， ∴． 题型二、两点两参数代入求二次函数的表达式 5．（北京市延庆区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过和两点． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图象和性质； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，写出位于x轴下方的函数图象对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 又∵抛物线的开口向下， ∴当或时，． 6．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知抛物线经过点、两点． (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，y的取值范围为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数一般式化为顶点式； （1）将点、代入解析式中建立关于a、b的二元一次方程组，即可求解； （2）运用数形结合思想，抛物线的对称轴为在范围之内，所以y的最小值就是当时y的值，y的最大值就是当时y的值. 【详解】（1）解：将、代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为， 将解析式化为顶点式 故其对称轴为直线，顶点坐标为. （2）解：根据抛物线解析式，可画图其图象： ∵对称轴为在范围之内， ∴y的最小值就是当时，， ∵范围的右边端点离对称轴更远且抛物线开口向上， ∴y的最大值就是当时，， 故当时，y的取值范围为. 7．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，． (1)请求出此二次函数的解析式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？请说明理由． 【答案】(1) (2)不在，见解析； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】（1）解：将，代入中， 得： ，解得：， 该二次函数的解析式为． （2）当时， ， ∴点不在这个二次函数的图象上． 8．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的顶点恰好落在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，函数图像的平移，解二元一次方程组和平移坐标的变化是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）新抛物线顶点坐标为，将上述点的坐标代入一次函数表达式得，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得， 故表达式为； （2）解：原抛物线顶点式：， 顶点向左平移m个单位后，新顶点为， 新顶点在直线上，代入得， 解得． 9．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线经过点和点； (1)求该抛物线的解析式． (2)若将抛物线往下平移个单位长度得到新的抛物线，且当时，的最大值为，求的值． (3)若当时，抛物线的最小值为，求的值．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)的值为-或 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的性质，二次函数的平移； （1）通过代入已知点建立方程组求解和的值，得到抛物线解析式． （2）平移后的抛物线开口向上，分析的最大值位置，根据端点处的函数值求解． （3）分析原抛物线的顶点位置及区间与顶点的关系，分情况讨论最小值为时的值． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线，得： 解得： ∴抛物线的解析式为，即 （2）原抛物线为，向下平移个单位后为． 抛物线开口向上，在中，顶点在时取得最小值； ∵ ∴当时，为最大值 ∴ ∴ （3）原抛物线的顶点为，开口向上．当包含顶点x=1时，最小值为0，但题目要求最小值为4，故不包含顶点； 需分两种情况： ①当，即时，此时函数最小值在处： ∴ ∴（舍去）或， ②，此时函数最小值在处： ， ∴， 解得：或（舍去） 综上，的值为或． 10．（25-26九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，抛物线交x轴于两点，与y轴交于点C，连接．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点交于点Q． (1)求此抛物线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点P在运动过程中，连接直线分别交y轴于E，F．是否存在，若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时，的最大值为 (3)存在，点 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求得解析式，设点，则点，结合点坐标得到，则化简为顶点式求最值即可； （3）利用待定系数法求得直线的解析式和直线的解析式，则有点和点，结合已知可知为等腰三角形，即点P的纵坐标为点F和点E纵坐标的中点，根据点坐标列出方程式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点， ∴，解得， 则抛物线； （2）解：当，，则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为； （3）解：如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为，则点， 同理可得直线的解析式为，则点， 假设存在点，使得， 则为等腰三角形，即点P的纵坐标为点F和点E纵坐标的中点， ∴，解得，（舍去）， 则点时，存在． 题型三、三点三参数代入求二次函数的表达式 11．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 【答案】解析式；开口向下 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求出函数解析式，再由a判断开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数图像的开口向下． 12．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，构造方程组求解即可； （2）根据，求得交点的横坐标，利用数形结合思想，求x的取值范围即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据交点横坐标求不等式的解集，熟练掌握待定系数法，交点横坐标求不等式解集是解题的关键． 【详解】（1）解：将分别代入 得， 解得 ， 故抛物线的解析式：． （2）解：当时，根据题意，得， 解得， 由抛物线，得抛物线开口向下， 故时，x的取值范围是． 13．（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，二次函数的图象经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上， 且，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、运用了数形结合的思想求自变量的取值范围． （1）先写出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求解析式； （2）分别求出、、时，y的值，再结合函数图象可得n的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可得，、、，代入中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴观察函数图象，可知：若点在该抛物线上， 且，则． 14．（25-26九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，二次函数的图象经过A，B，C三点． (1)观察图象，直接写出：当x满足______时，y随x的增大而减小． (2)求抛物线的解析式； (3)观察图象，直接写出：当时，y的取值范围____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图像可知过，可得抛物线的对称轴为，即可求解； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）观察图象，看函数的图象当时，在y轴右边，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为： ∴当时，y随x的增大而减小 故答案为：； （2）二次函数的图象经过A，B，C三点， 由图像可知 ∴ ， 解得； ∴ （3）∵抛物线的对称轴为： ∴抛物线的顶点坐标为： 当时，在y轴右边，y的取值范围 题型四、一点一对称轴求二次函数的表达式 15．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象的顶点坐标为，且图象过点； (2)已知图象经过点、，且对称轴为直线． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式． （1）已知顶点坐标，使用顶点式求解； （2）已知对称轴和两点，使用一般式并代入条件列方程组求解． 【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为． ∵图象过点， ∴， ， ， ， ． 故二次函数的解析式为； （2）解：设二次函数的解析式为． ∵对称轴为直线， ∴，． ∵图象经过点， ∴代入得：， ． ∵图象经过点， ∴代入得：， ． 将代入， ， ， ． 将和代入， ， ， ， ． 则，． 故二次函数的解析式为． 16．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数的图象经过点，，并且以为对称轴． (1)求此函数的解析式； (2)当x在什么范围内时，y随着x的增加而减小． 【答案】(1) (2)在时，y随x的增大而减小． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解，即可得出，即可作答． （2）结合的以及对称轴是直线，得出二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而减小．，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，并且以为对称轴， ∴ 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∵，对称轴是直线， ∴二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而减小． 17．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数图象经过点，，并以直线为对称轴． (1)求二次函数的表达式． (2)若轴上有一点，点向左平移个单位落在此二次函数图象上，或点向右平移个单位恰好也落在此二次函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的表达式求解以及点的平移与函数图象的关系． （1）由题可设，再代入求解即可； （2）先根据点的平移规律得到平移后的点的坐标，再利用对称性可得，解出的值，再代入解析式中求解t的值． 【详解】（1）因为二次函数以直线为对称轴， 所以可设二次函数表达式为， 又函数过点，， 所以，解得， 则二次函数表达式为． （2）向左平移个单位坐标为， 点向右平移个单位为， 又平移后的点都在函数图象上， 所以两点关于对称轴对称， 则，解得， 当时，图象过点， 当时，， 所以的值为． 18．（2025·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式． (2)已知点，均在抛物线上，且求n的取值范围． (3)已知点，．将抛物线向上平移个单位长度，若平移后的抛物线与线段有两个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将代入得，由对称轴得，联立解得，，抛物线解析式为； （2）因为抛物线开口向下，对称轴，，所以点到对称轴距离小于点到对称轴距离，解得； （3）平移后抛物线顶点为，当顶点在上时，经过点M时，故m的取值范围是． 【详解】（1）解：将代入得． ∵抛物线的对称轴为直线， ， ． 由得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：方法一：当点，关于直线对称时， ，解得， ，． 直线，如图所示， 当点在直线右侧时，恒成立，故，即． 方法二：由题意可得线段的中点的横坐标为． ， 线段的中点必在抛物线的对称轴(直线)右侧， ． （3）解：平移后的抛物线的解析式为， 则对称轴为直线，顶点坐标为． 当平移后的抛物线的顶点落在线段上时，， ． ， 点M、N中，点M到直线的距离更近． 当平移后的抛物线经过点时，， ， 故当平移后的抛物线与线段MN有两个公共点时，． 题型五、已知顶点式求二次函数的表达式 19．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，并经过点求： (1)二次函数表达式． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)当时，随的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据抛物线的顶点坐标是，设出顶点式，利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设二次函数表达式为， ∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵中， ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴为， ∴当时，随的增大而减小． 20．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线的开口方向______，对称轴______，与x轴的交点坐标______． 【答案】(1) (2)向上，直线， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后把点代入进行求解即可； （2）根据（1）中函数解析式可进行求解． 【详解】（1）解：设，把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）可得：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 令时，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． 21．（上海市普陀区2025-2026学年九年级上学期数学期中考试试卷）已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 【答案】(1) (2)，点的坐标是 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的对称性应用，熟练掌握二次函数的顶点式和对称轴性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的顶点式，结合已知点的坐标，求出解析式中的参数，进而确定二次函数的解析式； （2）将点代入二次函数解析式求出对应的值，再根据二次函数的对称轴性质，求出对称点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图像经过点， 把，代入得： ， 解得 ， 这个二次函数的解析式为． （2）解：点在二次函数的图像上， 把，代入得： ， 解得 ， 点坐标为， 二次函数的对称轴为直线，点和点关于这个二次函数的对称轴对称， 点的坐标是． 22．（25-26九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知二次函数（）图象的顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求y的取值范围． (3)当时，请结合图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用图象求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用函数解析式得当时，，当时，，再结合函数图象可得答案； （3）先根据二次函数图象得求得抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：∵该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为， 将代入得：， 解得， 将代入得：； （2）解：当时，， 当时，， 结合函数图象可知，当时，求y的取值范围为； （3）解：∵二次函数的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与x轴其中一个交点坐标为， ∴与x轴另一个交点坐标为． 由函数图象可得当时，x的取值范围为． 题型六、已知交点式求二次函数的表达式 23．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）设交点式，然后把C点坐标代入，求出即可； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 24．（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2)函数的最小值为 【分析】（1）先根据抛物线与x轴交于点，，设出抛物线解析式的交点式，再将点代入，即可求得抛物线的解析式； （2）根据抛物线的开口向下可知函数有最大值，再分别求出当时和当时y的值，即可求出y的最小值． 本题主要考查了求二次函数的表达式，及求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：∵，对称轴为直线，开口向下， ∴时，y的值最大为9， 当时，， 当时，， 当时，函数的最小值为． 25．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求抛物线的解析式及其顶点坐标； (2)判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若点在二次函数图像上，求出的面积； 【答案】(1)，顶点 (2)在该二次函数的图象上，理由见解析；的面积为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设抛物线解析式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意， 设抛物线， 代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； （2）在该二次函数的图象上，理由如下， 当时，， ∴在该二次函数的图象上， ∵ ∴ ∴ 26．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 【答案】(1) (2)，对称轴为直线 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式． （1）根据抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可； （2）将（1）的得到的函数解析式化为顶点式，即可解答． （3）结合图象即可得到当时，函数值大于0． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． （3）∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 一、单选题 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出再结合顶点为即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为． 该抛物线的解析式为∶ ． 故选∶B 二、填空题 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法的一般步骤是解题的关键．解题时利用待定系数法解答，将表格中的x，y的对应值分别代入得到三元一次方程组，解三元一次方程组即可得出结论． 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．先得到，，则，再利用得到，可得到C点坐标为，设二次函数的解析式为，把C点坐标代入可求出a的值为，代入求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴C点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的表达式． 设这个二次函数的表达式为，把代入计算即可. 【详解】解：设这个二次函数的表达式为． 把代入，得解得 ∴这个二次函数的表达式为． 6．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知二次函数图像的顶点坐标为，且与y轴交点的纵坐标为1． (1)求出二次函数的表达式． (2)若此抛物线经过点，，试比较，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把代入，求出a得到抛物线的解析式为； （2）分别计算自变量为和3时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 所以二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 当时，， 所以． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点为，经过点，且与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）． (1)求抛物线的解析式： (2)P为抛物线上一点，连交线段于点Q，若，求P点的横坐标； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， 设抛物线的顶点式为， 把代入，得，解得． ∴抛物线的解析式为． 即：． （2）解：连，由，得，则． 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线为． 根据平移得：直线的解析式为． 联立方程得：， 解得：，（舍去）． 所以，点P的横坐标为． 8．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求得二次函数解析式是解题的关键． （1）将点，代入抛物线解析式，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解答； （2）先将化为顶点式，再根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，将点，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． （1）由、可得，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式，求出当、时相应的的值即可； （3）求出的长为6，要使，则其高为10，再在抛物线上找一点使其纵坐标的绝对值等于10即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴抛物线的解析式为，即， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为，即对称轴为，，开口向上， ∴当时，函数的值随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）解：由题意得：， ， ， 点在抛物线上，抛物线的顶点为， ， 在中，当时，， 解得：，， 点的坐标为或． 10．（2022·贵州铜仁·一模）如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由． (3)当时，有最大值，求的值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)直线与抛物线有两个交点，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根的判别式，二次函数的最大值． （1）把点的坐标代入，可得，从而可得抛物线的解析式； （2）联立直线和抛物线的方程，由根的判别式判断方程的解的个数，从而可得交点的个数； （3）根据与对称轴的关系，进行分类讨论，根据取最大值的情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：直线与抛物线有两个交点，理由： 由得， 整理得， ∴， ∴方程两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 根据题意可得或， 解得或， ∴的值为或． 11．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数， (1)若此二次函数的图象经过，求a的值； (2)若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围； (3)若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质， （1）把已知点代入解析式求出a的值； （2）求出函数值m和n，然后根据题意列不等式求出a的取值范围即可； （3）求出的关系式，根据当时，，即可得到，根据题意得到，求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：∵二次函数的图象经过、， ∴， ， ∵， ∴， 解得：； （3）解：， ， ， 当时，， ∵， ， 即， 解得， ∵时恒成立， ∴， 解得． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线经过点和点． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足时，求y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 【答案】(1)解析式为：；顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等． （1）将点和点代入中求出的值，即可计算出本题答案； （2）利用二次函数顶点式可得当时取得最小值，再求出和时对应的函数值即可得到本题答案； （3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：将点和点代入中得， ，解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴二次函数对称轴为：， ∵， ∴此时函数有最小值， ∵自变量x满足时， 当时，， 当时，， ∴自变量x满足时，y的取值范围为：； （3）解： ①设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为（）， 对称轴为 当，即时，当时，y有最小值，不合题意； 当，即时，当自变量满足时，y随x的增大而减小， 由可知y无最小值，不合题意； ②设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为（）， 对称轴为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即， 解得：（舍去）， 综上所述：的值为． 13．（2025·浙江·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为；ⅱ， (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式、最值即函数平移相关知识．熟练掌握二次函数的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 利用函数过的两个点，代入坐标列方程组，可求出二次函数的系数，进而得到解析式； ⅱ先将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，再结合给定区间，判断最值的位置； 根据函数平移规律确定原函数过的点，代入得到系数关系，再结合对称轴和给定区间的最小值，分情况讨论a的取值． 【详解】（1）已知函数图象过点，， 将代入函数得：，即，解得， 将，代入函数得：， 即，，解得， 二次函数的解析式为； 根据知，二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图象开口向上， 当时，y取得最小值，， 比较和到对称轴直线的距离，，， 离对称轴更远． 当时，， （2）函数图象向右平移3个单位过坐标原点，根据函数平移规律“左加右减”，则原函数过点 将代入得： ，即，，化简得， 二次函数的解析式为，其对称轴为， 时函数值y有最小值，分情况讨论： 当时，函数图象开口向上，对称轴直线在范围内， 当时，y取得最小值 将，代入函数得：，即，，解得， 当时，函数图象开口向下，在范围内，函数在端点处取得最小值． 比较和时的函数值： 当时， ； 当时，， ， ， 则当时，y取得最小值，解得， 当时，时，，符合时在端点处取得最小值的情况． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·开学考试）设二次函数（是实数）． (1)若函数的对称轴为直线，求函数的表达式； (2)当时，函数的最大值为4，求的值； (3)已知和是函数图象上的两点，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）函数对称轴为直线，据此求出，即可得到答案； （2）根据函数的最值得到，解得或，即可得到答案； （3）根据a的取值范围分三种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：∵该函数对称轴为直线， ∴， 解得， ∴函数的表达式为； （2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，函数的最大值为4， ∴， 解得或， 故的值为或； （3）∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数随着的增大而减小， ①当时，， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴ ∴ ③当时，函数为，， 即点N的坐标为，即， 当时，则， ∴ ∴符合题意； 综上可知，的取值范围是． 15．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)； (3)点的纵坐标． 【分析】（1）依题得出点坐标后可推得点坐标，结合抛物线对称轴可知点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可得解； （2）由推出，即可判断点比点距离对称轴更近，结合二次函数的图象与性质即可得解； （3）设平移后顶点，平移后抛物线解析式为，令，可得点的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：依题得：当时，， 即， ， 则， 抛物线的对称轴为直线，，两点关于对称轴对称， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 抛物线的表达式为； （2）解：， ， 即点比点距离对称轴更近， 由（1）得，，抛物线开口向下，有最大值， ； （3）解：设平移后顶点，则平移后抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴的交点为， 令，则点的纵坐标， 对于任意都有， ， 点的纵坐标． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质、二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题． 16．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， ∴． （2）解：当时，， ∴， 设与轴交于点，过点作于点，   平分，， ∴，， ∴， ∴ ， ， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 抛物线的对称轴为直线， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 当时，解得：或， ∴，， ∴， 当，时，， 解得：或（舍）， ∴； 当时，， 解得或（舍， ∴； 当，时，， ∴， 解得：或舍， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和1．过点A作轴，与抛物线相交于点C，分别以AC，的长为边长向上方作矩形． (1)求抛物线的函数表达式． (2)将矩形先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上．求n关于m的函数表达式，并直接写出自变量m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及求二次函数表达式、图形平移及函数关系，解题的关键是利用交点坐标求函数表达式，结合平移规律和抛物线性质建立函数关系． （1）先根据抛物线求出、两点坐标，再将其代入抛物线的表达式，解方程组得到、的值，确定的表达式． （2）先求出的长度，再根据平移规律得到的坐标为，结合在上，建立与的函数关系，根据平移实际情况确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵当时，，当时，， ∴点的坐标分别为， 将点的坐标代入抛物线的表达式， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知，点的坐标为， ， 平移后点的坐标为， 将点的坐标代入抛物线的表达式， 得，即， ∵， 当时，点不在抛物线上， ∴， ． 18．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线（，为实数）． (1)当该抛物线顶点坐标为时，求抛物线解析式 (2)如图（一）在（1）问条件下，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)当二次函数满足时，若平面内一点，将点左移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后三个对应点都在二次函数图像上，试求和． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，线段的最值问题，平移的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先求出点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是，连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，则是的最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入解析式，进一步即可求出点P的坐标； （3）根据已知可得二次函数为，根据平移得出，，，都在二次函数图象上，分别代入，联立解方程，求得的值，代入进而求得或，进而求得的值，根据即可得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵的顶点坐标为， 当该抛物线顶点坐标为时， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为： （2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得 当时，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是， 如图，连接，交抛物线的对称轴于点P，连接， ∵点A和点B关于直线对称， ∴是的最小值， 则点P即为所求， 设直线的解析式为，把点B和点C的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标是； （3）解：∵二次函数满足 ∴，顶点 ∵平面内一点，将点左移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后三个对应点都在二次函数图像上， ∴，，，都在二次函数图象上 ∴， ∴ 整理得： ∵， ∴① ∵在二次函数图象上 ∴ 将①代入得， 将①代入得： ∴ 解得：或 ∴（舍去）或 ∴ ∴， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03待定系数法确定二次函数表达式 月录 A题型建模·专项突破 题型一、一点一参数代入求二次函数的表达式 题型二、两点两参数代入求二次函数的表达式 ..5 题型三、三点三参数代入求二次函数的表达式… .11 题型四、一点一对称轴求二次函数的表达式… …14 题型五、已知顶点式求二次函数的表达式 .18 题型六、已知交点式求二次函数的表达式…2] B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、一点一参数代入求二次函数的表达式 1.(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)已知抛物线y=x2+mx+3经过点M(-2,3). (1)求m的值： (②)求此抛物线的顶点坐标. 2.(25-26九年级上陕西·阶段练习)己知抛物线y=mx2+1-5mx-5(m为常数，且m≠0). (1)若该抛物线过点(2,3)，求抛物线的解析式： (2)若m=1,点P(a,b)与Q(a+n,b)在该抛物线上（点P、Q不重合)，求代数式4a2-n2+8n的值 3.(25-26九年级上浙江金华.期中)已知二次函数y=ax2-2x+3. (1)若它的图像过点(1,2)，求此二次函数解析式。 (2)当x≥2时，y随x的增大而增大，求a的范围. (3)如果A(m-1,p, B29,C(m+3,P)都在这个二次函数上，且p<q<3,求的范围， 1 4.(25-26九年级上浙江杭州·阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+(a-3)x-3经过点A(3,), B(m,p. (1)若1=0， ①求此抛物线的解析式并求出其顶点坐标； ②当p>t时，直接写出m的取值范围； (2)若t>0,点C(n,q)在该抛物线上，m>n且m+n>2,请比较p,q的大小，并说明理由. 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二、两点两参数代入求二次函数的表达式 5.(北京市延庆区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题)在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=-2x2+bx+c的图象经过(3,0)和(2,6)两点， ()求此二次函数的表达式： (2)当y<0时，直接写出x的取值范围 6.(25-26九年级上·天津蓟州阶段练习)已知抛物线y=ax2+bx-1经过点A1,2)、B(-3,2)两点. (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当-2≤x≤2时，请直接写出y的取值范围 7.（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(0,-3),B(1,0). (1)请求出此二次函数的解析式： (2)请你判断点Q(-1,2)是否在这个二次函数的图象上？请说明理由. 8.(25-26九年级上·福建南平阶段练习)已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图像经过点 (3,00,-3. (1)求该二次函数的表达式： (2)将该二次函数的图像向左平移m(m>0)个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的 顶点恰好落在直线y=-2x-3上，求m的值。 9.(25-26九年级上山东德州阶段练习)已知抛物线y=x2+bx+c经过点(2，)和点(-1,4)： (①)求该抛物线的解析式， (2)若将抛物线y=x2+bx+c往下平移m个单位长度得到新的抛物线以，且当0≤x≤3时，y的最大值为3， 求m的值， (3)若当t≤x≤t+1时，抛物线y=x2+bx+c的最小值为4，求t的值.（直接写出结果） 10.(25-26九年级上·湖北恩施阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点，与y 轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m,过点P作 PM⊥x轴，垂足为点M,PM交BC于点Q. YA B 0 M (1)求此抛物线的表达式： (2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N,请用含m的代数式表示线段PV的长，并求出当m为何值时PN有最 大值，最大值是多少？ 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)试探究点P在运动过程中，连接直线PA,PB分别交y轴于E,F.是否存在PE=PF,若存在，请求出此 时点P的坐标，若不存在，请说明理由. 题型三、三点三参数代入求二次函数的表达式 11.(25-26九年级上·吉林松原阶段练习)己知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(0,2、1,3)、-1，-1， 求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向 12.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点 -1,0,0,3,2,3 ()求该二次函数的解析式： (2)当y>3时，求x的取值范围. 13.(25-26九年级上·北京东城期中)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点. 4 (1)求抛物线的解析式： (2)若点P(m,n)在该抛物线上，且-2<m<3,直接写出n的取值范围， 14.(25-26九年级上湖北孝感阶段练习)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点. 4 3 2 5-4-3-201245 B -4 -5 ()观察图象，直接写出：当x满足时，y随x的增大而减小. (2)求抛物线的解析式： (3)观察图象，直接写出：当x>0时，y的取值范围 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四、一点一对称轴求二次函数的表达式 15.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)根据下列条件，分别求出二次函数的解析式. (1)已知图象的顶点坐标为(-1,2)，且图象过点(L,-3); (2)已知图象经过点A(-1,0)、B(3,16),且对称轴为直线x=2. 16.(25-26九年级上浙江嘉兴阶段练习)二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象经过点A(3,0),B(2,-3), 并且以x=1为对称轴， ()求此函数的解析式： (2)当x在什么范围内时，y随着x的增加而减小 17.(25-26九年级上浙江阶段练习)已知二次函数图象经过点(-2,0)，（2,12)，并以直线x=3为对称轴， ()求二次函数的表达式。 (2)若y轴上有一点P(0,,点P向左平移m(m>0)个单位落在此二次函数图象上，或点P向右平移8-m个 单位恰好也落在此二次函数图象上，求的值， 18.(2025江西模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0),且对称轴为直线 x=1 (1)求抛物线的解析式 (2)己知点P(n-1y),P2n+1y2)均在抛物线上，且y>y2,求n的取值范围. (3)已知点M 26N(3,6).将抛物线y=ar2+bx+3向上平移mlm>0)个单位长度，若平移后的抛物线 与线段MN有两个公共点，求m的取值范围. 题型五、已知顶点式求二次函数的表达式 19.(25-26九年级上浙江·阶段练习)已知二次函数图象的顶点坐标是(2,3)，并经过点1,2)求： (1)二次函数表达式. (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 20.(25-26九年级上河南安阳阶段练习)已知：抛物线的顶点坐标为1，-4)，且经过点(-2,5). ()求此二次函数的表达式： (2)求此抛物线的开口方向 ，对称轴 ,与x轴的交点坐标 21.(上海市普陀区2025-2026学年九年级上学期数学期中考试试卷)己知二次函数的图像经过点A(-1,0), 顶点坐标为1,4). ()求二次函数的解析式： (2)点P(4,m)在二次函数的图像上，且点P和点Q关于这个二次函数图像的对称轴对称，求m的值和点Q的 坐标. 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.(25-26九年级上·河北沧州阶段练习)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为 (1,-4),与x轴其中一个交点坐标为3,0)， (I)求该二次函数的解析式： (2)当2<x<4时，求y的取值范围. (3)当y≤0时，请结合图象直接写出x的取值范围. 题型六、已知交点式求二次函数的表达式 23.(25-26九年级上江苏南通阶段练习)如图，抛物线分别经过点A(-2,0,B(3,0),C(0,6)」 净 16 (①)求抛物线的函数解析式： (2)直接根据图象写出当y<0时，自变量x的取值范围. 24.(25-26九年级上福建阶段练习)已知抛物线与x轴交于点A-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8). (①)求抛物线的解析式： (2)当-3≤x≤3时，求函数的最小值. 25.(25-26九年级上·广东东莞阶段练习)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A3,0,B(5,0),C(0,-15). 5/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O /A (1)求抛物线的解析式及其顶点坐标： (2)判断点P(-1,-24)是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若P点在二次函数图像上，求出△ABP的面 积； 26.(24-25九年级上全国期中)如图，已知抛物线与x交于A-1,0)、E(3,0)两点，与y轴交于点B(0,3). E (①)求抛物线的解析式： (②)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴， (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2025九年级上·浙江·专题练习)一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4)，且过另一点(0，-4)，则这个二次 函数的解析式为() A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4 C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4 2.(2425九年级上山东济南阶段练习)一抛物线的形状、开口方向与鹅物线)=弓+4x-5相同，顶点 为(-3,2)，则此抛物线的解析式为() 4.y=-20x-3+2 B.y=- (x+3)2+2 2x-3》2-2 D.y=2x+3-2 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 3.(2025九年级上浙江专题练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y的部分对应值如表所示： y 3 0 0 则这个二次函数的表达式为 4.(2025九年级上浙江·专题练习)如图，已知抛物线过A,B,C三点，点A的坐标为-3,0)，点B的坐 标为9,0)，且3AB=40C,则此抛物线的表达式为」 三、解答题 5.(25-26九年级上·全国·课后作业)已知一个二次函数的图象经过(1,10)，(-1,4)，(-2,7)三点，求这个二次函 数的表达式 6.(24-25九年级下·全国随堂练习)已知二次函数图像的顶点坐标为(2，-3)，且与y轴交点的纵坐标为1. (1)求出二次函数的表达式： (2)若此抛物线经过点(-2，y),(3,y2),试比较y,的大小 614 7.(2025九年级上全国.专题练习)已知抛物线y=axr2+bx+c的顶点为D 55 经过点C(0,-1,且 与x轴交于A、B两点(A在B的左侧). (①)求抛物线的解析式： (2)P为抛物线上一点，连CP交线段OD于点Q,若S.coo=S.Pe,求P点的横坐标； 8.(23-24九年级上河南许昌·阶段练习)己知抛物线y=ax2-bx+3经过点A1,2),B(2,3). (1)求此抛物线的函数解析式： (②)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出平移后得到的二次函数的解析式_， 9.(24-25九年级下江西九江阶段练习)如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A-2,0)、B(4,0)两点. B (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当3<x<5时，求y的取值范围： (3)点P为抛物线上一点，若SP4B=30,求出此时点P的坐标. 10.〈202货州绢t一蒙)如图，指物线y=ax-2+3(a靠数且a+0)与y轴交于点40 40, (1)求该抛物线的解析式； ②判断直线y=:+k≠0)与抛物线的交点个数，并说明理面 ()当-4<x≤m时，)有最大值智，求m的值 11.(24-25九年级下·浙江杭州阶段练习)在平面直角坐标系中，己知二次函数y=x-2)x-Q-1, (1)若此二次函数的图象经过1,3)，求a的值： (2)若此二次函数的图象经过(-2，m)、（4,n,且有m>n,求a的取值范围 (3)若一次函数y2=3x-6,对于x>3时y2<,恒成立，求a的取值范围. 12.(2025九年级上·全国.专题练习)己知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)和点(0,3). (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足-1≤x≤3时，求y的取值范围： (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足1≤x<5时，y的最小值为5，求m的值. 13.(2025浙江·模拟预测)己知关于x的二次函数y=ax2+bx-3a. (1)若函数图象过点(0，-3)，(2,5)， ()求二次函数的解析式； 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ()当-2≤x≤1时，求函数的最小值与最大值； (2)当-4≤x≤0时函数值y有最小值-2，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值： 14.（25-26九年级上·浙江宁波·开学考试)设二次函数y=-x2+2ax-a+3(a是实数). (1)若函数的对称轴为直线x=1,求函数的表达式： (2)当x≥a+1时，函数的最大值为4，求a的值； (3)已知M(x,y)和N(3a,y2)是函数图象上的两点，当2≤x≤3时，都有<y2,求a的取值范围， 15.(2025河南驻马店模拟预测)如图①，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 己知抛物线的对称轴为直线x=-1,且OA=0C. B B ① 备用图 (1)求抛物线的表达式. (2)已知点Px,y),Q(x2,y2)是抛物线上的两点，且点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧，若满足 x+>-2,请比较乃与2的大小 (3)将抛物线平移，使得其顶点P落在直线y=x-1上，设平移后的抛物线与y轴的交点为D,求点D的纵坐 标yo的取值范围。 16.(24-25九年级上·四川泸州期末)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B(2,0,与y轴 交于点C. M N D B B 0 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点D在抛物线的对称轴上，当CD平分∠AC0时，求点D的坐标； (3)如图2，平行于x轴的动直线1从x轴出发向上平移，直线1与抛物线交于点M,N(点M在点N左侧)， 若在x轴上存在点P使aPMN是等腰直角三角形，求点M的坐标. 17.(25-26九年级上·全国·课后作业)如下图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=x2与抛物线 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C2:y=-x2+bx+c(b,c为常数)相交于点A,B,点A,B的横坐标分别为-2和1.过点A作AC∥x轴， 与抛物线G相交于点C,分别以4C,)4C的长为边长向4C上方作矩形4CDE。 VA 0 (1)求抛物线C,的函数表达式 (2)将矩形ACDE先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A'CD'E',点C的对应点 C在抛物线G上.求n关于m的函数表达式，并直接写出自变量m的取值范围. 18.(24-25八年级下·湖南长沙阶段练习)己知抛物线y=(x-m+2-n(m,n为实数) (1)当该抛物线顶点坐标为2,9)时，求抛物线解析式 (2)如图（一）在(1)问条件下，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为5,0)，点 P是抛物线对称轴I上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标. (3)当二次函数y=(x-m+2-n满足m=3n时，若平面内一点Q(2,yo),将Q点左移k个单位长度，或者 将Q点向右平移2弘个单位长度，或者将Q点向上平移4k个单位长度，平移后三个对应点都在二次函数图像 上，试求k和· 10/10