23.2 解直角三角形及其应用-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

91 23.2解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形 01基础达标 知识点一已知两边解直角三角形 4 D 1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4.欲求 第4题图 第6题图 ∠A的度数，最适宜的做法是 ( )5.如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm,那 A.计算tanA的值求出 么这个三角形的面积为 () B.计算sinA的值求出 A.4.5cm2 B.9√3cm2 C.计算cosA的值求出 C.18√3cm2 D.36cm2 D.先根据sinB求出∠B,再利用90°一∠B求 6.如图，已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交 出 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 于点O.若tan☑BAC=},AC=6,则BD的长 D,BC-3,AC-4,设∠BCD=a,则tana的值 是一 为 A是 7.如图所示，在△ABC中，∠C=90,sinA=号，D 为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6,求AB的长 c多 D. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC= 人45° 2√6，AC=6√2，解此直角三角形 知识点二已知一边一锐角解直角三角形 4.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与 BC相互垂直，∠CAB=a,则拉线BC的长度 易错点在无图的情况下涉及高时漏解 为(A、D、B在同一条直线上) () A五 8.在△ABC中，AB=2√3，AC=2,∠B=30°，则 B.五 C.h D.h·cosa sina cOSa tang ∠C= BC= 92 02能力提升 14.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学 发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边 9.知图，△ABC中，∠C=90,AC=3,simB=2, 与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小 点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直 ( 角顶点重合拼放在一起，点B,C,E在同一直 A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7 线上，若BC=2,求AF的长 A h 请你运用所学的数学知识解决这个问题. B R C D 第9题图 第10题图 10.如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意 图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角 为a,A点与B点的高度差为h,A点与C点 的高度差为120m,着陆坡BC长度为()》 A.120-h B.120-h sina coSa C.(120-h)sina D.(120-h)cosa 11.在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=√2， 03思维拓展 则BC等于 ( 15.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点， A.1 B司 C② ·2 AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE. 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在 (1)求证：AB=DF; AB的延长线上，连接CD,若AB=2BD, (2)若AD=10,AB=6,求tan∠EDF的值， ta/CD-号，则哈瓷的值为 A.1 B.2 C2 n身 13.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是 由下面的支架AD,BC与桌面构成如图2，已 知OA=OB=OC=OD=20√3cm,∠COD= 60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是 cm. 60 图1 图2 第2课时 俯角、仰角与解直角三角形 01 基础达标 53°，若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高 度约为 m.(精确到0.1m.参考数据： 知识点利用视角解直角三角形 sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 1.为了测量河两岸A,B两点的距离，在与AB 6.如图，在P处利用测角仪测 垂直的方向点C处测得AC=a,∠ACB=a, 得某建筑物AB的顶端B点 那么AB等于 的仰角为60°，点C的仰角为 A.a·sina B.a·tana 45°，点P到建筑物的距离为 C.a·cosa D. a PD=20m,则BC= m. 60° tang AS P 7.合肥徽园、融省内各地精粹， 成“安徽之窗”.活动课上，某中学数学社团的 学生计划测量徽园振风塔的高度.如图所示， 先在点C处用高1.6m的测角仪CD测得塔尖 第1题图 第2题图 A的仰角为37°，向塔的方向前进5m到达F 2.如图所示，在离地面高度5m处拉线固定电线 处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，你根据 杆，若拉线和地面成60°，则拉线AC的长是 相关数据求出景区振风塔AB的高度.（结果精 ( 确到1m,参考数据：sin37°≈3，c 言，cos37号，tan37 A0m&智gmC5mD5vgm 3.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高 度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距 离为18√3m的地面上，若测角仪的高度是 1.5m.测得教学楼的顶部A处的仰角为30°. 4537D 则教学楼的高度是 A.55.5mB.54m C.19.5mD.18m Dr-130 C C 第3题图 第5题图 4.从A处测得B处的俯角a=18°24'，那么从B 02能力提升 处测得A处的仰角B= 8.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看 5.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度， 将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m 栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部 的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为 C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距 离为120m,则这栋楼的高度为 () 94 A.160W3m B.120√3m 03思维拓展 C.300m D.160W2m 12.(2025·湖南)圆圆要测量教学楼AB的高 309 609 度，借助无人机设计了如下测量方案：如图， 圆圆在离教学楼底部24√3m的C处，遥控无 人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教 第8题图 第9题图 学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为 9.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30m, 49.6m.已知日高CE为1.6m. 从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯 (1)求教学楼AB的高度. 角为60°，则建筑物CD的高为 米. (2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的 10.如图，为测量旗杆AB的高 方向，以4√3m/s的速度继续向前匀速飞行. 度，在教学楼一楼点C处测 D 0° 求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视 得旗杆顶部的仰角为60°， 线EB. 在四楼点D处测得旗杆顶 飞行方向 D 人60° 30° N 部的仰角为30°，点C与点 ● B在同一水平线上.已知CD=9.6m,则旗杆 AB的高度为 m. 11.(2025·宜宾)渝昆高速铁路宜宾临港长江公 铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公 铁平层设计.为测量左桥墩底到桥面的距离 CD,如图2.在桥面上点A处，测得A到左桥 墩D的距离AD=200m,左桥墩所在塔顶B 的仰角∠BAD=45°，左桥墩底C的俯角 ∠CAD=15°，求CD的长度.（结果精确到 1m.参考数据：W2≈1.4，W3≈1.73) 图1 图2 第3课时 方向角与解直角三角形 01 基础达标 偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处， 此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔 知识点方向角的实际应用 C与码头B的距离是 海里.（结果精确到 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向 个位，参考数据W2≈1.4W3≈1.7W6≈2.4) 的A处，已知PA=6海里，若海轮沿正南方向 5.如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在 航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20 AB的长是 海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得 A.6海里 B.6c0s55°海里 灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，求灯 C.6sin55°海里 D.6tan55°海里 塔A,B间的距离.（结果保留整数）（参考数据 sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈ 0.50,w5≈2.24) 第1题图 第2题图 2.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行 30√2km至B港，然后再沿北偏西40°方向航 行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A, C两港之间的距离为 km. A.30+30V3 B.30+10√3 C.10+30√/3 D.30√3 3.(2025·南通)如图，一艘海轮位于灯塔P的东 北方向，距离灯塔40√2海里的A处，它沿正南 方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏 东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB 02能力提升 为 海里.（结果保留根号） 6.如图，海中有一座小岛A,它 周围10.5海里内有暗礁，渔 59 70 船跟踪鱼群由西向东航行. 在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行 12海里到达点D,这时测得小岛A在北偏东 第3题图 第4题图 30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航 4.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方 行，那么渔船还需航行 海里就开始有触 向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南 礁的危险. 96 7.某数学小组三名同学运用自 B C 03 思维拓展 己所学的知识检测车速，他们 北 东 9.(2025·广安)为了美化环境，提高民众的生活 将观测点设在一段笔直的公 质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一 路旁且距公路100m的点A处，如图所示，直线 个四边形人工湖泊ABDE,并沿湖泊修建了人行 1表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C 处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北 步道.如图，点C在点A的正东方向170米处，点 E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北 偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上， 这段公路最高限速60km/h,此车 方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30 方向，点D在点E的北偏东58°方向. (填“超速”或“没有超速”)（参考数据3≈1.732） (1)求步道DE的长度. 8.(2025·临沂)如图，灯塔A周围9海里内有暗 (2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿 礁.一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A 人行步道去商店购物，可以经点B到达点D, 在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达 也可以经点E到达点D,请通过计算说明他走 C处，测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不 哪条路较近.（结果精确到个位）（参考数据： 改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，w3 (参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848， ≈1.73) tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈ 0.530,tan58°≈1.6) 97 第4课时坡度与解直角三角形 01 基础达标 (1)求点B到直线AM的距离. (2)求这座山的高度， 知识点与坡度、坡角有关的实际问题 1.拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比 B30° 是1√3，坝高BC=10m,则坡面AB的长度是 ( A.15m B.20W3mC.30√3mD.20m 0 第1题图 第2题图 2.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树， 要求相邻两树之间的水平距离为5m,那么这 两树在坡面上的距离AB为 A.5cosa cosa C.5sina D 5 sina 3.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,已知DC= 3m,CE=4m,AD=5m,CB的坡度为i= 1:√3，则坡底AB的长为 ( 02能力提升 A.(3+4W3)m B.(6+4√3)m 6.如图，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡 C.(8+43)m D.14m AB的坡度为i,坡角为a,AC⊥BM于点C,下 列式子：①i=AC:AB;②i=(AC-DE):EC; ③i-ana一距：④AC=·BC,其中正确的有 DE 第3题图 第4题图 ( 4.如图，一束光线照在坡度为1√3的斜坡上，被 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则 这束光线与坡面的夹角α是 度 5.(2025·内蒙古)如图，一个人由山底的A点爬 到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡角为a 第6题图 第7题图 的山坡300m到达B点，再从B点爬坡角为 7.(2025·重庆)如图，在建筑物AB左侧距楼底 30°的山坡200m到达山顶的C点（点B,C和 B点水平距离150m的点C处有一山坡，斜坡 直线AM在同一铅垂平面)，已知ana CD的坡度（或坡比）为i=1:2.4,坡顶D到 BC的垂直距离DE=50m(点A,B,C,D,E在 98 同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的 03 思维拓展 仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数 10.(2025·泸州)如图，某数学兴趣小组为了测 据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19) 量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从 与古树底端D在同一水平线上的点A出发， A.69.2m B.73.1m C.80.0m D.85.7m 沿斜面坡度为i=2:√3的斜坡AB前进20√7m 8.小明想测量一棵树的高 到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离 度，他发现树的影子恰好 后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端 7777777 落在地面和一个斜坡上，如图，此时测得地面 E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树 上的影长为8m,坡面上的影长为4m.已知斜 DE的高度（参考数据：sin37≈三，cos37”≈ 坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1m,垂直 于地面放置的标杆在地面的影长为2m,则树 号，tam37°≈，计算结果用根号表示，不取近 的高度为 m. 似值). 9.如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度 是10m,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角为45°.为 i=2:3 了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡 度，使新坡面DC的坡度为i=√3：3.若新坡 角下需留3m宽的人行道，问离原坡角(A点 处)10m的建筑物是否需要拆除？（参考数据： √2≈1.414，√3≈1.732) DEB=3k,∴N=2,影 由题意，得2×9×AH=27, MN=BN=票 解得AH=6,在Rt△ABH中， AB=10,∴.BH=√AB-AH =3k15 4k4 =√102-62=8， 18.(1)设正方形边长为ycm,由题 ∴mR=品-含=是 意可得：DE∥BC,.△ADE∽13.过A作AD⊥BC,交BC的延长 △ACB.-8 线于点D,在Rt△ADC中，AC =4,.∠ACB=150°，∴.∠ACD 4=学解得y号 4 =30,…AD=号AC=2,CD= (2)AB=√32+4=5cm,作AB √AC-AD=2√3，在Rt 边上的高CH,交DE于点M, 由Se=AB·CH=号AC △ABD中，tanB=部-品 BDBD ·BC,可得，5G-34,解得： 3,BD=16,÷BC=BD CD=16-25. CH=号cm,由题意可得：DE/ 14.2 AB.DCE△ACB,÷器 第2课时正弦与余弦 1.C2.A3.2 4.B5.2W7 需，设正方形DEPG的边长 为xem,则CM=(号-)m, 6.sinc--最 8号或 12 9.A10.A11C1291a号 则 12 ,解得：x=0, 37 1aA-器品-是 ∴.AD=4,BD=12-4=8, ”←号，∴第(1)种情形下正 .BC=√62+82=10，∴.sinB= 方形的面积大， 19.C 品-oB哭青， 第23章解直角三角形 六sm8+om8-号+台-号 23.1锐角的三角函数 15.(1),△BDC由△BDC翻折而 23.1.1锐角的三角函数 成，.∠C=∠BAG=90°，CD= 第1课时正切 AB=CD,∠AGB=∠DGC, 1.A2.C3.C4.B5.C 在△ABG≌△CDG中， 6.(1)DE=√3m. (2)AB=8m '∠BAD=∠C 7D8.A9.D10.2 ∠AGB=∠CGD AB-CD 1.anA=tan∠BCD=是- ∴.△ABG≌△CDG(AAS), ,BC=√4+22=2√5， .AG=CG; ..AC=BC (2)由(1)可知△ABG≌△CDG, tanA =45. ∴.GD=GB,∴.AG+GB=AD, 12.过点A作AH⊥BC于H, 设AG=x,则GB=8一x, 40 在Rt△ABG中，AB2+AG1.C2.A3.D4.B5.B =BG,即62十x2=(8-x)2,解6.②③④ 得x=子，sin∠ABG= BG 7.'sinA= %=号设BC=2 7 AB=3x,由勾股定理得：AC= 4 -25 √AB-BC=W5x,.cOsB= 84 23.1.230°，45°，60°角的三角函数值 A骨m瓷汽经-海 第1课时30°，45°，60°角的三角 8.D9.A10.B11.A12.A 函数值 18B142 1.C2.A3.D4.A5.45°6.40° 7.(1)原式=1+2 1点snA=8anA-是，由于A+B= 2 (2)原式=一2 90,cosB-sinA-sinB-cosA 5 12 (3)原式=11. ,tanB=12 5 8.60°9.60°10.B11.A 16.(1).siA= AB,cOSA=AC BC ΓAB 12.30°13.(4，w3) 14.(1)原式=6；(2)原式=1. “A十sA-S+S 15.过C点作CD⊥AB于点D, BC+ACAB 在Rt△BCD中，BC=2Om,∠B AB AB =1. =30°，∴.CD=10m,BD=10√3m, sinA (2)①：sinA+cosA=5 在Rt△ACD中，∠A=45, ∴.AD=CD=10m,∴.AB=(10W3 +cosA+2sinAcosA= ,即1十 +10m,∴Sae=AB.CD 2sinAcosA= 25 16.sinAcosA= 9 32 -210v3+10)X10=(503 2'.'sinA-cosA)2 sin2A+ +50)m2. cos'A-2sinAcosA-1-16-16' 97 16.(1)由题意可得， AC=x,CD=2x+√3x,∴.tanl5°= 血4=土7 AC 23.1.3一般锐角的三角函数值 CD 2x+3x =2-√3， 1.D2.C3.(1)0.4136(2)0.6115 即tanl5的值是2-√3. 4.C (2)在Rt△ABC中，∠C-90°， 5.(1)0=5619;(2)0=414'; ∠ABC=45°，延长CB到点D, (3)0=7351';(4)0=710'. 使得BD=AB,连接AD, 6.'cos∠BAC=0.625, 易知∠D=22.5°，设AC=BC= ∴.∠BAC≈51.3°. 7.B8.B9.C10.2.611.49.5° x,则AB=BD=√2x,故CD= 12.11.213.2.7 BC+BD=x+√2x,∴.tan22.5 AC CD x+ -=√2-1， 1402如mwr=2x号×号 =3 即tan22.5的值是V2-1. 2,sin60°- 2 第2课时互为余角的三角函数关系 2sin22.5°·cos22.5≈2X0.38X 41 0.920.7,sin45°=号≈0.7， 3.tanA C_2/63 21 AC6√2 3 .2sin30°·cos30°=sin60°， ∴.∠A=30°.∴.∠B=90°-∠A 2sin22.5°·cos22.5=sin45°. =90°-30°=60°，AB=2BC=4W6. (2)由(1)可知，一个角正弦与余 4.B5.B6.2 弦积的2倍，等于该角2倍的正 7.,∠C=90°，∠BDC=45°，∴.BC= 弦值. DC=6.在Rt△ABC中，sinA= (3)2sina.cosa=sin2a. 15.(1)随着锐角度数的增大，它的 器AB=器又BC=6, 正弦值逐渐增大，它的余弦值逐 nA=号，AB=6×号=15. 渐减小. (2)sinl8°<sin34°<sin50°< 8.60°或120°4或2 sin62°<sin88°， 9.D10.A11.A12.B13.60 c0s18°>c0s34°>c0s50>c0s62° 14.在Rt△ABC中，BC=2,∠A= >c0s88°. 0AC-S-25,则r (3)=< > AC=23,.∠E=45°，.FC= (4)sinl0°<cos70°<sin50°< c0s30°. EF·sinE=√6， 阶段提升自测（四） .AF=AC-FC=2√3-√6. 1.D2.C3.A4.B5.C6.C15.(1)证明：在矩形ABCD中，BC 7.A8.A9.110.②③④ =AD,AD∥BC,∠B=90°， 1.61218号14 .∠DAF=∠AEB.:'DF AE,AE=BC,∴.∠AFD=90°， 15.(1)原式=32-1； AE=AD..△ABE≌△DFA 2)原武-多 (AAS);..AB=DF; (2)由(1)知△ABE≌△DFA. 16.tanB=3 osB= .AB=DF=6.在Rt△ADF中， 17.(1)作AB的垂直平分线交AB AF=√JAD形-DF=W√/10-6 于D,则D为AB的中点. =8,.'.EF=AE-AF=AD-AF (2)作BE⊥CD于E.由题意知 -2 tan_EDF-器=专 CD=AD=BD=2AB=5,设 第2课时俯角、仰角与解直 DE-x,则CE=CD-DE-5- 角三角形 x,在Rt△BDE中，BE=BD 1.B2.B3.C4.1824'5.9.5 -DE=52-x2,在Rt△BCE 6.(20√3-20) 中，BE2=BC-CE=62-(5- 7.延长DE交AB于G点，则BG= x)2,.52-x2=62-(5-x)2, EF=CD=1.6m,DE=CF=5m, 解得x=1.4,即DE=1.4,∴.BE= ∠ADG=37°，∠AEG=45°，设 √/BD-DE=√8-1￥=48， AG=xm,在Rt△AGF中， BE=4.8=24 ∠AEG=45°，∴.EG=AG=xm, .sin∠CDB=BD=5=25 23.2解直角三角形及其应用 在R△ADG中，DG=m29DG AG 第1课时解直角三角形 tan37 登-告，G-DE 1.C2.A 42 十C,即号x=5十x,解得x= =x海里，由题意得，∠ABD= 32°，∠ACD=45°，BC=6海里， 15,.AB=AG+BG=15+1.6= 在Rt△ACD中，∠ACD= 16.6≈17(m). ∠CAD=45°，∴.AD=CD=x海 答：震风塔AB的高度为17m. 里，在Rt△ABD中，tan∠ABD= 8.A9.20√510.14.4 品∴z千6≈0.625，解得，x≈ AD 11.过C作CE⊥AB于E,·'∠BAD =45°，∴.△ABD是等腰直角三角 10,10>9,∴.如果船不改变航 形，∴.∠ABD=45°，AD=BD= 线继续向西航行，没有触礁危险 200,AB=2002(m),△BCE是9.(1)过点D作DF⊥AE,垂足为 等腰直角三角形，设AE=xm, F,由题意得：四边形ACDF是矩 在Rt△ACE中，∠EAC=60°， 形，∴.DF=AC=170m,在Rt 则AC=2xm,∴.CE=√5AE=√5 △EFD中，∠DEF=58°，∴.DE m,BE=AB-AE=(200√2- =D5≈170=200(m,步 sin58≈0.85 x)m,√5x=200√2-x,解得x 道DE的长度约为200m. =1006-100√2，∴.BC=√2 (2)小红从A出发，经过点B到 CE=√6AE=(600-2003)m, 达点D路程较近，理由： 在Rt△EFD中，∠DEF=58°，DF ∴.CD=BC-BD=400-200W3 ≈54(m),∴.CD的长度约为 -10mEP=PS≈g≈ 54m. 106.25(m),在Rt△ABC中， 12.(1)过点B作BM⊥CD于点M, ∠ABC=30°，则AB=2AC= 则∠DBM=∠BDN=30°， 340m,BC=√3AC=170√3m, 在Rt△BDM中，BM=AC=24V3 ,BD=100m,∴.CD=BC+BD 米，∠DBM=30°，∴.DM=BM· =AF=(170√5+100)m,.AE= tam/DBM-24/3X3-24(m, 3 AF-EF=170W3+100-106.25≈ ∴.AB=CM=CD-DM=49.6- 288m,.从A出发，经过点B到 24=25.6(m); 达点D路程=AB+BD=340十 (2)延长EB交DN于点G,则 100=440(m),从A出发，经过点 ∠DGE=∠MBE,在Rt△EMB E到达点D路程=AE十DE= 中，BM=AC=24v3m,EM=CM 288+200=488(m), ,440m<488m,.从A出发，经 -CE=24m,:BM/GD影 过点B到达点D路程较近. 器GD-2BM=483, 第4课时坡度与解直角三角形 1.D2.B3.B4.30 ∴.48√3÷4√5=12(s),.经过5.(1)过点B作BD⊥AM于点D, 12s时，无人机刚好离开圆圆的 视线EB. aa=号AB=300m,-设BD 第3课时方向角与解直角三角形 =xm,则AD=3.xm,故x2+ 1.B2.B3.(40+40W3)4.24 (3x)2=3002,解得：x=30√10， 5.AB=22海里， 答：点B到直线AM的距离为 6.4.57.没有超速 30√/10m 8.过点A作AD⊥BC于D,设AD (2)过点C作CN⊥AM于点N,交 43 BG于点F,.BC=200m,∠CBF 专题十解直角三角形的实际 =30,CF=BC=100(m, 应用模型 1.延长DF交AB于点G,则∠AGF 则CN=(100+30√10)m, =90°，DF=CE=6.6m,CD=EF 答：这座山的高度为(100+30√10)m =BG=-1.5m,设FG=xm,∴.DG 6.C7.D8.6+√3 =FG+DF=(x+6.6)m,在Rt 9.需要拆除。 △AGF中，∠AFG=45°，.AG= 理由为： FG·tan45°=x(m),在Rt△AGD 在Rt△ABC中， 中，∠ADG=32,.tan32°=AG DG ∠CAB=45°， ∴.AB=CB=10m, x十6.6≈0.625，x=11,经检 在Rt△DBC中，，DC的坡度i 验：x=11是原方程的根，∴.AB =√3：3， AG+BG-11+1.5-12.5(m), ∴.∠CDB=30°，DB=103m, .城徽的高AB约为12.5m. ∴.AD=BD-AB=7.32m, 2.设CD=xm,在Rt△ACD中，AD .7.32+3=10.32>10, CD ∴需要拆除。 an光D=an2=g在 10.过点B作BF⊥AD于点F,过 CD Rt△BCD中，BD= tan∠CBD 点C作CG⊥AD于点G,在Rt △ABF中，i=2:√，.可设 tan581.6AD+BD=AB, BF=2k,AF√3k,,'AB=20√7m, 小0g十6=58，解得33.4 BF+AF=AB,..(2k)2+3)2 答：宝塔的高度约为33.4m. =(20√7)2，解得k=20(负的已 3.过点D作DE⊥AB,可得四边形 舍)，.BF=2k=40m,延长BC, CHED为矩形，'.HE=CD= DE交于点H,,BC是水平线， 40m.设CH=-DE=xm,在Rt DE是铅直线，.DH⊥CH, △BDE中，∠DBA=60°，∴.BE △CDH和△CEH都是直角三 角形，：AD,BC都是水平线， 3 :xm.在Rt△ACH中， BF⊥AD,DH⊥BC,∴.四边形 ∠HAC=30°，∴.AH=√3xm. BFDH是矩形，∴DH=BF= 由AH+HE+EB=AB=160m, 40m,在Rt△CDH中， ∴.tan∠DCH= ,..CH= DH 得3z+40+号x=160, 解得x=30√3，即CH=30√3m DH 40 tan∠DCH tane60 403(m, 3 答：该段运河的河宽为30W3m 在△CEH中，.tan∠ECH= 4.在△ADC中，设AD=x, 8器EH=CH·tm∠BCH .AD⊥BD,∠ACD=45°， .CD=AD=x,在△ADB中， =40,5×tan37°≈40y5×3 AD⊥BD,∠ABD=30°，.AD= 3 3 103(m),.'.DE=DH-EH= BD.ans0,即x=9(16+, (40-10W3)m. 解得：x=8√3十8，∴.AB=2AD 答：古树DE的高度为(40-10W3)m =2×(8√3+8)=16w3+16, 44 ∴.钢索AB的长度约为(16√3+ BM-BD=83-7.52≈6.3(cm). 16)m ∴.点C到AE的距离约为6.3cm 章末核心考点与素养提升 10.A11.A12.C13.3 1A么号 3.C4.D 14.2√3或3√2 15.把PD向两方延长，交BE于点 号6c7.9 8.438 G,交AC的延长线于点F,由题意 9.过点B作BM⊥AE,垂足为M, 得：BG=AF,AB=FG=53米，DG 过点C作CN⊥AE,垂足为N, ⊥BE,PF⊥AF,设BG=AF=xm, 在Rt△DCF中，∠DCF=30°， 过点C作CD⊥BM,垂足为D, 则MD=CN,∠AMB=∠BDC CD=l8m∴DF=2CD=9(m, =90°，在Rt△ABM中，∠BAE 在Rt△AFP中，∠PAF=45°， =60°，AB=16cm,∴.BM=AB· ∴.PF=AF·tan45°=x(m),在Rt sn60°=16x'9=85cm,∠ABM △BPG中，∠GBP=18°，∴.GP= BG·tanl8°≈0.325x(m), =90°-∠A=30°，.∠ABC= .GP+PF=GF,..0.325x+ 50°，∴.∠CBD=∠ABC-∠ABM =53,解得：x=40,∴.PF= =20°，.∠BDC=90°，∴.∠BCD= 40m,∴.PD=PF-DF=40-9 90°-∠CBD=70°，在Rt△BCD中， =31(m),∴.该通信塔的塔杆 BC=8cm,∴.BD=BC·sin70°≈≈ PD的高度为31m. 8X0.94=7.52(cm),∴.CN=MD= 夹册《提分专练》参考答案 专练01求二次函数解析式（一） 解析式为y=- +x. 顶点式 典例导练 专练02求二次函数解析式（二） 隐含对称轴 y-xtmxtm-(+2m) 典例导练 4十m,由题意，得-m m 根据题意，得抛物线的对称轴为 十m= (一2m）小.解得：m=0或m=2, 直线x=-%=-1,当x=-3 2a 和x=1时，函数值相等，由题意， 知能检测 得x=1和x=一3时，y=0,即抛 1.由题意，可设顶点式为y=a(x 物线经过(-3,0)，(1,0)， -2)2-1,将(0,3)代入得，4a 设抛物线解析式为y=a(x十3) 一1=3，解得a=1,.抛物线的 (x一1)，当x=-1时，y最小值= 解析式为y=(x一2)2-1. 一4a=一8，解得a=2,∴.抛物线 2.根据题意，可知抛物线的对称： 解析式为y=2x2+4x-6. 轴为直线x=4,抛物线与x轴 知能检测 的两交点坐标为(0,0)，(8,0)， 1.由题意，得2=2，联立2.x 设抛物线解析式为y=a(x 2 4)2+2,把(0,0)代人得16a= 十x2=5,解得x1=1,x2=3, .A(1,0),B(3,0),把A(1,0) 一2，解得a=一日，所以抛物线 代入y=a.x2-4ax+3,解得：a 45