第11讲 简单的位似图形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第11讲 简单的位似图形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解位似图形的概念与位似中心 · · 掌握位似图形的性质（对应点连线过位似中心） · · 能在坐标系中按位似比作图并求对应点坐标 · · 掌握位似比与周长比、面积比的关系 · · 会综合运用平移、旋转、轴对称、位似进行图形变换 📚 知识梳理 ☆ 1.位似图形的概念 两个相似多边形，如果对应顶点连线交于一点，对应边互相平行，这样的图形叫位似图形 这个交点叫位似中心，相似比也叫位似比 位似是特殊的相似，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似 位似中心可在图形同侧、异侧、内部或图形上 概念辨析例题：判断：相似图形一定是位似图形 解析：位似要求对应顶点连线共点且对应边平行，相似只要求角等边成比例，不一定位似 ☆ 2.位似图形的性质 位似图形对应点连线经过位似中心 位似图形对应边平行（或共线） 位似比=对应点到位似中心距离之比 周长比=位似比k，面积比=k2 概念辨析例题：位似比2:3，较小面积4，求较大面积 解析：面积比=4:9，较大面积=4×=9 ☆ 3.坐标系中的位似 以原点为位似中心，相似比k，则对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky) 同侧放大同号，异侧放大变号 位似中心不是原点时，先平移到原点再还原 P(x,y)变换后为(kx,ky)（同侧）或(-kx,-ky)（异侧） 概念辨析例题：A(2,1)以原点为位似中心放大2倍，求A′坐标 解析：同侧(2×2,1×2)=(4,2)；异侧(-4,-2) ☆ 4.位似作图与综合 步骤：连对应点→延长→按位似比取点→顺次连接 无刻度直尺作图：利用格点与相似 位似可放大也可缩小 综合平移、旋转、轴对称时分别按规则求坐标 概念辨析例题：△ABC以O为位似中心放大为原来2倍，OA=3，求OA′ 解析：OA′=2×OA=6 📋 知识总结表 核心概念 性质/公式 注意事项 位似图形 相似+对应点连线共点+边平行 位似是特殊相似 位似中心O 对应点连线都过O 可在图形内外 位似比k OA:OA′ 有顺序性 周长比 等于k 对应周长之比 面积比 等于k2 勿与周长比混淆 原点位似坐标 (kx,ky)或(-kx,-ky) 同侧同号异侧异号 位似作图 连点→延长→取点→连线 注意同侧异侧两种 非原点位似 先平移再缩放再还原 按向量处理 ⚠️ 核心考点 【考点1】位似图形的概念与性质（第1-5题） · · 先看是否相似 · · 再看对应点连线是否共点 · · 对应边是否平行 · · 面积比=位似比平方 1．（2026•嘉善县二模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．已知OA＝2，AD＝3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．25 【分析】由题意得OA：OD＝2：5，则△ABC与△DEF的相似比为2：5，可得△ABC与△DEF的面积比为4：25，进而可得答案． 【解答】解：∵OA＝2，AD＝3， ∴OA：OD＝2：5， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：5， ∴△ABC与△DEF的面积比为4：25， ∵△ABC的面积为4， ∴△DEF的面积为25． 故选：D． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 2．（2026•兰州校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点B的坐标为（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣3，﹣1） C． D．（3，1） 【分析】根据位似图形与坐标的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△AOB缩小，点B的坐标为（﹣9，﹣3）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣9，﹣3），即（﹣3，﹣1）， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 3．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积之比为25：16，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而证明△COB∽△FOE，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF 的面积之比为25：16， ∴BC∥EF，△ABC∽△DEF，BC：EF＝5：4， ∴△COB∽△FOE， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．（2024秋•奉节县期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为点O．若OB：OE＝2：3，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：6 D．4：9 【分析】利用位似的性质得AB：DE＝OB：OE＝2：3，ABC∽△DEF，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3， ∴AB：DE＝OB：OE＝2：3， ∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC与△DEF的周长之比等于相似比，即△ABC与△DEF的周长之比为2：3． 故选：A． 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（﹣3，﹣1）或（3，1） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或﹣k，由此即可得解． 【解答】解：∵点A（﹣2，4），以原点O为位似中心，相似比为， ∴﹣21，42或﹣2×（）＝1，4×（）＝﹣2， ∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故选：C． 【点评】本题考查了是位似变换，熟练掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或﹣k是解此题的关键． 【考点2】坐标系中的位似（第6-24题） · · 原点为中心直接乘k或-k · · 非原点中心用向量平移 · · 同侧异侧两种情况都要写 · · 求坐标先确定位似比k 6．（2023春•临朐县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意分两种情况画出满足题意的线段A′B′，即可做出判断． 【解答】解：画出图形，如图所示： 故选：D． 【点评】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 7．用位似方法把图形扩大或缩小时，下列说法中，正确的是（　　） A．位似中心要么取在图形外部，要么取在图形内部 B．位似中心取在图形内部时，只能把图形缩小 C．当位似中心确定后，按要求放大或缩小的图形只能画一个 D．以上说法都不正确 【分析】直接利用位似图形的性质分析得出答案． 【解答】解：A、位似中心要么取在图形外部，要么取在图形内部，也可以在图形上，故此选项错误； B、位似中心取在图形内部时，也可以把图形缩小也可以放大，故此选项错误； C、当位似中心确定后，按要求放大或缩小的图形能画2个，故此选项错误； D、以上说法都不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 8．如图，长方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，3），D（1，3）． （1）将长方形各顶点的横、纵坐标都乘2，得到长方形A'B'C'D'，画出相应的图形． （2）新长方形与原长方形周长的比为 　2：1　 ，面积的比为 　4：1　 ． （3）若将长方形ABCD各顶点的横、纵坐标都扩大到原来的n倍（n为正整数），则新长方形与原长方形周长的比为 n：1　 ，面积的比为 n2：1　 ． 【分析】（1）先求得A′、B′、C′、D′的坐标，然后画出图形即可； （2）新长方形的边长变为原来的2倍，则周长是原来的2倍，面积变为原来的4倍； （3）将长方形ABCD的各顶点横、纵坐标都扩大到原来的n倍（n为正整数），则新长方形的边长扩大为原来的n倍，故周长扩大到原来的n倍，面积扩大为原来的n2倍． 【解答】解：（1）A′（2，2）、B′（4，2）、C′（4，6）、D′（2，6）， 图形如图所示： （2）新长方形的边长变为原来的2倍，则面积变为原来的4倍， ∴新长方形与原长方形周长的比为2：1，新长方形与原长方形面积的比为4：1． 故答案为：2：1；4：1； （3）将长方形ABCD的各顶点横、纵坐标都扩大到原来的n倍（n为正整数），则新长方形的边长扩大为原来的n倍， ∴面积扩大为原来的n2倍． ∴新长方形与原长方形周长的比为n：1，新长方形与原长方形面积的比为n2：1． 故答案为：n：1；n2：1． 【点评】本题主要考查的是坐标与图形的性质，明确相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 9．（2008秋•海淀区校级月考）在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和△ABC （1）画图：以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向），得到△A′B′C′； （2）△ABC与△A′B′C′相似比为　2：1　 ． 【分析】（1）运用相似的原理，进行图形的扩大或者缩小变换，要求熟练掌握相似作图． （2）利用相似三角形对应边的比值即是相似比求出即可． 【解答】解：（1）利用三角形相似作图，连接OA，OB，OC，分别找出这三条线段的中点A′、B′、C′，顺次连接A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；如图所示． （2）BC：B′C′＝2：1， 故答案为：2：1． 【点评】此题主要考查了相似图形里的位似作图以及相似比的性质，根据已知得出位似图形是解题关键． 10．（2024•武汉模拟）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的，画出缩小后的四边形AB1C1D1，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长； （2）在图2中，先在AB上画点F，使得CF＝BC，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN是平行四边形． 【分析】（1）取AB、AC、AD的中点B1、C1、D1，然后顺次连接即可；根据勾股定理可得AB＝5，，结合图形可知BC＝3，故AB+BC＝8，取格点P，使得PB＝AB＝5，则有∠BAP＝∠BPA，连接AP，再取点Q，连接CQ，此时可有AC＝PB＝4，AC∥PB，即四边形APQC为平行四边形，则有CQ∥AP，易得∠BQE＝∠BPA，∠BEQ＝∠BAP，所以∠BEQ＝∠BQE，易得BE＝BQ＝1，连接DE，则DE平分四边形ABCD的周长； （2）取格点G，H，J，使得CG＝3，GH＝4，HJ＝3，连接GJ交AB于F，易证明△ABC≌△GJH，所以∠HGJ＝∠CAB，结合∠B+∠CAB＝90°，可得∠G+∠B＝90°，即△BGF为直角三角形，因为CG＝BC＝3，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得CF＝BC；在网格中取点K，连接CK交AD于点M，则CK∥AB，过点M作MN∥BC，交AB为点N，即可获得答案． 【解答】解：（1）如图1，四边形AB1C1D1，线段DE即为所求； （2）如图2，CF，四边形BCMN即为所求． 【点评】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键． 11．（2025春•栾城区期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点是网格线的交点）． （1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的三个顶点坐标； （2）画出将△A1B1C1向右平移4个单位长度得到的△A2B2C2，并写出△A2B2C2的三个顶点坐标； （3）将△A2B2C2各顶点的横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到△A3B3C3，求△A3B3C3的面积． 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用点平移的坐标变换规律写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）先按要求写出点A3、B3、C3的坐标，再画出△A3B3C3，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：（1）△如图，A1B1C1为所作，A1（﹣1，2），B1（﹣1，4），C1（﹣4，1）； （2）如图，△A2B2C2为所作，A2（3，2），B2（3，4），C2（0，1）； （3）如图，△A3B3C3的面积1×6＝3． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：按要求写出点的坐标，再描点是解决问题的关键．也考查了平移变换和旋转变换． 12．（2025秋•鲁山县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）． （1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为（　﹣2a ，　﹣2b ）； （3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍． 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的坐标变换规律即可求解； （3）根据相似三角形的性质画图即可． 【解答】解：（1）与△ABC的位似比为1：2的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为（﹣2a，﹣2b）， 故答案为：﹣2a，﹣2b； （3）使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍的△A2B2C2，如图2即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． 13．（2026秋•苏家屯区月考）如图，每个小方格都是边长为1厘米的正方形． （1）左上角已经涂了4个小方格，请你再涂一个小方格，使得5个小方格组成的图形是轴对称图形； （2）把梯形绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； （3）以点O为圆心，按3：1的比画出圆放大后的图形； （4）过点P画一条线段，把正方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积之比为3：5． 【分析】（1）由轴对称图形性质补全图形即可； （2）将梯形三个顶点绕点A逆时针旋转90°，连接四个顶点即可； （3）半径决定圆的大小，将圆心O向上平移3个单位长度得到O′，然后以O为圆心、OO′为半径画圆即可； （4）根据题意，计算出点P所在直角三角形的两条直角边长，连接格点即可． 【解答】解：（1）如图所示： ∴图中小方格即为所求； （2）如图所示： ∴图中梯形即为所求； （3）如图所示： ∴图中圆即为所求； （4）由图可知正方形的面积为16，把正方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积之比为3：5，则分成的三角形面积为， 若以点P为三角形的一个顶点，水平边为三角形的一条直角边长，则竖直边的长度为6×2÷4＝3，连接这两个格点，如图所示： ∴图中线段即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、梯形、利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点3】位似综合与作图（第25-50题） · · 作图连对应点按比例取点 · · 结合平移旋转轴对称综合求坐标 · · 面积比周长比互相转化 · · 格点作图利用相似比例 14．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转角度θ，这种经过位似和旋转的图形变换称为旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O称为旋转相似中心，k称为相似比，O称为旋转角． 填空： （1）如图①，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（　2　 ，　60°　 ）； （2）如图②，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，则线段BD的长为　2　 cm． 【分析】（1）依题意易知，△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，结合题干中的新定义，即可写出旋转相似变换的记法； （2）已知等边△ABC的边长为1，将△ABC作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出AD，∠BAD＝90°，再利用勾股定理可求出BD的长． 【解答】解：（1）∵△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE， ∴在这个旋转相似变换过程中，旋转相似中心是A，相似比是2，旋转角是60°， ∴这个旋转相似变换记为A（ 2，60°）． 故答案为：2，60°． （2）△ABC作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，且AD，可推出∠BAD＝90°， 利用勾股定理得到：BD2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了几何变换综合题，解答该题的关键是弄清楚O（k，θ）所表达的含义，其中点0叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角． 15．（2026•滁州模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（3，0）和（6，0）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为点A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 【分析】（1）利用网格特点描出点D即可；由题意可得点D的坐标为（），即（）． （2）结合位似的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求． 点D的坐标为（），即（）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 16．（2026•固镇县一模）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上． （1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为（﹣3，﹣1）、（1，﹣3）； （2）以点O为位似中心，画出△ABC的位似△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似比为2：1； （3）将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 【分析】（1）根据点A、B的坐标构建平面直角坐标系； （2）根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （3）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点即可． 【解答】解：（1）如图， （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）如图，△A2B2C2为所作． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了旋转变换． 四．考点4：以原点为位似中心的位似变换（共9小题） 17．（2026•市南区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△DEF关于点O位似，若A（2，3），D（﹣1，），AC＝3，则DF为（　　） A． B．3 C．4 D．6 【分析】根据点A与点B的坐标求出△ABC与△DEF的相似比，计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O位似，点A的坐标为（2，3），点D的坐标为（﹣1，）， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：1， ∵AC＝3， ∴DF， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 18．（2026春•广饶县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心画△A′OB′，使它与△AOB相似比为，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A． B．或 C．（﹣8，16） D．（﹣8，16）或（8，﹣16） 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点A的坐标为（﹣2，4）， ∴点A的对应点A′的坐标为或， 即或， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19．（2026•于洪区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若CD＝2AB，点A的坐标为，则点A的对应点C的坐标为（　　） A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 【分析】根据位似图形的性质得到OD＝2OB，再利用相似三角形性质得出C的坐标． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴，过点A作AF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图所示， 根据位似图形性质可知，△DOC∽△BOA， ∵DC＝2AB， ∴DO＝2OB，OC＝2OA， ∵∠OEC＝∠OFA＝90°，∠COE＝∠AOF， ∴△COE∽△AOF， ∴CE＝2AF，OE＝2OF， ∵A（，﹣1）， ∴OF＝1，AF， ∴CE＝1，OE＝2， ∵点C在第二象限， ∴C（﹣1，2）， 故选：D． 【点评】本题考查位似图形和相似图形性质，解题关键是熟练掌握性质定理． 20．（2026春•莱阳市期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，点B的坐标为（1，0），点E的坐标为（2，0），若△ABC的周长为5，则△DEF的周长是　10　 ． 【分析】根据位似图形的概念、结合点B、点E的坐标求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质求出周长比，计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点B的坐标为（1，0），点E的坐标为（2，0）， ∴△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：2， ∵△ABC的周长为5， ∴△DEF的周长为10， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念相似三角形的性质是解题的关键． 21．（2026•茂名二模）如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，点B坐标为（2，1），则点D的坐标为　（6，3）　 ． 【分析】由题意得△AOB与△COD的相似比为1：3，进而可得答案． 【解答】解：∵CD＝3AB， ∴AB：CD＝1：3， ∴△AOB与△COD的相似比为1：3， ∵点B坐标为（2，1）， ∴点D的坐标为（2×3，1×3），即（6，3）． 故答案为：（6，3）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（2026•寒亭区二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1），AB∥y轴，AB＝1，△A′OB′与△AOB是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：1，则B′的坐标为　（2，4）　 ． 【分析】根据坐标与图形求出点B的坐标，再根据位似变换的性质求出点B′的坐标． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，﹣1），AB∥y轴，AB＝1， ∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）， ∵△A′OB′与△AOB是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：1， ∴点B′的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4）， 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 23．（2024秋•南海区校级月考）如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），△OB′C′与△OBC位似，O点为位似中心，点B的对应点为B′（﹣6，2）． （1）在图中画出△OB′C′； （2）△OB′C′与△OBC的周长比为 　2：1　 ； （3）点M（a，b）是BC边上一个点，其对应点M′的坐标为 　（﹣2a，﹣2b）　 ． 【分析】（1）按照画位似图形的方法在图中画出△OB′C′即可； （2）根据位似中心O，B点及其对应点B′的坐标即可求出△OB′C′与△OBC的相似比； （3）由于O点为位似中心，点M（a，b）是BC边上一个点，根据位似变换的坐标特征及相似比即可求出M的对应点M′的坐标． 【解答】解：（1）在图中画出△OB′C′如下： （2）∵B点的坐标为（3，﹣1），O点为位似中心，点B的对应点为B′（﹣6，2）， ∴△OB′C′与△OBC的相似比为：， ∴△OB′C′与△OBC的周长比为2：1； 故答案为：2：1； （3）∵O点为位似中心，点M（a，b）是BC边上一个点， ∴M的对应点M′的坐标为（a×（﹣2），b×（﹣2）），即（﹣2a，﹣2b）， 故答案为：（﹣2a，﹣2b）． 【点评】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，在坐标系中画位似图形，求位似图形的对应坐标等知识点，熟练掌握位似图形的作图方法及位似图形的性质是解题的关键． 24．（2024秋•观山湖区校级期中）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1； （2）连接BA1、BB1，求△A1B1C1的面积． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图， △A1B1C1的面积4×4＝8． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 25．（2024秋•西安月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为（3，1），点B′的坐标为（6，2）．若点A的坐标为，求点A′的坐标． 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为（3，1），点B′的坐标为（6，2）， ∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2， ∵点A的坐标为， ∴点A′的坐标（5，6）． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 五．考点5：位似图形在实际问题中的应用（共6小题） 26．（2025秋•晋江市期末）平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'的位似中心，若AB＝9，A'B'＝5，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据位似图形的概念得到A′B′∥AB，证明△A′OB′∽△AOB，再根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵正方形ABCD和正方形A'B'C'D'是位似图形， ∴A′B′∥AB， ∴△A′OB′∽△AOB， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 27．（2025秋•榆中县期末）古书《墨子•天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【分析】由位似图形的性质可得正方形ABCD的面积：正方形A′B′C′D′的面积，再进一步可得答案． 【解答】解：∵AB：A′B′＝1：2，正方形ABCD的面积为1，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′是位似图形， ∴正方形ABCD的面积：正方形A′B′C′D′的面积； ∴若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为4． 故选：B． 【点评】本题考查的是位似图形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2023秋•铜仁市期末）如图，在平面直角坐标系中，两个大小不一的铜仁城市标识图案是位似图形，原点O是位似中心，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A的坐标是（12，6），，则点C的坐标为（　　） A．（4，2） B．（2，4） C．（6，3） D．（3，6） 【分析】先确定两个图形的相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵两个大小不一的铜仁城市标识图案是位似图形，3， ∴两个大小不一的铜仁城市标识图案的相似比为3：1， ∵点A的坐标是（12，6）， ∴点C的坐标为（12，6），即（4，2）， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 29．（2025秋•怀宁县期末）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（0，2）、C（﹣2，4）． （1）如图，△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1（2，0）、B1（0，﹣1）、C1（1，﹣2），△A1B1C1是△ABC通过位似变换得到的，请写出位似中心　点O（0，0）　 ；△A1B1C1和△ABC位似比为　1：2　 ； （2）作图：请在线段AB上找一点M使得AM：BM＝2：3． 【分析】（1）根据位似定义，连接AA1、BB1、CC1交于点O，可确定位似中心，由对应边长之比求出△A1B1C1和△ABC位似比即可； （2）根据AB在x轴上的变化量为0﹣（﹣4）＝4，y轴上的变化量为2﹣0＝2，AM：AB＝2：5，计算求出M点的坐标为． 【解答】解：（1）连接AA1、BB1、CC1交于点O，则位似中心为点O（0，0）， 由勾股定理得：，， ∵△A1B1C1和△ABC位似， ∴位似比为对应边长之比，即， ∴位似比为：， 故答案为：点O（0，0），1：2； （2）使得AM：BM＝2：3的点M，如图2即为所求． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质，作图﹣复杂作图，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 30．（2023秋•同步）如图，一块“中空”的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为120cm和80cm，内部小长方形的各边与相应的大长方形的各边的距离均为20cm．大、小两个长方形是位似图形吗？ 【分析】求出两个长方形的长宽之比，即可判断． 【解答】解：点长方形的长：宽＝120：80＝3：2， 中间的长方形的长＝120﹣40＝80（cm），宽＝80﹣40＝40（cm）， ∴长：宽＝80：40＝2：1， ∵3：2≠2：1， ∴大、小两个长方形不是位似图形． 【点评】本题考查位似变换，长方形的性质等知识，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型． 31．（2026秋•同步）如图，在网格图内，延长AB到点E，延长AD到点F，使AE＝2AB，AF＝2AD，以AE，AF为邻边作▱AEGF．▱AEGF与▱ABCD是相似图形吗？为什么？ 【分析】由相似图形的判定可求解． 【解答】解：如图所示： ∵AEGF与▱ABCD对应角相等，对应边成比例， ∴是相似图形． 【点评】此题考查相似图形，关键是根据相似图形的定义解答． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•利津县二模）如图，四边形ABCD，A′B′C′D′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，B，A′的坐标分别为（4，0），（0，3），（﹣2，0），则A′B′的长为　　 ． 【分析】根据位似图形的性质可得，求解，进一步利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD，A′B′C′D′是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴， ∵点A，B，A′的坐标分别为（4，0），（0，3），（﹣2，0）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习 2】（2026•泾川县校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．若点A′（2，2），C′（8，2），AC＝3，则点C的坐标为　（﹣4，﹣1）　 ． 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【解答】解：∵点A′（2，2），C′（8，2）， ∴A′C′＝8﹣2＝6， ∵在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O， ∴， ∵C′（8，2）， ∴，即：C（﹣4，﹣1）． 故答案为：（﹣4，﹣1）． 【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出△ABC与△A'B'C'的位似比是解题的关键． 【练习 3】（2024秋•焦作月考）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（1，4），以原点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按照相似比1：3放大，则点B的对应点B′的坐标是　（3，12）　 ． 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵B（1，4），以原点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按照相似比1：3放大， ∴点B的对应点B′的坐标是（1×3，4×3），即（3，12）． 故答案为：（3，12）． 【点评】本题考查位似变换、坐标确定位置，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【练习 4】（2024秋•东莞市期末）如图，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且OC1：C1C＝2：1，则△A1B1C1与△ABC的面积比为 　4：9　 ． 【分析】根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【解答】解：∵OC1：C1C＝2：1， ∴OC1：OC＝2：3， ∵△A1B1C1与△ABC是位似图形， ∴△A1B1C1∽△ABC，相似比为：2：3； ∴△A1B1C1与△ABC的面积比为4：9； 故答案为：4：9． 【点评】本题考查位似图形，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【练习 5】（2026•南山区校级三模）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为　　 ． 【分析】根据A，A′的坐标求出位似比，即可求出D′E′的长． 【解答】解：∵点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）， ∵五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，DE的长为3， ∴五边形ABCDE，A′B′C′D′E′的位似比为， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 位似是特殊相似，三条件：相似+对应点共点+对应边平行 · · 位似比=对应点到位似中心距离之比 · · 原点为位似中心时坐标乘k或-k，注意同侧异侧两种答案 · · 周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方 · · 作图题先连对应点，再按比例取点，最后顺次连接 【作业 1】（2024秋•威远县校级月考）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的面积比等于相似比的平方即得答案． 【解答】解：∵OA：AA′＝1：3， ∴OA：OA′＝1：4， ∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【作业 2】（2025•集美区模拟）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的端点坐标分别为A（1，2），B（2，0），以点O为位似中心，将线段AB放大得到线段A1B1，若点B1的坐标为（4，0），则点A1的坐标为（　　） A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4） 【分析】由题意可知，线段AB与线段A1B1的相似比为1：2，进而可得答案． 【解答】解：如图， 由题意知，线段AB与线段A1B1的相似比为1：2， ∴点A1的坐标为（2，4）． 故选：A． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 3】（2025秋•威远县期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以原点O为位似中心的位似图形，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为（　　） A．（6，3） B．（4，6） C．（4，2） D．（6，2） 【分析】由题意得△AOB与△COD的相似比为1：3，进而可得答案． 【解答】解：∵△AOB与△COD是以原点O为位似中心的位似图形，CD＝3AB， ∴△AOB与△COD的相似比为1：3， ∵B点坐标为（2，1）， ∴点D的坐标为（2×3，1×3），即（6，3）． 故选：A． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 4】（2025秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系中，△COD是△AOB缩小后得到的位似图形．若点A（2.5，5）对应点C，点B（5，0）对应点D，则△COD与△AOB的相似比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．2：5 D．5：2 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵点B（5，0）对应点D（2，0），点A（2.5，5）对应点C（1，2）， ∴△COD与△AOB的相似比是2：5． 故选：C． 【点评】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 5】（2025秋•天台县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是第一、三象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2．若点B的横坐标为4，则点E的横坐标为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为2，点B的横坐标为4， ∴点E的横坐标为2． 故选：A． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 6】（2024•营山县一模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OC：CF＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比是 　　 ． 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，证明△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【解答】解：∵OC：CF＝2：3， ∴OC：OF＝2：5， ∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△AOB∽△DOE， ∴， ∴△ABC与△DEF的面积比为：（）2， 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【作业 7】（2024秋•绿园区校级月考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是 　9　 ． 【分析】结合题意可得△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF＝4：9，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3， ∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3， ∴S△ABC：S△DEF＝4：9， ∵△ABC的面积为4， ∴△DEF的面积是9． 故答案为：9． 【点评】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业 8】（2025秋•南山区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）．已知矩形OA′B′C′在第一象限，且与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，则点B′的坐标是　（3，2）　 ． 【分析】根据位似图形的概念得到矩形OA′B′C′∽OABC，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC位似， ∴矩形OA′B′C′∽OABC， ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的， ∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（6，4）， ∴点B′的坐标为（6，4）或（6×（），4×（）），即（3，2）或（﹣3，﹣2）． ∵矩形OA′B′C′在第一象限， ∴B′的坐标为（3，2）． 故答案为：（3，2）． 【点评】本题考查的是位似变换，矩形的性质，坐标与图形性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•濂溪区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为 　（0，2）　 ． 【分析】连接BF，交OD于H，根据位似中心的概念得到点H为位似中心，证明△BCH∽△FGH，根据相似三角形的性质求出GH，进而求出OH，得到点H的坐标． 【解答】解：如图，连接BF，交OD于H，则点H为位似中心， 由题意可知：CG＝4﹣1＝3，BC＝4，GF＝2， ∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形， ∴BC∥GF， ∴△BCH∽△FGH， ∴2， ∴GH＝1， ∴位似中心点H的坐标为（0，2）， 故答案为：（0，2）． 【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记位似中心的概念是解题的关键． 【作业 10】（2024秋•瑞安市校级期末）如图，▱ABCD与▱GCEF是位似图形，原点O为位似中心，位似比为1：3，若点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），则点E的坐标为　（9，0）　 ． 【分析】由位似图形的性质可得，求出OE即可求解． 【解答】解：∵▱ABCD与▱GCEF是位似图形，原点O为位似中心，位似比为1：3， ∴， ∵点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0）， ∴OB＝1，OC＝3， ∴， 解得：OE＝9， ∴E（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，平行四边形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【作业 11】（2025秋•凉州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2），以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A'B'C'（点A、B、C的对应点分别是点A'、B'、C'），使得△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1． 【分析】根据位似的性质作图即可． 【解答】解：如图，△A'B'C'即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 12】（2025秋•泗县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，画出△A1B1C1； （2）若△A2B2C2与△A1B1C1是关于原点O为位似中心的位似图形，位似比为2：1，且△A2B2C2位于第四象限，画出△A2B2C2． 【分析】（1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后连线即可； （2）由（1）及位似的性质进行作图即可． 【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）如图2，△A2B2C2即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称和位似变换的性质是解题的关键． 【作业 13】（2025秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1； （2）△ABC与△A1B1C1的面积比为　1：4　 ． 【分析】（1）连接OB并延长，截取BB1＝OB，连接OA并延长，截取AA1＝0A，连接OC并延长，截取CC1＝OC，确定出△A1B1C1； （2）用割补法可求△A1B1C1的面积． 【解答】解：（1）连接OB并延长，截取BB1＝OB，连接OA并延长，截取AA1＝0A，连接OC并延长，截取CC1＝OC，确定出△A1B1C1根据题意画出图形，如图所示： ； （2）△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2， ∴△ABC与△A1B1C1面积比为1：4， 故答案为：1：4． 【点评】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【作业 14】（2026•瑶海区模拟）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C（A的对应点是A1，B的对应点是B1）． （2）求△A1B1C的面积． （3）用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得．（保留画图痕迹） 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可； （2）分割法计算△A1B1C的面积即可； （3）过点A1、B1作A1F∥B1E，且满足B1E＝3，A1F＝4，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】解：（1）将△ABC放大2倍得到△A1B1C，如图1即为所求； （2）； （3）使得的点P，如图2即为所求； 过点A1、B1作A1F∥B1E，且满足B1E＝3，A1F＝4，连接EF，与A1B1的交点即为所求的点P， ∴△B1EP∽△A1FP， ∴． 【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【作业 15】（2026•淮南一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O、A、B、C均为网格线的交点． （1）以点O为位似中心，在网格中画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使原图形与新图形的相似比为1：2． （2）△A1B1C1的面积为　8　 ． 【分析】（1）根据位似图形的性质画出图形即可； （2）利用割补法计算即可求解； 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）S6×46×22×24×4＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 简单的位似图形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解位似图形的概念与位似中心 · · 掌握位似图形的性质（对应点连线过位似中心） · · 能在坐标系中按位似比作图并求对应点坐标 · · 掌握位似比与周长比、面积比的关系 · · 会综合运用平移、旋转、轴对称、位似进行图形变换 📚 知识梳理 ☆ 1.位似图形的概念 两个相似多边形，如果对应顶点连线交于一点，对应边互相平行，这样的图形叫位似图形 这个交点叫位似中心，相似比也叫位似比 位似是特殊的相似，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似 位似中心可在图形同侧、异侧、内部或图形上 概念辨析例题：判断：相似图形一定是位似图形 解析：位似要求对应顶点连线共点且对应边平行，相似只要求角等边成比例，不一定位似 ☆ 2.位似图形的性质 位似图形对应点连线经过位似中心 位似图形对应边平行（或共线） 位似比=对应点到位似中心距离之比 周长比=位似比k，面积比=k2 概念辨析例题：位似比2:3，较小面积4，求较大面积 解析：面积比=4:9，较大面积=4×=9 ☆ 3.坐标系中的位似 以原点为位似中心，相似比k，则对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky) 同侧放大同号，异侧放大变号 位似中心不是原点时，先平移到原点再还原 P(x,y)变换后为(kx,ky)（同侧）或(-kx,-ky)（异侧） 概念辨析例题：A(2,1)以原点为位似中心放大2倍，求A′坐标 解析：同侧(2×2,1×2)=(4,2)；异侧(-4,-2) ☆ 4.位似作图与综合 步骤：连对应点→延长→按位似比取点→顺次连接 无刻度直尺作图：利用格点与相似 位似可放大也可缩小 综合平移、旋转、轴对称时分别按规则求坐标 概念辨析例题：△ABC以O为位似中心放大为原来2倍，OA=3，求OA′ 解析：OA′=2×OA=6 📋 知识总结表 核心概念 性质/公式 注意事项 位似图形 相似+对应点连线共点+边平行 位似是特殊相似 位似中心O 对应点连线都过O 可在图形内外 位似比k OA:OA′ 有顺序性 周长比 等于k 对应周长之比 面积比 等于k2 勿与周长比混淆 原点位似坐标 (kx,ky)或(-kx,-ky) 同侧同号异侧异号 位似作图 连点→延长→取点→连线 注意同侧异侧两种 非原点位似 先平移再缩放再还原 按向量处理 ⚠️ 核心考点 【考点1】位似图形的概念与性质（第1-5题） · · 先看是否相似 · · 再看对应点连线是否共点 · · 对应边是否平行 · · 面积比=位似比平方 1．（2026•嘉善县二模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．已知OA＝2，AD＝3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．25 2．（2026•兰州校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点B的坐标为（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣3，﹣1） C． D．（3，1） 3．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积之比为25：16，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•奉节县期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为点O．若OB：OE＝2：3，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：6 D．4：9 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（﹣3，﹣1）或（3，1） 【考点2】坐标系中的位似（第6-24题） · · 原点为中心直接乘k或-k · · 非原点中心用向量平移 · · 同侧异侧两种情况都要写 · · 求坐标先确定位似比k 6．（2023春•临朐县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　） A． B． C． D． 7．用位似方法把图形扩大或缩小时，下列说法中，正确的是（　　） A．位似中心要么取在图形外部，要么取在图形内部 B．位似中心取在图形内部时，只能把图形缩小 C．当位似中心确定后，按要求放大或缩小的图形只能画一个 D．以上说法都不正确 8．如图，长方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，3），D（1，3）． （1）将长方形各顶点的横、纵坐标都乘2，得到长方形A'B'C'D'，画出相应的图形． （2）新长方形与原长方形周长的比为 ________ ，面积的比为 ________ ． （3）若将长方形ABCD各顶点的横、纵坐标都扩大到原来的n倍（n为正整数），则新长方形与原长方形周长的比为 ________ ，面积的比为 _________ ． 9．（2008秋•海淀区校级月考）在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和△ABC （1）画图：以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向），得到△A′B′C′； （2）△ABC与△A′B′C′相似比为________ ． 10．（2024•武汉模拟）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的，画出缩小后的四边形AB1C1D1，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长； （2）在图2中，先在AB上画点F，使得CF＝BC，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN是平行四边形． 11．（2025春•栾城区期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点是网格线的交点）． （1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的三个顶点坐标； （2）画出将△A1B1C1向右平移4个单位长度得到的△A2B2C2，并写出△A2B2C2的三个顶点坐标； （3）将△A2B2C2各顶点的横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到△A3B3C3，求△A3B3C3的面积． 12．（2025秋•鲁山县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）． （1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为（________ ，________ ）； （3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍． 13．（2026秋•苏家屯区月考）如图，每个小方格都是边长为1厘米的正方形． （1）左上角已经涂了4个小方格，请你再涂一个小方格，使得5个小方格组成的图形是轴对称图形； （2）把梯形绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； （3）以点O为圆心，按3：1的比画出圆放大后的图形； （4）过点P画一条线段，把正方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积之比为3：5． 【考点3】位似综合与作图（第25-50题） · · 作图连对应点按比例取点 · · 结合平移旋转轴对称综合求坐标 · · 面积比周长比互相转化 · · 格点作图利用相似比例 14．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转角度θ，这种经过位似和旋转的图形变换称为旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O称为旋转相似中心，k称为相似比，O称为旋转角． 填空： （1）如图①，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（_____ ，________ ）； （2）如图②，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，则线段BD的长为_____ cm． 15．（2026•滁州模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（3，0）和（6，0）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为点A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 16．（2026•固镇县一模）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上． （1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为（﹣3，﹣1）、（1，﹣3）； （2）以点O为位似中心，画出△ABC的位似△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似比为2：1； （3）将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 四．考点4：以原点为位似中心的位似变换（共9小题） 17．（2026•市南区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△DEF关于点O位似，若A（2，3），D（﹣1，），AC＝3，则DF为（　　） A． B．3 C．4 D．6 18．（2026春•广饶县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心画△A′OB′，使它与△AOB相似比为，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A． B．或 C．（﹣8，16） D．（﹣8，16）或（8，﹣16） 19．（2026•于洪区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若CD＝2AB，点A的坐标为，则点A的对应点C的坐标为（　　） A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 20．（2026春•莱阳市期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，点B的坐标为（1，0），点E的坐标为（2，0），若△ABC的周长为5，则△DEF的周长是_______ ． 21．（2026•茂名二模）如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，点B坐标为（2，1），则点D的坐标为__________ ． 22．（2026•寒亭区二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1），AB∥y轴，AB＝1，△A′OB′与△AOB是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：1，则B′的坐标为__________ ． 23．（2024秋•南海区校级月考）如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），△OB′C′与△OBC位似，O点为位似中心，点B的对应点为B′（﹣6，2）． （1）在图中画出△OB′C′； （2）△OB′C′与△OBC的周长比为 ________ ； （3）点M（a，b）是BC边上一个点，其对应点M′的坐标为 ______________ ． 24．（2024秋•观山湖区校级期中）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1； （2）连接BA1、BB1，求△A1B1C1的面积． 25．（2024秋•西安月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为（3，1），点B′的坐标为（6，2）．若点A的坐标为，求点A′的坐标． 五．考点5：位似图形在实际问题中的应用（共6小题） 26．（2025秋•晋江市期末）平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'的位似中心，若AB＝9，A'B'＝5，则的值是（　　） A． B． C． D． 27．（2025秋•榆中县期末）古书《墨子•天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 28．（2023秋•铜仁市期末）如图，在平面直角坐标系中，两个大小不一的铜仁城市标识图案是位似图形，原点O是位似中心，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A的坐标是（12，6），，则点C的坐标为（　　） A．（4，2） B．（2，4） C．（6，3） D．（3，6） 29．（2025秋•怀宁县期末）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（0，2）、C（﹣2，4）． （1）如图，△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1（2，0）、B1（0，﹣1）、C1（1，﹣2），△A1B1C1是△ABC通过位似变换得到的，请写出位似中心____________ ；△A1B1C1和△ABC位似比为________ ； （2）作图：请在线段AB上找一点M使得AM：BM＝2：3． 30．（2023秋•同步）如图，一块“中空”的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为120cm和80cm，内部小长方形的各边与相应的大长方形的各边的距离均为20cm．大、小两个长方形是位似图形吗？ 31．（2026秋•同步）如图，在网格图内，延长AB到点E，延长AD到点F，使AE＝2AB，AF＝2AD，以AE，AF为邻边作▱AEGF．▱AEGF与▱ABCD是相似图形吗？为什么？ 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•利津县二模）如图，四边形ABCD，A′B′C′D′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，B，A′的坐标分别为（4，0），（0，3），（﹣2，0），则A′B′的长为__________________ ． 【练习 2】（2026•泾川县校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．若点A′（2，2），C′（8，2），AC＝3，则点C的坐标为____________ ． 【练习 3】（2024秋•焦作月考）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（1，4），以原点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按照相似比1：3放大，则点B的对应点B′的坐标是___________ ． 【练习 4】（2024秋•东莞市期末）如图，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且OC1：C1C＝2：1，则△A1B1C1与△ABC的面积比为 ________ ． 【练习 5】（2026•南山区校级三模）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为__________________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · · 位似是特殊相似，三条件：相似+对应点共点+对应边平行 · · 位似比=对应点到位似中心距离之比 · · 原点为位似中心时坐标乘k或-k，注意同侧异侧两种答案 · · 周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方 · · 作图题先连对应点，再按比例取点，最后顺次连接 【作业 1】（2024秋•威远县校级月考）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16 【作业 2】（2025•集美区模拟）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的端点坐标分别为A（1，2），B（2，0），以点O为位似中心，将线段AB放大得到线段A1B1，若点B1的坐标为（4，0），则点A1的坐标为（　　） A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4） 【作业 3】（2025秋•威远县期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以原点O为位似中心的位似图形，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为（　　） A．（6，3） B．（4，6） C．（4，2） D．（6，2） 【作业 4】（2025秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系中，△COD是△AOB缩小后得到的位似图形．若点A（2.5，5）对应点C，点B（5，0）对应点D，则△COD与△AOB的相似比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．2：5 D．5：2 【作业 5】（2025秋•天台县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是第一、三象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2．若点B的横坐标为4，则点E的横坐标为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【作业 6】（2024•营山县一模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OC：CF＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比是 ___________________ ． 【作业 7】（2024秋•绿园区校级月考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是 _____ ． 【作业 8】（2025秋•南山区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）．已知矩形OA′B′C′在第一象限，且与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，则点B′的坐标是__________ ． 【作业 9】（2025秋•濂溪区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为 __________ ． 【作业 10】（2024秋•瑞安市校级期末）如图，▱ABCD与▱GCEF是位似图形，原点O为位似中心，位似比为1：3，若点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），则点E的坐标为__________ ． 【作业 11】（2025秋•凉州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2），以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A'B'C'（点A、B、C的对应点分别是点A'、B'、C'），使得△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1． 【作业 12】（2025秋•泗县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，画出△A1B1C1； （2）若△A2B2C2与△A1B1C1是关于原点O为位似中心的位似图形，位似比为2：1，且△A2B2C2位于第四象限，画出△A2B2C2． 【作业 13】（2025秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1； （2）△ABC与△A1B1C1的面积比为________ ． 【作业 14】（2026•瑶海区模拟）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C（A的对应点是A1，B的对应点是B1）． （2）求△A1B1C的面积． （3）用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得．（保留画图痕迹） 【作业 15】（2026•淮南一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O、A、B、C均为网格线的交点． （1）以点O为位似中心，在网格中画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使原图形与新图形的相似比为1：2． （2）△A1B1C1的面积为_____ ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $