专题八 相似三角形的基本模型-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

专题八相似三 熟悉如图所示的常见三角形相似的基本图 形，在具体问题中要善于分解出这些基本图形， 从而快速找到判定相似的方法， A字型 X字型 子母型（∠1=∠2） 斜截型(L1=∠2) 旋转型 双垂直型 2 三垂直型 反射型（∠1=∠2） “两高”型 模型一A字型 1.如图，在△ABC中，AB =4cm,BC=8cm,点P 从点A开始沿AB边向 点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始 沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，经过 后， △PBQ与△ABC相似： A.0.8s B.2s C.0.8s或2s D.0.4s或1s 模型二X字型 2.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD 上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点 F.若AE=2ED,CD=6cm,求AF的长 63 角形的基本模型 模型三旋转型 3.如图，已知∠DAB=∠EAC,∠ADE=∠ABC, 求证： (1)△ADE∽△ABC; (2)△ADB∽△AEC. 模型四双垂直型 4.如图，已知直角△ABC中， CD是斜边AB上的高，AC= 4,BC=3,则AD= 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, 在AB边上取一点D,使BD=BC,过点D作 DE⊥AB交AC于点E,求DE的长. 64 模型五三垂直型（一线等三角型） 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,若折 叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合， 折痕交AD于点F,交BC于点G,边DC折叠 后与BC交于点M. (1)AF的长为 (2)求BM的长 模型六子母型 7.如图，在△ABC中，AC=4,CD=x,BC=y,点 D在BC边上， (1)当CD=2,BC=8时，判 断△ABC与△DAC是否相 D 似？请说明理由. (2)当∠CAD=∠B时，求y关于x的函数关 系式 模型七反射型 8.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的 点，EB-3AB=1,∠DEA=∠FEB,求EF 的长. 模型八“两高”型 9.如图，已知BD,CE为△ABC的高，求证： △ADE∽△ABC.题意，可知m十≠0，∴.n一m=1. 第22章相似形 -MN-5,.MB-AB- 22.1比例线段 AM=1-5-1=3-5 第1课时相似的图形 2 2 1.B2.B3.B4.155.2 3-√5 ·煨 2 3√5 6.∠A=∠A'或∠B=∠B 5-1 W5-1 7.由题意，得8：6=5：A'D',.A'D 2 =m,“∠A=∠B=65, (3-5)(5+1)= 2w5-2 (5-1)(W5+1) 4 .∠C=∠D=180°-65°=115°. 8D9.C10.B11. 5,1矩形BCNM是黄金矩 形 12品3能-3-专 第3课时平行线分线段成比 (2)证明：DE∥BC, 例定理及其推论 ∴∠D=∠B,∠E=∠C, 1.D2.43.0 EF AD 又”∠DAE=∠BAC铝 5.B6.6 4.AC-36 AEDE AC-BC 7.CF-15.BF-g ∴.△ADE与△ABC相似. 8.B9.C10.6或12 13.图略 14.(1)AD=1+5 1.BC-9,DB-15. 2 12.(1)AB=4,BC=10. ②)相似比为骨-1 (2)过点A作AG∥DF交BE 于点H,交CF于点G,又AD 第2课时比例的基本性质与 ∥BE∥CF,AD=7, 黄金分割 ∴.AD=HE=GF=7, 1.C2.100 3.5:7 CF=14,∴.CG=14-7=7, 4.1√2=2：2√2 BE/C,器船名， 5.(1)成比例，a:b=c:d ∴.BH=2,∴.BE=2+7=9. (2)成比例，a:c=d:b 微课堂作平行线转化线段的比 (3)不成比例 【变式练】B 6.C 22.2相似三角形的判定 7.(1)a:b=3:2.(2)a-b=1 第1课时相似三角形 a-3 &.B9.D10.C11.D12. 1.B248告是 13.△ABC的周长为8，△A'B'C4.15 24 45.A6.4 的周长为12. 7.答案不唯一，如△ADFp△ECF 14.(1)-1+5 8.证明略. 2 (2)右边窗户BCNM是黄金矩形. 9.A10.C11.B12.8cm13.3 证明：设AB=CD=1,,矩形14.CE=4.5cm ABCD是黄金矩形，∴.AD=AM15.(1).PM∥BC,.△APM∽ 34 △MNB.器-0，PY- AB’1 熙又∠B=∠C=9, PM-cmi ∴.△APB∽△EPC. 5.证明略. (2若△PNB△PAD,则器 6.A7.A8.C9.54 75 10.3 除，又由PM/NB得器 :11.(1)△PBA与△ABC相似，理由 盼恶搬营 t t 如下：.AB=√22+1=√5，BC =2s,此时相似比为一专 ,NB_2 =6,P=1嚣-跽-9 5 ∠PBA=∠ABC,∴.△PBA 第2课时三角形相似的判定定理1 ∽△ABC. 1.D2.B3.C (2).△PBA∽△ABC∴.∠BAC 4.∠1=∠C(答案不唯一) =∠BPA,,∠BPA=90°+45°= 5.56.157.证明略. 135°，.∠BAC=135 8.AC=2√2Icm. 12.(1)证明略； 9B10号1.9 2带-紧带肥. 12.(1)略. (2)证明略. 又.∠C=∠C,EC=5,BC=13, 13.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, ∴.△CDE∽△CAB, ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 器既品 ∴.∠BAD+∠ADB=90°， ∠ADB+∠CDG=90°， 13.(1)1:3(2)(3)略 ∴.∠BAE=∠CDG, 第4课时三角形相似的判定定理3 1.A2.B3.D4.B5.1.5 'BF⊥AC,∴.∠ABE+∠BAC =90°，.∠C+∠BAC=90°， 6.∠A=∠D或BC=2EF 7.证明略.8.D9.B10.B .∠ABE=∠C, 11.①②④12.证明略. .△ABE∽△DCG. 13.相似三角形有3对：△ABD) (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △A'B'D',△ABC∽△A'B'C', △DCG∽△ACD.易证∠BAE △CADp△CA'D'.证明略. =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 14.(1)△ABC∽△DEF,由三边对 知△ABE∽△ACD. 应成比例可知； 14.（1)证明略. (2)不唯一，△P2PD,△P4PF, (②)由1证得号-是，即CE=2 △P2PD,△PPD,△P2PP, ∴.AE=9-2=7 △PFD中，选2个即可.图略. 第3课时三角形相似的判定定理2： 第5课时直角三角形相似的判定 1.B2.D3.D 1.D2.B3.C4.D5.9 4.△APB与△PCE相似，理由如 6.(1)相似，理由略； 下：设BP=2k,BC=3k,∴.AB= BC=CD=3k,PC=k.又E是 (2)BE⊥AC,BE- 2AC,理由略。 DC的中点，C-昌起提 7.B8.A9.A 10.(1)证明略。 =2咒-路=2即0 (2)在Rt△BCE中，由BC=AD =12,CE=5,.BE= 35 VBC+CE二18，由△ABr∽6（号 △nPC,得瓷-能，即侣 (2)在矩形ABCD中由于对折， 器AF=6 ∴.∠D=∠FEM=90°，.∠1十 ∠2=90°，又.∠A=∠B=90° 11.在Rt△ABC中，AB=√WBC+AC ∴.∠1+∠3=90°，.∠2=∠3， =5,由题意知：AP=5-t,AQ=2t. 当PQ∥BC时，△AQPP△ACB, △AEF△BME,能- 器能登-5号 BM=是. AE 5 解得：=9,9<2，当PQLAB 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 是：.CD=2,BC=8,AC=4, 时，△MPQ△MCB8- 瓷0∠0∠C 能号5解得得 2525 .△ABCc∽△DAC: (2).∠CAD=∠B,∠C=∠C, <2.综上所述，当1=9或 △ABCn△DAC瓷-器. 时，以A,PQ为顶点的三角 即-￥y- x 形与△ABC相似. 12.(1)证明略 8.EB-AB-1,AB-3,AE (2)连接AC,.∠ABC=90°， =2.,四边形ABCD是正方形， ∴.AC=√AB+BC=√32+4 .∠DAE=∠FBE=90°，AD= =5,.DA=5√5，CD=10, AB=3,又∠DEA=∠FEB,∴. ∴.△ACD满足AC2+CD2= △ADEO△BFE,÷能-架， AD,.∠ACD=90°，过点D作 DE⊥BC延长线于点E,由(1) ∴BF-多∴EF=VB+B亚 得此时△CEDAR.÷器- -脚F的长为空 DE=CD=2,.CE=6,DE=8,在9.'∠A=∠A,∠ADB=∠AEC= CBAC Rt△BDE中，BD=√BE十DE 90,∴△ABDn△ACE.0 =√(4+6)2+8=2√4. 专题八相似三角形的基本模型 能：∠A=∠A,AMDE☑ 1.C2.AF=12cm. △ABC 3证明略。49 22.3相似三角形的性质 1.A2.A3.8:9 27 5.在△ABC中，∠C=90°，AC=8, cm 4.B BC=6,∴.AB=√AC+BC= 5.D6.1:4 10,又BD=BC=6,∴AD=AB.EF的长是空cmAC的长是am -BD=4,.DE⊥AB,.∠ADE 8.4:25或9：259.B10.D =∠C=90°，又∠A=∠A, 11.1:312.①②③ △AED△AC-把， 13.(1)证明：.DF∥AB,DE∥BC, ∴.∠DFC=∠ABF,∠AED= ∴DE-ABc-音×6=3 ∠ABF,.∠DFC=∠AED, 36