22.2 相似三角形的判定-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

题意，可知m十≠0，∴.n一m=1. 第22章相似形 -MN-5,.MB-AB- 22.1比例线段 AM=1-5-1=3-5 第1课时相似的图形 2 2 1.B2.B3.B4.155.2 3-√5 ·煨 2 3√5 6.∠A=∠A'或∠B=∠B 5-1 W5-1 7.由题意，得8：6=5：A'D',.A'D 2 =m,“∠A=∠B=65, (3-5)(5+1)= 2w5-2 (5-1)(W5+1) 4 .∠C=∠D=180°-65°=115°. 8D9.C10.B11. 5,1矩形BCNM是黄金矩 形 12品3能-3-专 第3课时平行线分线段成比 (2)证明：DE∥BC, 例定理及其推论 ∴∠D=∠B,∠E=∠C, 1.D2.43.0 EF AD 又”∠DAE=∠BAC铝 5.B6.6 4.AC-36 AEDE AC-BC 7.CF-15.BF-g ∴.△ADE与△ABC相似. 8.B9.C10.6或12 13.图略 14.(1)AD=1+5 1.BC-9,DB-15. 2 12.(1)AB=4,BC=10. ②)相似比为骨-1 (2)过点A作AG∥DF交BE 于点H,交CF于点G,又AD 第2课时比例的基本性质与 ∥BE∥CF,AD=7, 黄金分割 ∴.AD=HE=GF=7, 1.C2.100 3.5:7 CF=14,∴.CG=14-7=7, 4.1√2=2：2√2 BE/C,器船名， 5.(1)成比例，a:b=c:d ∴.BH=2,∴.BE=2+7=9. (2)成比例，a:c=d:b 微课堂作平行线转化线段的比 (3)不成比例 【变式练】B 6.C 22.2相似三角形的判定 7.(1)a:b=3:2.(2)a-b=1 第1课时相似三角形 a-3 &.B9.D10.C11.D12. 1.B248告是 13.△ABC的周长为8，△A'B'C4.15 24 45.A6.4 的周长为12. 7.答案不唯一，如△ADFp△ECF 14.(1)-1+5 8.证明略. 2 (2)右边窗户BCNM是黄金矩形. 9.A10.C11.B12.8cm13.3 证明：设AB=CD=1,,矩形14.CE=4.5cm ABCD是黄金矩形，∴.AD=AM15.(1).PM∥BC,.△APM∽ 34 △MNB.器-0，PY- AB’1 熙又∠B=∠C=9, PM-cmi ∴.△APB∽△EPC. 5.证明略. (2若△PNB△PAD,则器 6.A7.A8.C9.54 75 10.3 除，又由PM/NB得器 :11.(1)△PBA与△ABC相似，理由 盼恶搬营 t t 如下：.AB=√22+1=√5，BC =2s,此时相似比为一专 ,NB_2 =6,P=1嚣-跽-9 5 ∠PBA=∠ABC,∴.△PBA 第2课时三角形相似的判定定理1 ∽△ABC. 1.D2.B3.C (2).△PBA∽△ABC∴.∠BAC 4.∠1=∠C(答案不唯一) =∠BPA,,∠BPA=90°+45°= 5.56.157.证明略. 135°，.∠BAC=135 8.AC=2√2Icm. 12.(1)证明略； 9B10号1.9 2带-紧带肥. 12.(1)略. (2)证明略. 又.∠C=∠C,EC=5,BC=13, 13.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, ∴.△CDE∽△CAB, ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 器既品 ∴.∠BAD+∠ADB=90°， ∠ADB+∠CDG=90°， 13.(1)1:3(2)(3)略 ∴.∠BAE=∠CDG, 第4课时三角形相似的判定定理3 1.A2.B3.D4.B5.1.5 'BF⊥AC,∴.∠ABE+∠BAC =90°，.∠C+∠BAC=90°， 6.∠A=∠D或BC=2EF 7.证明略.8.D9.B10.B .∠ABE=∠C, 11.①②④12.证明略. .△ABE∽△DCG. 13.相似三角形有3对：△ABD) (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △A'B'D',△ABC∽△A'B'C', △DCG∽△ACD.易证∠BAE △CADp△CA'D'.证明略. =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 14.(1)△ABC∽△DEF,由三边对 知△ABE∽△ACD. 应成比例可知； 14.（1)证明略. (2)不唯一，△P2PD,△P4PF, (②)由1证得号-是，即CE=2 △P2PD,△PPD,△P2PP, ∴.AE=9-2=7 △PFD中，选2个即可.图略. 第3课时三角形相似的判定定理2： 第5课时直角三角形相似的判定 1.B2.D3.D 1.D2.B3.C4.D5.9 4.△APB与△PCE相似，理由如 6.(1)相似，理由略； 下：设BP=2k,BC=3k,∴.AB= BC=CD=3k,PC=k.又E是 (2)BE⊥AC,BE- 2AC,理由略。 DC的中点，C-昌起提 7.B8.A9.A 10.(1)证明略。 =2咒-路=2即0 (2)在Rt△BCE中，由BC=AD =12,CE=5,.BE= 35 VBC+CE二18，由△ABr∽6（号 △nPC,得瓷-能，即侣 (2)在矩形ABCD中由于对折， 器AF=6 ∴.∠D=∠FEM=90°，.∠1十 ∠2=90°，又.∠A=∠B=90° 11.在Rt△ABC中，AB=√WBC+AC ∴.∠1+∠3=90°，.∠2=∠3， =5,由题意知：AP=5-t,AQ=2t. 当PQ∥BC时，△AQPP△ACB, △AEF△BME,能- 器能登-5号 BM=是. AE 5 解得：=9,9<2，当PQLAB 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 是：.CD=2,BC=8,AC=4, 时，△MPQ△MCB8- 瓷0∠0∠C 能号5解得得 2525 .△ABCc∽△DAC: (2).∠CAD=∠B,∠C=∠C, <2.综上所述，当1=9或 △ABCn△DAC瓷-器. 时，以A,PQ为顶点的三角 即-￥y- x 形与△ABC相似. 12.(1)证明略 8.EB-AB-1,AB-3,AE (2)连接AC,.∠ABC=90°， =2.,四边形ABCD是正方形， ∴.AC=√AB+BC=√32+4 .∠DAE=∠FBE=90°，AD= =5,.DA=5√5，CD=10, AB=3,又∠DEA=∠FEB,∴. ∴.△ACD满足AC2+CD2= △ADEO△BFE,÷能-架， AD,.∠ACD=90°，过点D作 DE⊥BC延长线于点E,由(1) ∴BF-多∴EF=VB+B亚 得此时△CEDAR.÷器- -脚F的长为空 DE=CD=2,.CE=6,DE=8,在9.'∠A=∠A,∠ADB=∠AEC= CBAC Rt△BDE中，BD=√BE十DE 90,∴△ABDn△ACE.0 =√(4+6)2+8=2√4. 专题八相似三角形的基本模型 能：∠A=∠A,AMDE☑ 1.C2.AF=12cm. △ABC 3证明略。49 22.3相似三角形的性质 1.A2.A3.8:9 27 5.在△ABC中，∠C=90°，AC=8, cm 4.B BC=6,∴.AB=√AC+BC= 5.D6.1:4 10,又BD=BC=6,∴AD=AB.EF的长是空cmAC的长是am -BD=4,.DE⊥AB,.∠ADE 8.4:25或9：259.B10.D =∠C=90°，又∠A=∠A, 11.1:312.①②③ △AED△AC-把， 13.(1)证明：.DF∥AB,DE∥BC, ∴.∠DFC=∠ABF,∠AED= ∴DE-ABc-音×6=3 ∠ABF,.∠DFC=∠AED, 36C53 22.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形 01基础达标 加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角 知识点一相似三角形的概念及相似比 形 1.已知△ABC△DEF,若∠A=20°，∠B=130°， 则∠F的度数为 ( ) A.25° B.30° C.55° D.100° 8.如图，在△ABC中，DE∥BC,分别交AB,AC 2.如图，已知△ADE∽△ABC,且DE:BC= 2:3,若AB=6cm,则AD的长为 cm. 于点D,6试证明8品 第2题图 第4题图 3.若△ABC∽△AB'C,且AB=4,A'B=3,BC'= 2,则△ABC与△A'B'C的相似比k为 △A'B'C'与△ABC的相似比k'为 4.如图，已知△ABC∽△FEG,若它们的相似比 为3，且G=5,FG=,AB=12,则BC= ,AC= ,FE= 知识点二平行线截三角形相似 5.在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE, 交AC于点F,则AF:CF= () A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5 02能力提升 9.如图，已知△AOB∽△COD,∠A=∠C,下列 第5题图 第6题图 各式正确的个数为 6,已知AB/CD,AD与BC相交于点O.若8C @AB-CD.。 器®8品 =号AD=10,则A0= 咒品@光品 7.如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线 上一点，连接AE,与边CD交于点F,在不添 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 54 10.如图，AB∥CD∥EF,直线BE与AF相交于 03思维拓展 点G,则图中共有相似三角形 ( 15.如图，矩形ABCD中，AD=3cm,AB=acm A.1对B.2对 C.3对 D.4对 (a>3),动点M、N同时从B点出发，分别沿 B→A,B→C运动，速度是1cm/s,过M作直 线垂直于AB,分别交AN,CD于点P,Q.当 点N到达终点C时，点M也随之停止运动. 第10题图 第11题图 设运动时间为ts. 1.如图，DE∥BC,BD,CE相交于O,C=3, E0_1 (1)若a=4cm,t=1s,求PM的长； (2)若a=5cm,求时间t,使△PNB∽△PAD, AE=3,则EB= ( 并求出它们的相似比. A.4 B.6 C.5 D.3 12.一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似 的另一个三角形的最大边的长为24cm,则它 的最小边为 13.如图，矩形ABCD中，AB= √，BC=√6，点E在对角线 BD上，且BE=1.8.连接 AE并延长交DC于点F,则需 14.如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，交 AC于点D,过D作DE∥AB交BC于点E, AB=5cm,BE=3cm,求EC的长. 55 第2课时 三角形相似的判定定理1 01基础达标 p△FCG. 知识点 两个角分别相等的两个三角形相似 1.下列命题中，真命题的是 ( A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似 2.如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD, AB=3,BD=2,则CD的长为 A C.2 D.3 8.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD= ∠B,AD=6cm,DB=8cm,求AC的长， 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 点D,则图中相似三角形共有 ( A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4.如图，在△ABC中，AB>AC, 点D在AB边上，点E在AC 边上且AD<AE.只需添加一 个条件即可证明△ABC∽△AED,这个条件 02能力提升 可以是 (写出一个 9.如图，在□ABCD中，E是CB的延长线上一 即可) 点，连接DE,交AC于点G,交AB于点F,则 5.如图，AC⊥CD,垂足为点C,BD⊥CD,垂足为 图中相似三角形（不包括全等三角形）共有 点D,AB与CD交于点O.若AC=1,BD=2, ( CD=4,则AB=一 A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，DC⊥AB 第9题图 第10题图 于C,AC=16cm,BC=9cm,则BD= cm. 10.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且 7.如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在 ∠BCD=∠A,已知BC=2√2，AB=3,则 AB,BC,CD上，且∠EFG=90°.求证：△EBF BD- 56) 11.(2025·北京)如图，在矩形ABCD 03思维拓展 中，E是边AB的中点，连接DE 14.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD 交对角线AC于点F,若AB= 3,∠ADE=60° 4,AD=3,则CF的长为 (1)求证：AB·CE=BD·CD; 12.如图，∠MAN=60°，点B、C分别在AM、AN (2)求AE的长 上，且∠ABC=20°. (1)尺规作图：作∠CBM的角平分线BD,BD 与AN相交点D(保留作图痕迹，不写作法). (2)在(1)所作的图中，求证：△ABCP△ADB. 13.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，BF⊥AC于 F,AD是∠BAC的平分线，DG⊥AD交AC 于G,AD与BF交于点E. (1)求证：△ABEp△DCG; (2)请找出图中除△ABEp△DCG外的另 组相似三角形，并证明. 57 第3课时 三角形相似的判定定理2 01基础达标 5.如图，在△ABC中，已知AB=AC,D、E、B、C 知识点 两边对应成比例且夹角相等，两个三角 在同一条直线上，且AB2=BD·CE,求证： 形相似 △ABDO△ECA. 1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于 O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角 形，若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定 正确的是 ( A.①与②相似 B.①与③相似 C.①与④相似 D.②与④相似 y D 入② ④ ③ 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC 上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的 是 易错点误认为两边对应成比例，且有一角对应 A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C 相等的两个三角形相似 c怨能 恕怨 6.下列能够判定△ABC∽△DEF的是() 3.如图，在□ABCD中，AB A0骺，∠A=∠D =10,AD=6,E是AD的 A B 中点，在AB上取一点F,使△CBFC∽△CDE, aS,∠C=∠F 则BF的长是 ( A.8.2 B.6.4 C.5 D.1.8 C器-品∠B=∠E 4.如图，四边形ABCD为正方形，E是CD中点， D.AB-EF P在BC上，是-号，那么请判断△APB与 DE BC ∠B=∠E 02能力提升 △PCE是否相似，并写出你的理由. 7.在等腰△ABC和等腰△DEF中，∠A与∠D 是顶角，下列说法一定正确的是 () A.∠A=∠D时，两三角形相似 B.∠A=∠E时，两三角形相似 C.∠F=∠A时，两三角形相似 D.无论怎样，两三角形都相似 58 8.如图所示，给出下列条件： 12.如图，AD、BE是△ABC的两条高. ①∠B=∠ACD,②∠ADC=∠ACB:③AS (1)求证：CE·CA=CD·CB: CD 瓷，④AC=AD·AD,其中能够单独判定 (2若EC=5,BC=13,求器的值， △ABC∽△ACD的个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 45 361 30 D R 第8题图 第9题图 9.如图所示，AB、CD交于点O,且OC=45,OD =30,OB=36,当OA= 时，△AOCp △BOD;当OA= 时，△AOC∽△DOB. 10.在△ABC中，P是AB上的动点 (P异于A,B),过点P的一条直 线截△ABC,使截得的三角形与 △ABC相似，我们不妨称这种直 B 线为过点P的△ABC的相似线.如图，∠A =36°，AB=AC,当点P在AC的垂直平分线 03 思维拓展 上时，过点P的△ABC的相似线最多有 13.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 条 网格，图中的点A、B、C、D均在格点上. 11.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方 (1在图1中，职 ;(填数字之比) 形网格格点上 (1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明 (2)如图2，在线段AB上找-点P,使部 理由； 多：（利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕 (2)求∠BAC的度数. 迹，不写作法) (3)如图3，在4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A,B,C都在小正方形的格点上，请在 图中画出与△ABC相似且面积不相等的一 个三角形 图 图2 图3 第4课时 三角形相似的判定定理3 01基础达标 6.在△ABC中，AB=6,AC=8,在△DEF中， DE=3,DF=4,要使△ABC与△DEF相似， 知识点 三边对应成比例，两个三角形相似 需添加一个条件是 1.甲三角形的三边分别为1W2,W5,乙三角形的三 (只要求写出一个条件即可)： 边分别为5W5,√10，则甲、乙两个三角形( ): 7.如图，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上， A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断是否相似 AD=2BD.AE=2CE,8-号，求证：△AC 2.在△ABC和△A'B'C'中，AB=9cm, 与△ADE相似. BC=8 cm,CA=5 cm,A'B'=4.5 cm, B'C'=2.5cm,CA'=4cm,则有 ( A.∠A=∠A B.∠A=∠B C.∠A=∠C D.∠C=∠B 3.满足下列条件，能判定△ABC和△A'B'C'相 似的一组是 () A.∠A=45°，AB=12cm,AC=15cm, ∠A'=45°，A'B'=16cm,A'C'=25cm B.AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm, 易错点灵活选择相似三角形的判定方法 8.如图，在△ABC中，∠A=75°， A'B'=20cm,B'C'=25cm,A'C'=32cm AB=6,AC=8,将△ABC沿图 C.AB=2cm,BC=15cm,∠A=36°，A'B'= 中的虚线剪开，剪下的阴影三 B 4cm,B'C'=30cm,∠A'=36 角形与原三角形不相似的是 D.∠A=68°，∠B=40°，∠A'=68°，∠C=72 4.在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均 相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下 列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置 的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在 位置的格点构成的三角形相似 兵 相 02能力提升 9.如图，每个小正方形的边长均为 ④炮 1,则下列图形中的三角形（阴影部 A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 分)与△A1B1C1相似的是 5.在△ABC中，AB:BC:CA=2:3:4,在△A'B1 C中，AB′=1，CA'=2,当BC= 时，△ABC∽△A'B'C'. 60 10.如图，点A,B,C,D的坐标分别是(1,7)， (1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三 角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是 ( A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2) D B 01234567x 第10题图 第11题图 11.如图，已知正方形ABCD,E是CD的中点，P 是BC上一点，下列条件：①∠APB=∠EPC; ②∠APE=90°；③BP=CP;④BP=2CP.其中 03思维拓展 能推出△ABP与△ECP相似的是 (填序号). 14.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1， 2如图，8-能-怨求证：△ABD∽ △ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上 (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明 △ACE. 理由； (2)P1,P2,P3,P4,P,D,F是△DEF边上的 7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为 三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相 似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图 中连接相应线段，不必说明理由). D 13.如图，AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C的 角平分线，且常-品-品.图中有哪 几对相似三角形？把它们表示出来，并证明. 6 第5课时 直角三角形相似的判定 01基础达标 (2)线段BE与线段AC有何关系？说明理由. 知识点 两个直角三角形相似的条件 1.在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1=90°， 添加下列条件不能判定两个三角形相似的是 ( A.∠B=∠B B常8 AC 02能力提升 AB BC AB AC C.AiB BC 7.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是 D.BiC AIC ( 2.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8, Rt△DEF中，∠F=90°，DE=5,DF=3,则这 两个三角形的关系 A.不相似 B.相似 C.全等 D.不确定 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 点D,则图中相似三角形共有 ( A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，F是BA延 长线上一点，FD⊥BC于D,交AC于点E,则 图中相似三角形共有几对 () D A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 第3题图 第4题图 4.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC= 4BF,那么图中与△ADE相似的三角形有( A.△CDF B.△BEF C.△EDF D.△BEF,△EDF 第8题图 第9题图 5.如图，∠ACB=∠ADC=90°， 9.将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线 BC=a,AC=b,AB=c,需使 剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿 △ABCp△CAD,则CD= 一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直 角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形 6.如图，已知矩形ABCD,AB=3,BC=6,E是 纸片ABCD,其中∠A=90°，AB=15,BC= AD上一点，DE=3AE 13,CD=9,AD=5,则剪掉的两个直角三角形 (1)△ABE与△DAC相 的斜边长不可能是 () 似吗？为什么？ A B.15 c D.25 62 10.如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一 03思维拓展 点，AF⊥BE于点F. 12.(1)如图1，已知AB⊥L,DE⊥L,垂足分别为 (1)求证：△ABFp△BEC; B、E,且C是l上一点，∠ACD=90°，求证： (2)若AD=12,CE=5,AB=6.5,求AF的长 △ABCP△CED. (2)如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC= 90°，AB=3,BC=4,CD=10,DA=5√5，求 BD的长 图1 图2 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm, BC=3cm,点P由B点出发沿BA方向向点 A匀速运动，速度为lcm/s,点Q由A点出发 沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s, 连接PQ,若设运动的时间为ts(0<t<2).当 t为何值时，以A,P,Q为顶点的三角形与 △ABC相似？