专题七 反比例函数与几何问题的结合&综合与实践 函数建模与实际应用-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

点E,P的横坐标均为t,点 2+3+2-1-2)×1=号，解得： E,P分别在直线和抛物线上， DE=+4,DP=-名+ 5 t= (Ⅱ)当t>3时，过点D作DH⊥ PE-DP-DE-- CE于H,则BD=t-(一t+4t) +4,Sam=合X(-2E+ =t-3t,CE=t-t-2, 4t)×8=-2(t-4)2+32,∴.当t A.SEm-合(BD+CE)· =4时，SAC最大，最大值为32. DH,即2(-3z+t-t一2)×1= 3.1)-号-号2 (2)①当点D在x轴上方时，直 号解得6=受+1会去)6= 2 线1的解折式为y=号十号： 4+1(舍去).综上所述，t的值为 2 ②当点D在x轴下方时，直线1 的解折式为y号一号：综上， 21.5反比例函数 第1课时反比例函数的概念 直线1的解析式为y=一 3x+ 1.D2.D3.②⑤4.B 号或y=号x号 5.t394 6.5-6 7.C【变式2 4.(1)a=-1,b=4. 8.(1)3(2)1(3)49.B10.C (2)由(1)得：y=-x2+4x,易求 点B(t,-+4t),C(t+1,-+ 11.B12.B13.y= 2t十3)，OA的解析式为y=x, 14.(1)设反比例函数的关系式为y ∴.D(t,t),E(t+1,t+1). =飞，把x=-1,y=2代入得k x ①设BD与x轴交于点M,过点 A作AN⊥CE,则M(t,0),N(t+ =-2,y=-2 1,3,∴Ssam十SaE=2BD· (2)-3214-4-2 OM+2AN·CE=2(-E+4u 15.D由S名y10cd,得)- (2)自变量x的取值范围是x>0. -0+(-6+2+3-1-10 (3)当x=10cm时，y=2cm;当 ·(3-41)=号(-+3)+ y=5cm时，x=4cm. 2 16.(1)y=x-1-z+1（x≠-1). 号-3r+0=+ge+ 2t-8+2=2 (2当x=-2县 第2课时反比例函数的图象 ②(I)当2<t<3时，过点D作 和性质 DH⊥CE于H,则H(t+1,t),1.B2.D3.C4.m>5 BD=-t+4t-t=-t+3t,CE5.D【变式】A6.k<27.D =t+1-(-t2+2t+3)=2-t- 8.y>4或y09.D10.C 2,DH=t十1-t=1,∴.S四边形B11.B12.k1<k<k2 =2(BD+CE)·DH,即号（-1R.Iy=-2,补图略。 31 (2)当y=5时，-6=5，解得：x 9.②③ x 10.由题意得：E、M、D位于反比例 号∴当5，且≠0时， 函数图象上，则Sm=, 2 <-8或>0. So=会，过点M作MG1y 14.D 轴于点G,作MN⊥x轴于点N, 15.(1)m<2 (2)y=6 x 则SCONMG=|k|,又，'M为矩形 (3)(3,2)或(-2，-3)或(-3， ABCO对角线的交点，.S矩形AB0 -2)4 =4 StONMC=4||,由于函数图 第3课时反比例函数性质的 象在第一象限，>0，则会+令 综合运用 +9=4k,解得：k=3. 1.C2.33.24.C 11.(1)过点D作x轴的垂线，垂足 5.-1<x<0或x>16.-8 为F,点D的坐标为(8,6)， 7.(1)36 ∴.OF=8,DF=6,.OD=10, (2)△ABC的面积为6. .AD=10,∴.点A坐标为(8,16)， 8.-39.C10.B11.D12.-2 .k=xy=8×16=128,∴.反比例 13.(1)y=- 4 x 函数表达式为y=128 (2)b的值为1或9. (2).点A坐标为(8,16)， 微课堂求反比例函数中的k值 .OA的表达式为y=2x, 【变式练】3 设E点坐标为(m,0),则M点 专题六反比例函数与代数问 坐标(m,2m),F点坐标(8,0)， 题的结合 ,M点正好是线段EP中点， 1.二、四2.无实数根 3.1(答案不唯一) P(m,4m）,128 4m, 4.x≤-9或x>05.B6.C 解得m=4W2或m=-4v2, 7.38. 3 9.010.16 .E(42,0). 综合与实践 函数建模与实际应用 11.(1)k=3.(2)AB=4√2. (1),抛物线y=ax2十bx的顶点坐 12.(1)415 标为(2，一1)， (2)△P0Q的面积为号， b2, 2 13.-6<x<0或x>214.4 解得 a=4' -6 15.2≤m≤4 三一1 (b=-1. 16.(1)28 (2)当x=3时，y=mx十n=2x “抛物线的解析式为y=4丈一z +n=6+n,y= 至-号由题意， 当y=0时，子2-x=0,解得 得6十心号解得心9 0,x2=4,∴.C点坐标为(4,0)； (2)直线y=x十1与坐标轴交于 专题七反比例函数与几何 A,B两点，.令x=0,得y=1,令y 问题的结合 =0,则x+1=0,x=一1，∴.A(-1, 1.C2.63.84.(1)W3(2)4 0),B(0,1),∴.OA=OB=1,∴.△ABO 5.C6.87.B8.S1=4S4 是等腰直角三角形，∴.∠BAO=45°. 32 ,直线y=x十1是心形叶片的对称 -200)2+7200=7000(元). 轴，且点C,C是叶片上的一对对称 :10.3 点，∴.∠CGA=90°，CC=2CG, ∴.∠GCA=45°，∴△AGC是等腰直 1.1y=,2m=1. 12.(1)0.81.4 角三角形，∴0G-受AC (2)0.7≤0≤2.8 C点坐标为(4,0)，.AC=4-13.B14.A15.A (-1)=5,∴cG=52 16.(1)a=b-2; 2 ,:.CC= (2)①b>4; 2CG=5√2； ②证明：，y=ax2+bx十c, (3),右侧幼苗上方轮廓线与下方 六抛物线的对称轴x=一名 轮廓线形状相同，开口相反，设右侧 b 1 幼苗上方轮廓线的表达式为丛= x2+bx+c(0<x≤4)，代入(0， 4-2 c=0, >4,0<告<1-1< 0)、(4,4)得 解 4=-子×16+46， 1 一<一2 4一2 b 得6二2y=-+2x(0< 1 c=0, a=b-2>0, ∴抛物线开口向上，在对称轴的 ≤4).设M点坐标为(m,-子m+ 右侧y随x的增大而增大， 2m)0<m≤)，则N(m,e), 'n>m≥- 2Q点在P点 MN=-子m+2m-子m= 的右侧，2>y1: 17.(1)1 -m+2m=-号(m-2+2, (2)设BC交y轴于E,设菱形 的边长为2t,则AB=BC=CD :-合<0,0<m≤4，当m=2 =AD=2t,BE=CE=t, 时，MN的最大值为2. .B(-t,2),.OE=,AE= 章末核心考点与素养提升 √AB-BE=√5t,∴.OA=OE 1.(1)1或-5(2)1(3)-5 +AE-=t+√3t,∴.D(2t,t+3t), 2.B3.D4.D 把D2t,+√3t)代入y=x2得： 5.y=-2(x-2)2+46.C7.D 8.B +31=,解得1号或=0（会 9.(1)y=-0.5x+160120≤x≤180 (2)设销售利润为0元， 去凌形的边长为29 则=(x一80)（一0.5x+160)= (3)n一m为定值，理由如下：过 7r+20x-12800=-号(z B作BF⊥y轴于F,过D作DE ⊥y轴于E,易证△ABF≌ 1 -20)2+720,:a=-2<0, △DAE(AAS),.BF=AE= .当x<200时，y随x的增大而 m,AF=DE=n,易知点B(m, 增大，.当x=180时，销售利润 m2),D(n,n2),则OF=m2, 最大，最大利润是：w=一壹180 ∴.OF+AF+AE=m2+n+m= n2,∴.m+n=(n-m)(n+m),由 3341 专题七反比例函数与几何问题的结合 题型1反比例函数与三角形的面积 题型2反比例函数与四边形面积 1,.如图，点A在曲线为=2（心 5.如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y= 0)上，点B在双曲线y2= 4(x>0)的图象上，AB⊥x轴于点B,AB的 (x<0)上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连 垂直平分线与y轴交于点C,与函数y=4(x 接AC、BC,若△ABC的面积是6，则k的值 >0)的图象交于点D,连接AC,CB,BD,AD, 则四边形ACBD的面积等于 () A.-6 B.-8C.-10 D.-12 A.2 B.2√3 C.4 D.4√5 2已知反比例函数)y一在第一象限的图象如图所 示，点A在其图象上，点B为x轴的正半轴上一 点，连接AO,AB,且AO=AB,则S△os= 第5题图 y=2x>0) 第6题图 y=(x>0) 6.如图，点A,C分别是正比例函数y=x的图象 第2题图 第3题图 与反比例函数y=4的图象的交点，过A点作 3.如图，点A是反比例函数y=12(x>0)的图象 AD⊥x轴于点D,过C点作CB⊥x轴于点B, 则四边形ABCD的面积为 上一点，过点A作AC⊥x轴于点C,AC交反 7.如图，在平面直角坐标系中，把反比例函数y 比例函数y-(x>0)的图象于点B,点P是 =2(>0)的图象向上平移一个单位长度，得 y轴正半轴上一点，若△PAB的面积为2，则 的值为 到y=是+1(>0)的图象若矩形ADCD的 4.（2025·安徽)如图，0是 边BC在x轴的正半轴上，且在第一象限与两 坐标原点，Rt△OAB的 个函数图象相交，其中B(1,0),C(3,0),AB> 直角顶点A在x轴的正 3,则图中阴影部分的面积为 () 0 半轴上，AB=2,∠AOB A.1 B.2 c D.3 =30°，反比例函数y=(k>0)的图象经过斜 边OB的中点C. D (1)k= (2)D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥ O1234x AA2A3 4 AC,则OB-BD2的值为 第7题图 第8题图 42 8.如图，过反比例函数y=(>0,x>0)图象 11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的 顶点O与坐标原点重合，点B在y轴的正半 上的点P1,P2,P3,P4分别作x轴的垂线，垂 足分别为A1,A2,A3,A4,再过P1,P2,P3,P4 轴上，点A在反比例函数)一(>0)的图 分别作y轴，P1A1,P2A2,P3A3的垂线，构造 象上，点D的坐标为(8,6). 了四个相邻的矩形.若这四个矩形的面积从左 (1)求反比例函数的表达式. 到右依次为S1,S2,S3,S4,OA1=A1A2=A2A3= (2)E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴 AA,则S与S4的数量关系为 的垂线交线段OA于点M,交双曲线于点P, 9.如图，点A在双曲线y= 在点E运动过程中，M点正好是线段EP中 点时，求点E的坐标. (>0,x>0)上，点B在直 线l:y=mx-2b(m>0,b> 0)上，点A与点B关于x 轴对称，直线1与y轴交于点C,当四边形 E AOCB是菱形时，有以下结论：①A(bW3b); ②当6=2时，为-45；③m=5;④Sn据c =2b,则所有正确结论的序号是 10.如图，反比例函数y一（x>0)的图象经过 矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、 BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为 9,求k的值 43 综合与实践函数建模与实际应用 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况.在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽 的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成： 图1 图2 图3 图4 【探究一】确定心形叶片的形状 (1)如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数y=ax2十bx 图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为(2，一1)且与x轴的另一交点为C.求C点坐 标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 (2)如图3，在(1)的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y=x+1与坐标轴交于A,B两点，点C,C 是叶片上的一对对称点，线段CC,交直线AB于点G.证明△AGC是等腰直角三角形并求出线段 CC1的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 (3)小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数y 图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖 P的坐标为(4,4).在右侧上方轮廓线上任取一点M,过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N,求 MN的最大值