21.5 反比例函数&微课堂 坐标法求反比例函数中的k值-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

点E,P的横坐标均为t,点 2+3+2-1-2)×1=号，解得： E,P分别在直线和抛物线上， DE=+4,DP=-名+ 5 t= (Ⅱ)当t>3时，过点D作DH⊥ PE-DP-DE-- CE于H,则BD=t-(一t+4t) +4,Sam=合X(-2E+ =t-3t,CE=t-t-2, 4t)×8=-2(t-4)2+32,∴.当t A.SEm-合(BD+CE)· =4时，SAC最大，最大值为32. DH,即2(-3z+t-t一2)×1= 3.1)-号-号2 (2)①当点D在x轴上方时，直 号解得6=受+1会去)6= 2 线1的解折式为y=号十号： 4+1(舍去).综上所述，t的值为 2 ②当点D在x轴下方时，直线1 的解折式为y号一号：综上， 21.5反比例函数 第1课时反比例函数的概念 直线1的解析式为y=一 3x+ 1.D2.D3.②⑤4.B 号或y=号x号 5.t394 6.5-6 7.C【变式2 4.(1)a=-1,b=4. 8.(1)3(2)1(3)49.B10.C (2)由(1)得：y=-x2+4x,易求 点B(t,-+4t),C(t+1,-+ 11.B12.B13.y= 2t十3)，OA的解析式为y=x, 14.(1)设反比例函数的关系式为y ∴.D(t,t),E(t+1,t+1). =飞，把x=-1,y=2代入得k x ①设BD与x轴交于点M,过点 A作AN⊥CE,则M(t,0),N(t+ =-2,y=-2 1,3,∴Ssam十SaE=2BD· (2)-3214-4-2 OM+2AN·CE=2(-E+4u 15.D由S名y10cd,得)- (2)自变量x的取值范围是x>0. -0+(-6+2+3-1-10 (3)当x=10cm时，y=2cm;当 ·(3-41)=号(-+3)+ y=5cm时，x=4cm. 2 16.(1)y=x-1-z+1（x≠-1). 号-3r+0=+ge+ 2t-8+2=2 (2当x=-2县 第2课时反比例函数的图象 ②(I)当2<t<3时，过点D作 和性质 DH⊥CE于H,则H(t+1,t),1.B2.D3.C4.m>5 BD=-t+4t-t=-t+3t,CE5.D【变式】A6.k<27.D =t+1-(-t2+2t+3)=2-t- 8.y>4或y09.D10.C 2,DH=t十1-t=1,∴.S四边形B11.B12.k1<k<k2 =2(BD+CE)·DH,即号（-1R.Iy=-2,补图略。 31 (2)当y=5时，-6=5，解得：x 9.②③ x 10.由题意得：E、M、D位于反比例 号∴当5，且≠0时， 函数图象上，则Sm=, 2 <-8或>0. So=会，过点M作MG1y 14.D 轴于点G,作MN⊥x轴于点N, 15.(1)m<2 (2)y=6 x 则SCONMG=|k|,又，'M为矩形 (3)(3,2)或(-2，-3)或(-3， ABCO对角线的交点，.S矩形AB0 -2)4 =4 StONMC=4||,由于函数图 第3课时反比例函数性质的 象在第一象限，>0，则会+令 综合运用 +9=4k,解得：k=3. 1.C2.33.24.C 11.(1)过点D作x轴的垂线，垂足 5.-1<x<0或x>16.-8 为F,点D的坐标为(8,6)， 7.(1)36 ∴.OF=8,DF=6,.OD=10, (2)△ABC的面积为6. .AD=10,∴.点A坐标为(8,16)， 8.-39.C10.B11.D12.-2 .k=xy=8×16=128,∴.反比例 13.(1)y=- 4 x 函数表达式为y=128 (2)b的值为1或9. (2).点A坐标为(8,16)， 微课堂求反比例函数中的k值 .OA的表达式为y=2x, 【变式练】3 设E点坐标为(m,0),则M点 专题六反比例函数与代数问 坐标(m,2m),F点坐标(8,0)， 题的结合 ,M点正好是线段EP中点， 1.二、四2.无实数根 3.1(答案不唯一) P(m,4m）,128 4m, 4.x≤-9或x>05.B6.C 解得m=4W2或m=-4v2, 7.38. 3 9.010.16 .E(42,0). 综合与实践 函数建模与实际应用 11.(1)k=3.(2)AB=4√2. (1),抛物线y=ax2十bx的顶点坐 12.(1)415 标为(2，一1)， (2)△P0Q的面积为号， b2, 2 13.-6<x<0或x>214.4 解得 a=4' -6 15.2≤m≤4 三一1 (b=-1. 16.(1)28 (2)当x=3时，y=mx十n=2x “抛物线的解析式为y=4丈一z +n=6+n,y= 至-号由题意， 当y=0时，子2-x=0,解得 得6十心号解得心9 0,x2=4,∴.C点坐标为(4,0)； (2)直线y=x十1与坐标轴交于 专题七反比例函数与几何 A,B两点，.令x=0,得y=1,令y 问题的结合 =0,则x+1=0,x=一1，∴.A(-1, 1.C2.63.84.(1)W3(2)4 0),B(0,1),∴.OA=OB=1,∴.△ABO 5.C6.87.B8.S1=4S4 是等腰直角三角形，∴.∠BAO=45°. 32 ,直线y=x十1是心形叶片的对称 -200)2+7200=7000(元). 轴，且点C,C是叶片上的一对对称 :10.3 点，∴.∠CGA=90°，CC=2CG, ∴.∠GCA=45°，∴△AGC是等腰直 1.1y=,2m=1. 12.(1)0.81.4 角三角形，∴0G-受AC (2)0.7≤0≤2.8 C点坐标为(4,0)，.AC=4-13.B14.A15.A (-1)=5,∴cG=52 16.(1)a=b-2; 2 ,:.CC= (2)①b>4; 2CG=5√2； ②证明：，y=ax2+bx十c, (3),右侧幼苗上方轮廓线与下方 六抛物线的对称轴x=一名 轮廓线形状相同，开口相反，设右侧 b 1 幼苗上方轮廓线的表达式为丛= x2+bx+c(0<x≤4)，代入(0， 4-2 c=0, >4,0<告<1-1< 0)、(4,4)得 解 4=-子×16+46， 1 一<一2 4一2 b 得6二2y=-+2x(0< 1 c=0, a=b-2>0, ∴抛物线开口向上，在对称轴的 ≤4).设M点坐标为(m,-子m+ 右侧y随x的增大而增大， 2m)0<m≤)，则N(m,e), 'n>m≥- 2Q点在P点 MN=-子m+2m-子m= 的右侧，2>y1: 17.(1)1 -m+2m=-号(m-2+2, (2)设BC交y轴于E,设菱形 的边长为2t,则AB=BC=CD :-合<0,0<m≤4，当m=2 =AD=2t,BE=CE=t, 时，MN的最大值为2. .B(-t,2),.OE=,AE= 章末核心考点与素养提升 √AB-BE=√5t,∴.OA=OE 1.(1)1或-5(2)1(3)-5 +AE-=t+√3t,∴.D(2t,t+3t), 2.B3.D4.D 把D2t,+√3t)代入y=x2得： 5.y=-2(x-2)2+46.C7.D 8.B +31=,解得1号或=0（会 9.(1)y=-0.5x+160120≤x≤180 (2)设销售利润为0元， 去凌形的边长为29 则=(x一80)（一0.5x+160)= (3)n一m为定值，理由如下：过 7r+20x-12800=-号(z B作BF⊥y轴于F,过D作DE ⊥y轴于E,易证△ABF≌ 1 -20)2+720,:a=-2<0, △DAE(AAS),.BF=AE= .当x<200时，y随x的增大而 m,AF=DE=n,易知点B(m, 增大，.当x=180时，销售利润 m2),D(n,n2),则OF=m2, 最大，最大利润是：w=一壹180 ∴.OF+AF+AE=m2+n+m= n2,∴.m+n=(n-m)(n+m),由 3333 21.5反比例函数 第1课时 反比例函数的概念 01基础达标 6.把一个长、宽、高分别为3cm,2cm,1cm的长方 体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块 知识点一反比例函数的定义 的底面积S(cm)与高h(cm)之间的函数关系 1.反比例函数y=一 的比例系数为 式为 (h>0) 知识点三确定反比例函数的解析式 A.-3 B.、2 3 7.已知y与x成反比例函数，且x=2时，y=3, c-2 则该函数表达式是 () A.y=6x 2.函数y=(m一1)xm-2是反比例函数，则m的 B.y- 值是 C.y-5 D.y A.m=士1 B.m=1 【变式】(2025·云南)若点A(1,2)在反比例函 C.m=±√3 D.m=-1 数y=的图象上，则k= 3下列函数：①y=2x-1:②y=-是，③y-+ 8.已知y=-3x-2, 8x-2;④y=名：⑤y=22:⑥=2中，y是x 2 (1)当n= 时，y是x的正比例函数， (2)当n= 时，y是x的反比例函数. 的反比例函数的有 .(填序号) (3)当n= 时，y是x的二次函数. 知识点二反比例函数模型 易错点对反比例函数的定义理解不透 4.某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x 9.下列函数中，不是反比例函数的有 吨，这批原材料能用y天，则y与x之间的函 数解析式为 ①y=-2;②y=2③xy=-1,④y=3x1: A.y=100x By=100 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C.y-2x+100 D.y=100-x 02能力提升 5.2024年4月25日，我国发射的神舟十八号载 人飞船成功进入离地面394km的预定轨道， 10.已知反比例函数的解析式为y=a-2,则a 发射飞行时间t(s)与它的平均速度v(km/s) 的取值范围是 () 的函数关系式是为 .(不要求写出自 A.a≠2 B.a≠-2 变量的取值范围) C.a≠士2 D.a=士2 34 1山.若点A(a,b)在反比例函数y=2的图象上， 15.已知一个三角形的面积S=10cm2,它的一边 长为xcm,这边上的高为ycm 则代数式ab一4的值为 ( (1)试写出y与x之间的函数解析式. A.0 B.-2 C.2 D.-6 (2)写出自变量x的取值范围 12.(2025·北京)下面的三个问题中都有两个变 (3)分别求出x=10cm时，y的值和y=5cm 量：①面积一定的等腰三角形，底边上的高y 时，x的值. 与底边长x;②将泳池中的水匀速放出，直至 放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x; ③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺 设长度y与铺设天数x.其中变量y与变量x 满足反比例函数关系的是 () A.①②B.①③ C.②③ D.①②③ 13.如图，矩形ABCD中，AB= 3,BC=4,动点P从B点出 发，在BC上移动至点C停 止.记PA=x,点D到直线PA的距离为y, 则y关于x的函数解析式是 03思维拓展 14.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的 16.已知y=y十2，y与x-1成正比例关系， 一些值： y2与x十1成反比例关系，当x=0时，y= 2 3 -3,当x=1时，y=-1. 2 2 2 (1)求y与x的函数关系式和x的取值范围. 3 3 (1)写出这个反比例函数的关系式 (2)当x=- 时，求y的值 (2)根据函数关系式完成上表. 35 第2课时 反比例函数的图象和性质 01 基础达标 A.y<y2 B.y=y2 C.y>y2 D.y1=一y2 知识点一反比例函数的图象 1.反比例函数y=-二2的大致图象是 6已知反比例函数)y一一产的图象的每一支曲 线上，函数值y随着自变量x的增大而增大， 个 则k的取值范围是 易错点一忽视在“每个象限内”这个前提条件 7.已知点(a,m),(b,n)在反比例函数y=-2的 2.反比例函数)广是，下列说法不正确的是( 图象上，且a>b,则 A.图象经过点(1，一3) A.mn B.图象位于第二、四象限 B.m<n C.图象关于直线y=x对称 C.m=n D.y随x的增大而增大 D.m、n的大小无法确定 易错点二求函数值的取值范围时，考虑不全面 3当>0时，反比例函数y一是和-次函数y 8.已知反比例函数y=一是，则当x>-1时，y kx十2的图象大致是 的取值范围为 :是：， 02 能力提升 9.反比例函数y=”的图象如图所示，则下列结 4.如图，它是反比例函数y 论正确的是 m-5图象的一支，根据图 A.常数m>1 象可知常数m的取值范围 B.y随x的增大而增大 是 C.若A(-1,h),B(2,k)在图 知识点二反比例函数的性质 象上，则h< 5.若反比例函数)y=是的图象上有两点P:(1, D.若P(一x,y)在图象上，则P(x,一y)也在 图象上 y1)和P2(2,y2),那么 ( 10.(2025·绍兴)若点（一1，y1)、(2,y2)、(3,y3) A.y2<y<0 B.y<y2<0 C.y2>y1>0 D.y1>y2>0 在反比例函数y=一的图象上，则的 【变式】(2025·徐州)若A(,M)、B(x2,)都在 的大小关系是 () A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 函数)202的图象上，且<0<，则( C.y>ys>y2 D.y2>y3>y1 36 1.如图，把函数y=2（x>0)和函数的y= 03思维拓展 (x>0)图象画在同一平面直角坐标系中，则 (q>0) 坐标系的横轴可能是 ( 14.定义新运算：①q q ,例如：3④5= A.l B.l2 C.la D.l 卫(q<0) 号，30(-5)=是，则y=2田x(x≠0)的图 象是 0 第11题图 第12题图 y=色 12.如图所示是三个反比例函数y=色 y一经的图象，由此观察6k:的大小关系 15.已知反比例函数y=1-2m(m为常数)的图 2 是 .(用“<”连接) 象在第一、三象限 13.已知反比例函数y=冬（≠0）的图象的一支 (1)求m的取值范围. (2)如图，若该反比例函数的图象经过 如图所示，它经过点(3，一2). □ABOD的顶点D,点A、B的坐标分别为 (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函 (0,3),(一2,0)，求出函数解析式 数图象的另一支. (3)设点P是(2)中反比例函数图象上的一 (2)求当y≤≤5，且y≠0时自变量x的取值范围. 点，若OD=OP,则P点的坐标为 6 ;若以D,O,P为顶 点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P的个数为 个. 6543210123456x 37 第3课时 反比例函数性质的综合运用 01 基础达标 点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标是( A.(-1,2) B.(1,-2) 知识点一反比例函数中的几何意义 C.(-1,-2) D.(2,1) 1.如图，点P1,P2,P3分别是双曲线同一支图象 5.如图是同一直角坐标系中函数y=2x和y2= 上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，垂足 分别是A1,A2,A3,得到的三个三角形是 的图象.观察图象可得不等式2x>2的解集 2 △P1A1O,△P2A2O,△P3A3O.设它们的面积 为 分别为S、S2、S3,则它们的大小关系是( A.S1>S2>S3 B.Ss>S>S 6.正比例函数y=kx与反比例函数y=2的图象 C.S1=S2=S3 D.S2>S>S 相交于A、B两点，若A点的坐标为(W3,一2√3)， 则k1十k2= 7.(2025·济宁)如图，在平面直角坐标系中，一 次函数y=号x一2的图象与y轴相交于点A, 0 第1题图 第2题图 与反比例函数y=飞在第一象限内的图象相交 2.如图所示，矩形ABCD顶点A,D在y轴上， 顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称 于点B(m,2),过点B作BC⊥y轴于点C. 轴，且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数 (1)直接写出m= ,k= y=么的图象经过点C,则飞的值为 (2)求△ABC的面积. 3.如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y 一上，且AB/x轴，点C,D在x轴上，若四 边形ABCD为矩形，则它的面积为 第3题图 第5题图 易错点忽视当双曲线在第二、四象限时<0 知识点二反比例函数与一次函数的综合 8.如图，正方形ABCO的边长为 4.已知反比例函数y=飞(k≠0)的图象与正比例 √3，反比例函数的图象经过点B, 函数y=ax(a≠0)的图象相交于A,B两点，若 则k= 38 02能力提升 C.k=1 D.当x>1时，y2>y 9.下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是 12,设函数y=与y=一2红-6的图象的交点 41,3) M(1,3) 坐标为a,,则+号的值是 a 13.如图，一次函数y=x十5的图象与反比例函 数y一（为常数，且及≠0）的图象相交于 10.如图，点B在反比例函数y=(x>0)的图 A(-1,m),B两点 象上，点C在反比例函数y=-2(x>0)的 (1)求反比例函数的表达式， x (2)将一次函数y=x十5的图象沿y轴向下 图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC,垂足为点C, 平移b个单位(b>0),使平移后的图象与反 交y轴于点A.则△ABC的面积为( 比例函数y=的图象有且只有一个交点，求 A.3 B.4 C.5 D.6 b的值. 第10题图 第11题图 1.已知：如图，直线=x十1与双曲线=2 在第一象限交于点P(1,t),与x轴、y轴分别 交于A,B两点，则下列结论错误的是( A.t=2 B.△AOB是等腰直角三角形 微课堂坐标法求反比例函数中的及值+++++++++++ 【示例】如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O,底边BC∥x轴，双曲线y=飞过A,B两点， 过点C作CD∥y轴交双曲线于点D,若SAcD=16,则的值是 【方法】过点A作AE∥y轴，交BC于点E,设点Aa,),则点B(-a,一) BE=2a,:△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，∴.BC=4a,∴点D 的生标为3a:)CD-女+-数由S%D-号×5CCD=16,解得 6. 【变式练】 如图，点A,B在反比例函数y=的图象上，ACLy轴，垂足为D,BC⊥AC.若 四边形ABC的面积为6，是立，则及的值为