专题五 二次函数与几何图形的综合-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

专题二二次函数在自变量取值 可知：当y<0时，自变量x的取 范围内的增减性与最值 值范围为一1<x<3. 1.(1)减小02一15 14.(1)a=-2. (2)增大2235 (2)y=-2x2+16x+8. (3)1135 15.(1)-22 2.103.0m≤34.D5.B6.D (2)由(1)得，直线和抛物线的表 7.-2≤m≤-2 1 达式为：y=-x+2,y=x2 2x,联立上述两个函数表达式并 21.3二次函数与一元二次方程 1.-12.-53.B4.B 解得 不符合 y=3 (y=0 5m<-是 6.C 题意，舍去)，即点B的坐标为 7.x<-1或x>38.C9.C (-1,3),从图象看，不等式x2+ 10.D11.B12.D mx>-x十b的解集为x<-1 13.(1)证明略. 或x>2; (2)对称轴为直线x=一1，顶点 (3)①当点M在线段AB上时， 坐标为（一1,0） ,M,N的距离为3，而A、B的 14.(1)0 水平距离是3，故此时只有一个 (2)图略 交点，即-1≤cM<2; (3)答案不唯一.如： ②当点M在点B的左侧时，线 ①函数y=x2一2|x的图象关 段MN与抛物线没有公共点； 于y轴对称；②当x>1时，y随 ③当点M在点A的右侧时，当 x的增大而增大 cM=3时，抛物线和MN交于抛 (4)①33②2③-1<a<0 物线的顶点(1，一1)，即xw=3 微课堂利用抛物线的对称性解题 时，线段MN与抛物线只有一 【变式应用1】x=号 0 个公共点，综上所述，一1≤xw< 2或xM=3. 【变式应用2】x1=3,x2=-1 21.4二次函数的应用 【变式应用3】y=y<2 第1课时二次函数在面积最值 专题三二次函数的图象与字母 问题中的应用 系数之间的关系 1.C2.24√3 一全国中考热点 3.当AE=50m时，市民健身活动场 1.三2.C3.D4.C5.B6.D 所的面积达到最大 专题四函数图象信息题 一全国中考热点 4.(1)S=- 3x2+4x,0<x≤5； 1.D2.D3.124.C5.A 阶段提升自测（一） (2)当x=5时，Sn=35 3 1.B2.D3.A4.C5.A6.B5.C6.C7.75 7.A 8.(1)S=x(28-x)=-x2+28x. 8.C9.y=-x2+1(答案不唯一) |x≥6 (2)由题意，得 10.y2<y1<y311.812.2 28x≥15解得 13.(1)y=x2-2x-3=(x-1)2- 6≤x≤13，由二次函数S=一x 4,顶点坐标为(1，一4)，对称轴 +28.x=-(x-14)2+196,可知 x=1. 在6≤x≤13的范围内，S随x的 (2)二次函数的图象如图.由图象： 增大而增大， 28 .当x=13时，Sx=-(13-14)2+ 经过(5,1)时，1=- ×25+8 8 196=195(m). 9.(1)(50-2x)②y=-4x2+40x ×5+1+1,解得：n= 17 ;当经过 +1500(12≤x≤18) (2)设费用为w元，由题意得， (7,1)时，1= ×49+g×7 =50(-4x2+40x+1500)+40× +1+1,解得：n= 41.17 4x(x-10)=-40(x-5)2+ 7…5≤n≤ 76000,.一40<0，故抛物线开口 号，n为整数，∴符合条件的n 4 向下，函数的对称轴为x=5,当x 的整数值为4和5. >5时，随x的增大而减小， 第3课时二次函数的综合应用 而12≤x≤18，故当x=18(m)1,C2.B3.D4.B 时，w有最小值为69240（元）， 5.(1)y=-10x2+110x+2100(0x 即当绿化区较长边为18m时，健 ≤15，且x为整数). 身广场投资费用最少，最少费用 (2)y=-10x2+110x+2100=- 为69240（元）. 10(x-5.5)2+2402.5, 第2课时建立二次函数模型 0<x≤15，且x为整数， 解决实际问题 ∴.当x=5或6时，ymz=2400,此 1.C2.B3.2√64.能 时售价为50+x=55或56. 5.该大门的高h为5m. 答：当售价定为每件55或56元， 6.600 7.40m&是m 每个月的利润最大，最大的月利 润是2400元. 9.(1)y=- 2+3x 6.B7.D 8.(1)当0<x≤20且x为整数时，y (2)方案二的内部支架节省材料. =40;当20<x≤60且x为整数 理由如下：方案一：由题意，得OB =3m,OC=9m,当x=3时，y= 时，y=一 x+50:当>60且x 3-6+9=翠，即AB= 为整数时，y=20. (2)设所获利润（元），①当0< m,同理可求CD- 4m,…方 x≤20且x为整数时，y=40,.w =(40-16)×20=480元， 案一内部支架材料长度为AB十 NP+cD-+9+智-号m,方 ②当20<x≤60且x为整数时，y 1 =-2x+50,w=(y-16)x= 案二：OB=4m,OC=8m,EF= B'C=4m,同理可求A'B′=8m, (-7x+50-16)x=-22+ CD'=8m,∴.方案二内部支架材 料长度为A'B'+EF+CD'=8 34x=-2(x-34)2+578, +4+8=20m,5>20, ”-2<0当x=34时，如最 方案二的内部支架节省材料。 大，最大值为578元 10.(1)C的最高点坐标为(3,2)， 答：一次批发34件时所获利润最 大，最大利润是578元. a=- 9c=1. 9.(1)y=0.08x2+0.9x. (2)由题意，可知接到沙包处点 (2)该司机是因为超速行驶导致 的坐标范围是(5,1)~(7,1)，当 了交通事故，理由如下： 29 在y=0.08x十0.9x中，令y=99 (3)由题意，可得新抛物线的表达 得：99=0.08z2+0.9x,解得：x= 式为y=一 2+++星 30或x= 165(舍去)， .'30m/s=108km/h>100km/h, 2+x3,令y=-2+ 4 4 该司机是因为超速行驶导致了 x+3=0,解得：五-1士5(m) 3 交通事故 (舍去负值)，故水柱落地处离池中 (3)由题意，得0.08x2十0.9x= 0.12x2+x,∴.0.04x2+(3-0.9)x 心的距离为(1十√5)m =0,10≤≤20x=09 5.(1)y= 20x+40 0.04’ 102a<2解得品号 (2)由题意，可知购买数量位于200 阶段提升自测（二） 与40之间，(-员x+40)x 1.(1)球抛出后经2秒回到起点. 7280,解得0=280，x2=520 (2)0.2s或1.8s后球离起点的高 (舍去). 度达到1.8m. (3)当200≤≤400时，w-(-0x (3)球离起点的高度不能达到 6m,理由如下：h=10t一5t=一5 +40-15）x=-02+25x= (t-1)2+5,当t=1时，h最大值 为5，∴.球离起点的高度不能达 20x-250y2+3125, 到6m. ∴.当x=250时，w有最大值，最 2.(1)y= 16+2x+1. 1 1 大值为3125；当400<x≤600 时，批发量固定，批发量越大，则 (2)令x=5得y= 25+5+1 16+2 利润越大，.当x=600时，利润 =1.9375>1.55,∴.此球能过网. 最大，最大值为600×(20-15) 3)令y得：+号x+1 =3000<3125(元)， ∴.当x=250时，批发部获得的利 -器解得x=1(含去)或x=7, 润最大，最大利润是3125元. 专题五 二次函数与几何图形的综合 .乙与球网的水平距离为7一5 1.(1)y=2x2-8x+6 =2m. (2)(n,2-8n十6) 3.(1)y=-3x2+24x5≤x<8 (2)由题意，得一3x2+24x=36, (3)Pc=-2(-)'+, 化简得x2-8x+12=0,解得 PC>0,∴.当n= =2(舍去)，m=6.即AB的长度 时，线段nC 为6m. (3)y=-3x2+24x=-3(x-4)2十 最大值为智 2.(1)点B(8,0),点C(0,4), 48(5≤x<8),.a=-3<0,开口 向下，∴.当x=5时，y大值=48-3(5 y-r+x+4 一4)2=45.故最大面积为45m2. 4a0A=是 (2):SAm=PE·0D,SE (2)图略，P所在抛物线的解析式为 =号PE,DB,Ss=Sae+ 4 S△PEB= 2PE0B,:点D,0 30 点E,P的横坐标均为t,点 2+3+2-1-2)×1=号，解得： E,P分别在直线和抛物线上， DE=+4,DP=-名+ 5 t= (Ⅱ)当t>3时，过点D作DH⊥ PE-DP-DE-- CE于H,则BD=t-(一t+4t) +4,Sam=合X(-2E+ =t-3t,CE=t-t-2, 4t)×8=-2(t-4)2+32,∴.当t A.SEm-合(BD+CE)· =4时，SAC最大，最大值为32. DH,即2(-3z+t-t一2)×1= 3.1)-号-号2 (2)①当点D在x轴上方时，直 号解得6=受+1会去)6= 2 线1的解折式为y=号十号： 4+1(舍去).综上所述，t的值为 2 ②当点D在x轴下方时，直线1 的解折式为y号一号：综上， 21.5反比例函数 第1课时反比例函数的概念 直线1的解析式为y=一 3x+ 1.D2.D3.②⑤4.B 号或y=号x号 5.t394 6.5-6 7.C【变式2 4.(1)a=-1,b=4. 8.(1)3(2)1(3)49.B10.C (2)由(1)得：y=-x2+4x,易求 点B(t,-+4t),C(t+1,-+ 11.B12.B13.y= 2t十3)，OA的解析式为y=x, 14.(1)设反比例函数的关系式为y ∴.D(t,t),E(t+1,t+1). =飞，把x=-1,y=2代入得k x ①设BD与x轴交于点M,过点 A作AN⊥CE,则M(t,0),N(t+ =-2,y=-2 1,3,∴Ssam十SaE=2BD· (2)-3214-4-2 OM+2AN·CE=2(-E+4u 15.D由S名y10cd,得)- (2)自变量x的取值范围是x>0. -0+(-6+2+3-1-10 (3)当x=10cm时，y=2cm;当 ·(3-41)=号(-+3)+ y=5cm时，x=4cm. 2 16.(1)y=x-1-z+1（x≠-1). 号-3r+0=+ge+ 2t-8+2=2 (2当x=-2县 第2课时反比例函数的图象 ②(I)当2<t<3时，过点D作 和性质 DH⊥CE于H,则H(t+1,t),1.B2.D3.C4.m>5 BD=-t+4t-t=-t+3t,CE5.D【变式】A6.k<27.D =t+1-(-t2+2t+3)=2-t- 8.y>4或y09.D10.C 2,DH=t十1-t=1,∴.S四边形B11.B12.k1<k<k2 =2(BD+CE)·DH,即号（-1R.Iy=-2,补图略。 31 (2)当y=5时，-6=5，解得：x 9.②③ x 10.由题意得：E、M、D位于反比例 号∴当5，且≠0时， 函数图象上，则Sm=, 2 <-8或>0. So=会，过点M作MG1y 14.D 轴于点G,作MN⊥x轴于点N, 15.(1)m<2 (2)y=6 x 则SCONMG=|k|,又，'M为矩形 (3)(3,2)或(-2，-3)或(-3， ABCO对角线的交点，.S矩形AB0 -2)4 =4 StONMC=4||,由于函数图 第3课时反比例函数性质的 象在第一象限，>0，则会+令 综合运用 +9=4k,解得：k=3. 1.C2.33.24.C 11.(1)过点D作x轴的垂线，垂足 5.-1<x<0或x>16.-8 为F,点D的坐标为(8,6)， 7.(1)36 ∴.OF=8,DF=6,.OD=10, (2)△ABC的面积为6. .AD=10,∴.点A坐标为(8,16)， 8.-39.C10.B11.D12.-2 .k=xy=8×16=128,∴.反比例 13.(1)y=- 4 x 函数表达式为y=128 (2)b的值为1或9. (2).点A坐标为(8,16)， 微课堂求反比例函数中的k值 .OA的表达式为y=2x, 【变式练】3 设E点坐标为(m,0),则M点 专题六反比例函数与代数问 坐标(m,2m),F点坐标(8,0)， 题的结合 ,M点正好是线段EP中点， 1.二、四2.无实数根 3.1(答案不唯一) P(m,4m）,128 4m, 4.x≤-9或x>05.B6.C 解得m=4W2或m=-4v2, 7.38. 3 9.010.16 .E(42,0). 综合与实践 函数建模与实际应用 11.(1)k=3.(2)AB=4√2. (1),抛物线y=ax2十bx的顶点坐 12.(1)415 标为(2，一1)， (2)△P0Q的面积为号， b2, 2 13.-6<x<0或x>214.4 解得 a=4' -6 15.2≤m≤4 三一1 (b=-1. 16.(1)28 (2)当x=3时，y=mx十n=2x “抛物线的解析式为y=4丈一z +n=6+n,y= 至-号由题意， 当y=0时，子2-x=0,解得 得6十心号解得心9 0,x2=4,∴.C点坐标为(4,0)； (2)直线y=x十1与坐标轴交于 专题七反比例函数与几何 A,B两点，.令x=0,得y=1,令y 问题的结合 =0,则x+1=0,x=一1，∴.A(-1, 1.C2.63.84.(1)W3(2)4 0),B(0,1),∴.OA=OB=1,∴.△ABO 5.C6.87.B8.S1=4S4 是等腰直角三角形，∴.∠BAO=45°. 32 ,直线y=x十1是心形叶片的对称 -200)2+7200=7000(元). 轴，且点C,C是叶片上的一对对称 :10.3 点，∴.∠CGA=90°，CC=2CG, ∴.∠GCA=45°，∴△AGC是等腰直 1.1y=,2m=1. 12.(1)0.81.4 角三角形，∴0G-受AC (2)0.7≤0≤2.8 C点坐标为(4,0)，.AC=4-13.B14.A15.A (-1)=5,∴cG=52 16.(1)a=b-2; 2 ,:.CC= (2)①b>4; 2CG=5√2； ②证明：，y=ax2+bx十c, (3),右侧幼苗上方轮廓线与下方 六抛物线的对称轴x=一名 轮廓线形状相同，开口相反，设右侧 b 1 幼苗上方轮廓线的表达式为丛= x2+bx+c(0<x≤4)，代入(0， 4-2 c=0, >4,0<告<1-1< 0)、(4,4)得 解 4=-子×16+46， 1 一<一2 4一2 b 得6二2y=-+2x(0< 1 c=0, a=b-2>0, ∴抛物线开口向上，在对称轴的 ≤4).设M点坐标为(m,-子m+ 右侧y随x的增大而增大， 2m)0<m≤)，则N(m,e), 'n>m≥- 2Q点在P点 MN=-子m+2m-子m= 的右侧，2>y1: 17.(1)1 -m+2m=-号(m-2+2, (2)设BC交y轴于E,设菱形 的边长为2t,则AB=BC=CD :-合<0,0<m≤4，当m=2 =AD=2t,BE=CE=t, 时，MN的最大值为2. .B(-t,2),.OE=,AE= 章末核心考点与素养提升 √AB-BE=√5t,∴.OA=OE 1.(1)1或-5(2)1(3)-5 +AE-=t+√3t,∴.D(2t,t+3t), 2.B3.D4.D 把D2t,+√3t)代入y=x2得： 5.y=-2(x-2)2+46.C7.D 8.B +31=,解得1号或=0（会 9.(1)y=-0.5x+160120≤x≤180 (2)设销售利润为0元， 去凌形的边长为29 则=(x一80)（一0.5x+160)= (3)n一m为定值，理由如下：过 7r+20x-12800=-号(z B作BF⊥y轴于F,过D作DE ⊥y轴于E,易证△ABF≌ 1 -20)2+720,:a=-2<0, △DAE(AAS),.BF=AE= .当x<200时，y随x的增大而 m,AF=DE=n,易知点B(m, 增大，.当x=180时，销售利润 m2),D(n,n2),则OF=m2, 最大，最大利润是：w=一壹180 ∴.OF+AF+AE=m2+n+m= n2,∴.m+n=(n-m)(n+m),由 33专题五二次函数 类型一二次函数与线段长最值 1.如图，直线y=x十2与抛物线y=ax2十bx+6 (a≠0)相交于A(分，)和B(4,m）,点P是线 段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x 轴于点D,交抛物线于点C (1)直接写出二次函数的解析式： (2)设点P的坐标为(n,n+2),则点C的坐标 可表示为 (3)请用含有n的式子表示PC的长，并确定 PC长度的最大值， 类型二二次函数与三角形的面积最值 知识清单 利用宽、高原理求“两 B,C为定点. A为动点 定一动”型三角形面积，示 C O(x.kx+n) 意图如图，在△ABC中，三 可末 角形的一个顶点在抛物线 A(x,ax+bx+c) 上（一动点），另两个顶点是定点（两定点），则可 以将△ABC的面积转化为S△4Qc十S△4QB= 2AQ.(o-xc)+2AQ·(xa-o)=2AQ· (xB一xC),故求△ABC面积的最大值就转化为 037 与几何图形的综合 求线段AQ的最大值，实质就是类型之一中线段 的最值问题， 2.如图，直线y=一2x+4分别与x,y轴交于 B,C两点，点A的坐标为（一1,0），抛物线C 过A,B,C三点，点D是线段OB上的一动点， 过D点作一条与y轴平行的直线l,分别与线 段BC、抛物线C1交于点E、P,设点D(t,0), 其中0<t8. (1)求点B,点C的坐标以及抛物线C的解 析式 (2)当t取何值时，△PBC的面积最大？最大 值为多少？ 32 类型三 角度数量关系问题 3.如图，已知抛物线y=ax2十bx十c与x轴相交 于A（一3,0)，B两点，与y轴相交于点 C(0,2),对称轴是直线x=一1，连接AC. (1)a= ,b= ,C= (2)若过点B的直线1与抛物线相交于另一点 D,当∠ABD=∠BAC时，求直线l的表达式. 类型四存在性探究问题 4.(2025·安徽)在平面直角坐标系中，点O是坐 标原点，抛物线y=ax2十bx(a≠0)经过点A (3,3),对称轴为直线x=2. (1)求a,b的值 (2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为 t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线 交直线OA于点D,过点C作x轴的垂线交直 线OA于点E, ①当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积 之和； ②在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得 以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为号？若 存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在， 请说明理由.