专题三 二次函数的图象与字母系数之间的关系&专题四 函数图象信息题全国中考热点-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

专题二二次函数在自变量取值 可知：当y<0时，自变量x的取 范围内的增减性与最值 值范围为一1<x<3. 1.(1)减小02一15 14.(1)a=-2. (2)增大2235 (2)y=-2x2+16x+8. (3)1135 15.(1)-22 2.103.0m≤34.D5.B6.D (2)由(1)得，直线和抛物线的表 7.-2≤m≤-2 1 达式为：y=-x+2,y=x2 2x,联立上述两个函数表达式并 21.3二次函数与一元二次方程 1.-12.-53.B4.B 解得 不符合 y=3 (y=0 5m<-是 6.C 题意，舍去)，即点B的坐标为 7.x<-1或x>38.C9.C (-1,3),从图象看，不等式x2+ 10.D11.B12.D mx>-x十b的解集为x<-1 13.(1)证明略. 或x>2; (2)对称轴为直线x=一1，顶点 (3)①当点M在线段AB上时， 坐标为（一1,0） ,M,N的距离为3，而A、B的 14.(1)0 水平距离是3，故此时只有一个 (2)图略 交点，即-1≤cM<2; (3)答案不唯一.如： ②当点M在点B的左侧时，线 ①函数y=x2一2|x的图象关 段MN与抛物线没有公共点； 于y轴对称；②当x>1时，y随 ③当点M在点A的右侧时，当 x的增大而增大 cM=3时，抛物线和MN交于抛 (4)①33②2③-1<a<0 物线的顶点(1，一1)，即xw=3 微课堂利用抛物线的对称性解题 时，线段MN与抛物线只有一 【变式应用1】x=号 0 个公共点，综上所述，一1≤xw< 2或xM=3. 【变式应用2】x1=3,x2=-1 21.4二次函数的应用 【变式应用3】y=y<2 第1课时二次函数在面积最值 专题三二次函数的图象与字母 问题中的应用 系数之间的关系 1.C2.24√3 一全国中考热点 3.当AE=50m时，市民健身活动场 1.三2.C3.D4.C5.B6.D 所的面积达到最大 专题四函数图象信息题 一全国中考热点 4.(1)S=- 3x2+4x,0<x≤5； 1.D2.D3.124.C5.A 阶段提升自测（一） (2)当x=5时，Sn=35 3 1.B2.D3.A4.C5.A6.B5.C6.C7.75 7.A 8.(1)S=x(28-x)=-x2+28x. 8.C9.y=-x2+1(答案不唯一) |x≥6 (2)由题意，得 10.y2<y1<y311.812.2 28x≥15解得 13.(1)y=x2-2x-3=(x-1)2- 6≤x≤13，由二次函数S=一x 4,顶点坐标为(1，一4)，对称轴 +28.x=-(x-14)2+196,可知 x=1. 在6≤x≤13的范围内，S随x的 (2)二次函数的图象如图.由图象： 增大而增大， 28 .当x=13时，Sx=-(13-14)2+ 经过(5,1)时，1=- ×25+8 8 196=195(m). 9.(1)(50-2x)②y=-4x2+40x ×5+1+1,解得：n= 17 ;当经过 +1500(12≤x≤18) (2)设费用为w元，由题意得， (7,1)时，1= ×49+g×7 =50(-4x2+40x+1500)+40× +1+1,解得：n= 41.17 4x(x-10)=-40(x-5)2+ 7…5≤n≤ 76000,.一40<0，故抛物线开口 号，n为整数，∴符合条件的n 4 向下，函数的对称轴为x=5,当x 的整数值为4和5. >5时，随x的增大而减小， 第3课时二次函数的综合应用 而12≤x≤18，故当x=18(m)1,C2.B3.D4.B 时，w有最小值为69240（元）， 5.(1)y=-10x2+110x+2100(0x 即当绿化区较长边为18m时，健 ≤15，且x为整数). 身广场投资费用最少，最少费用 (2)y=-10x2+110x+2100=- 为69240（元）. 10(x-5.5)2+2402.5, 第2课时建立二次函数模型 0<x≤15，且x为整数， 解决实际问题 ∴.当x=5或6时，ymz=2400,此 1.C2.B3.2√64.能 时售价为50+x=55或56. 5.该大门的高h为5m. 答：当售价定为每件55或56元， 6.600 7.40m&是m 每个月的利润最大，最大的月利 润是2400元. 9.(1)y=- 2+3x 6.B7.D 8.(1)当0<x≤20且x为整数时，y (2)方案二的内部支架节省材料. =40;当20<x≤60且x为整数 理由如下：方案一：由题意，得OB =3m,OC=9m,当x=3时，y= 时，y=一 x+50:当>60且x 3-6+9=翠，即AB= 为整数时，y=20. (2)设所获利润（元），①当0< m,同理可求CD- 4m,…方 x≤20且x为整数时，y=40,.w =(40-16)×20=480元， 案一内部支架材料长度为AB十 NP+cD-+9+智-号m,方 ②当20<x≤60且x为整数时，y 1 =-2x+50,w=(y-16)x= 案二：OB=4m,OC=8m,EF= B'C=4m,同理可求A'B′=8m, (-7x+50-16)x=-22+ CD'=8m,∴.方案二内部支架材 料长度为A'B'+EF+CD'=8 34x=-2(x-34)2+578, +4+8=20m,5>20, ”-2<0当x=34时，如最 方案二的内部支架节省材料。 大，最大值为578元 10.(1)C的最高点坐标为(3,2)， 答：一次批发34件时所获利润最 大，最大利润是578元. a=- 9c=1. 9.(1)y=0.08x2+0.9x. (2)由题意，可知接到沙包处点 (2)该司机是因为超速行驶导致 的坐标范围是(5,1)~(7,1)，当 了交通事故，理由如下： 29 在y=0.08x十0.9x中，令y=99 (3)由题意，可得新抛物线的表达 得：99=0.08z2+0.9x,解得：x= 式为y=一 2+++星 30或x= 165(舍去)， .'30m/s=108km/h>100km/h, 2+x3,令y=-2+ 4 4 该司机是因为超速行驶导致了 x+3=0,解得：五-1士5(m) 3 交通事故 (舍去负值)，故水柱落地处离池中 (3)由题意，得0.08x2十0.9x= 0.12x2+x,∴.0.04x2+(3-0.9)x 心的距离为(1十√5)m =0,10≤≤20x=09 5.(1)y= 20x+40 0.04’ 102a<2解得品号 (2)由题意，可知购买数量位于200 阶段提升自测（二） 与40之间，(-员x+40)x 1.(1)球抛出后经2秒回到起点. 7280,解得0=280，x2=520 (2)0.2s或1.8s后球离起点的高 (舍去). 度达到1.8m. (3)当200≤≤400时，w-(-0x (3)球离起点的高度不能达到 6m,理由如下：h=10t一5t=一5 +40-15）x=-02+25x= (t-1)2+5,当t=1时，h最大值 为5，∴.球离起点的高度不能达 20x-250y2+3125, 到6m. ∴.当x=250时，w有最大值，最 2.(1)y= 16+2x+1. 1 1 大值为3125；当400<x≤600 时，批发量固定，批发量越大，则 (2)令x=5得y= 25+5+1 16+2 利润越大，.当x=600时，利润 =1.9375>1.55,∴.此球能过网. 最大，最大值为600×(20-15) 3)令y得：+号x+1 =3000<3125(元)， ∴.当x=250时，批发部获得的利 -器解得x=1(含去)或x=7, 润最大，最大利润是3125元. 专题五 二次函数与几何图形的综合 .乙与球网的水平距离为7一5 1.(1)y=2x2-8x+6 =2m. (2)(n,2-8n十6) 3.(1)y=-3x2+24x5≤x<8 (2)由题意，得一3x2+24x=36, (3)Pc=-2(-)'+, 化简得x2-8x+12=0,解得 PC>0,∴.当n= =2(舍去)，m=6.即AB的长度 时，线段nC 为6m. (3)y=-3x2+24x=-3(x-4)2十 最大值为智 2.(1)点B(8,0),点C(0,4), 48(5≤x<8),.a=-3<0,开口 向下，∴.当x=5时，y大值=48-3(5 y-r+x+4 一4)2=45.故最大面积为45m2. 4a0A=是 (2):SAm=PE·0D,SE (2)图略，P所在抛物线的解析式为 =号PE,DB,Ss=Sae+ 4 S△PEB= 2PE0B,:点D,0 30专题三二次函数的图 知识清单： 二次函数y=ax2十bx十c的图象与字母系 数a,b,c之间的关系如表所示. 字母 字母的符号 图象的特征 a>0 开口向上 a<0 开口向下 ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 b ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点（顶点） b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac<0 与x轴没有公共点 当x=1时，y=a十b十c;当x=-1时，y=a-b十c 当x=2时，y=4a十2b+c; 当x=-2时，y=4a-2b+c 若a十b十c>0,则当x=1时，y>0 特殊 关系 若a-b十c>0,则当x=-1时，y>0 当对称轴为直线x=1时，2a十b=0;当对称轴为直 线x=-1时，2a-b=0;判断2a十b大于或小于0， 看对称轴与直线x=1的位置关系；判断2a一b大于 或小于0，看对称轴与直线x=一1的位置关系 类型一二次函数图象与系数的关系 1.(2025·贵州)已知二次函数y=ax2+bx十c的 图象如图所示，则点P(ab,c)在第 象限 -2-10 第1题图 第2题图 2.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的顶点坐标为 (一1，n),其部分图象如图所示.以下结论错误 的是 ( A.abc0 19 象与字母系数之间的关系 全国中考热点 B.4ac-b2<0 C.3a+c>0 D.关于x的方程a.x2十bx十c=n十1无实数根 3.如图，是二次函数y=ax2十bx十c图象的一部 分，下列结论中：①abc>0;②a一b+c<0; ③ax2+bx+c+1=0有两个相等的实数根； ④-4a<b<-2a.正确结论的序号为（) A.①② B.①③ C.②③ D.①④ 01 第3题图 第4题图 4.(2025·广西)已知二次函数y=ax2十bx十c 的图象如图所示，有下列结论：①a>0;②一4ac >0;③4a十b=1;④不等式a.x2十(b-1)x十c<0 的解集为1<x<3,正确的结论个数有() A.1个B.2个C.3个D.4个 5.抛物线y=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a<0) 经过A(2,0),B(一4,0)两点，下列四个结论： ①一元二次方程ax2十bx十c=0的根为1 2,x2=-4;②若点C(-5,y1),D(π，y2)在该 抛物线上，则y<y2;③对于任意实数t,总有 at十bt≤a一b;④对于a的每一个确定值，若 一元二次方程a.x2十bx十c=p(p为常数，p> 0)的根为整数，则力的值只有两个.其中正确 的结论有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型二两函数图象共存 6.已知二次函数y=ax2(a≠0)和一 次函数y=bx+c(b≠0)的图象如 图所示，则函数y=ax2十bx一c的 图象可能是 201 专题四 函数图象信 类型一根据函数图象获取信息 1.如图1，在等腰△ABC中，AB=AC,点P,Q 从点B同时出发，点P以√3cm/s的速度沿 BC方向运动到点C停止，点Q以1cm/s的 速度沿BA一AC方向运动到点C停止.若 △BPQ的面积为ycm,运动时间为xs,y 与x之间的函数关系图象如图2所示，则BC 长为 0 B 图1 图2 A.4cm B.8cm C.8√3cmD.4W3cm 2.(2025·深圳)如图1，在菱形ABCD中，∠B 60°，动点P以每秒1个单位长度的速度自点 A出发沿线段AB运动到点B,同时动点Q 以每秒2个单位长度的速度自点B出发沿折 线BC一CD方向运动到点D.图2是点P,Q 运动时，△BPQ的面积S随时间t变化的关 系图象，则a的值是 ) 图1 图2 A.2 B.2.5 C.3 D.2√3 3.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿 BC一CA方向匀速运动到点A,图2是点P 运动时，线段BP的长度y随时间x变化的 关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则 △ABC的面积是 图1 图2 息题一全国中考热点 类型二根据具体情景判断函数图象 4.如图，在△ABC中，∠B= A 90°，AB=3cm,BC=6cm, 动点P从点A开始沿AB 向点B以1cm/s的速度移 动，动点Q从点B开始沿BC向点C以 2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B 两点同时出发，P点到达B点运动停止，则 △PBQ的面积S随出发时间t的函数关系 图象是 ( 1 B 3 o123 D 5.如图，正方形ABCD的边长为2cm,动点P, Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按 AD一DC,AB-BC的方向，以1cm/s的速 度运动，到达点C运动终止，连接PQ,设运 动时间为xs,△APQ的面积A÷ P D 为ycm,则下列图象中能大致 表示y与x的函数关系的是 ↑y/cm ◆y/cm / /Cm 个y/cm