第二册 二次函数与方程、不等式《真题淬炼·题型通关》2026-2027学年沪科版九年级数学上册

沪科版九上期中专项复习 · 第二册 二次函数与方程、不等式 安徽各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 待定系数法求二次函数解析式（一般式/顶点式/交点式） 待定系数法求二次函数 2026合肥中科大附中期中 6 题 抛物线与 x 轴交点、判别式 抛物线与x轴交点、判别式 · 二次函数与一元二次方程 2026合肥50中西校期中练习 6 题 二次函数与一元二次方程的关系（交点个数与 Δ） 二次函数与一元二次方程 · 交点个数与判别式 2026宣城六中期中 5 题 图象法解一元二次不等式 图象法解一元二次不等式 · 二次函数与不等式 2026合肥168中期中 5 题 二次函数与方程、不等式综合（选择压轴向） 二次函数与不等式 · 二次函数与一元二次方程 · 二次函数与方程、不等式综合 2026合肥百校联赢B卷期中 5 题 待定系数与图象综合解答 待定系数与图象综合 · 待定系数法求二次函数 2026合肥50中天鹅湖期中 5 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 二次函数 与一元二次方程、一元二次不等式通过"函数值与 0 的大小比较"联系在一起：抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是令 后所得方程 的根；图象在 x 轴上方对应 ，下方对应 ，其横坐标范围就是对应不等式的解集。待定系数法则是"由条件选形式、代点求系数"的工具，是求解析式的通法。 ▍二、法则与公式 1. Δ 与交点个数对应表（设 ，抛物线与 x 轴的公共点即方程 的根）： | 的情况 | | | | | --- | --- | --- | --- | | 与 x 轴交点个数 | 2 个 | 1 个（相切） | 0 个 | | 方程根的情况 | 两个不相等实根 | 两个相等实根 | 无实根 | 2. 待定系数三式选式策略：已知两个一般点（或三组对应值）选一般式 ；已知顶点、对称轴或最值选顶点式 ；已知与 x 轴的两交点 、 选交点式 。 3. 证"恒有交点（两个交点）"：算 并配方为 ，由 （或 ）定号；已知交点距离 求参数，需去绝对值讨论。 4. 表格估根：函数值由正变负（或由负变正），说明根夹在两自变量之间；由两组相等的函数值定对称轴 ，再用对称性 求另一根的范围。 5. 图象法解不等式： 的解集是抛物线高于直线 部分对应的 x 范围；比较两个函数大小时，交点横坐标是解集的分界点。 ▍三、方法技巧 1. "移项化形"： 型，移项化为 ，变成比较抛物线与直线 的上下位置。 2. "交点即根"：方程 化为 ，其解就是两图象交点的横坐标，不必求出 a、b、k。 3. 部分图象定解集：由对称轴与一个交点先算出另一个交点（），再看开口方向，"上正下负"写解集。 4. 含参交点个数问题，先看二次项系数是否为 0，分类讨论"退化为一次函数"的情形，再对二次情形用 或 求参。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 漏二次项系数条件： 与 x 轴有两个交点，只解 得 ，漏掉 ——当 时它是一次函数，与 x 轴只有一个交点。 2. "有交点"错用 ：如 的 ，在 处与 x 轴相切，恰有一个交点，故"有交点"应对应 。 3. 交点距离漏绝对值：由 应得 或 两解，只取正根即漏解。 4. 解集端点带错等号：交点处函数值恰为 0，如 的 解集是 ，写成 则把零点错误纳入。 5. 表格估根忽略对称轴：仅凭变号写"较大根"范围会失对称依据，如 必须先求出 这一对称轴，再由 换算范围。 　题型一 待定系数法求二次函数解析式（一般式/顶点式/交点式） 方法要领　按条件选式：过三点或给三值→一般式；给顶点/对称轴/最值→顶点式；给 x 轴两交点→交点式，代点解方程组。 【例】（2026合肥中科大附中期中 15）已知二次函数 的图象过点 ，。 (1) 求此二次函数的解析式； (2) 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026六安部分学校期中 16）已知抛物线 经过点 和 。 (1) 求 ， 的值； (2) 判断点 是否在这个抛物线上，并说明理由。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026淮南9月月考 17）有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点。 小明同学：对称轴是直线 。 小刚同学：函数有最小值，最小值为 。 小婷同学：此函数的图象经过点 关于 y 轴的对称点。 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥嘉陵江路中学9月月考 21）如图，已知二次函数图象的顶点为 ，直线 与该二次函数的图象交于 、 两点，其中点 的坐标为 ，点 在 y 轴上。 (1) 求 的值及此二次函数的表达式； (2) 为线段 上的一个动点（点 与点 、 不重合），过点 作 x 轴的垂线与二次函数的图象交于点 ，设线段 的长为 ，点 的横坐标为 ，求 与 之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027合肥五十中9月月考 16）已知一个二次函数的图象经过点 ，，，求这个函数的解析式及对称轴。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2026合肥38中期中 18）设二次函数 （，b 是实数）。已知函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如下表所示： …… …… …… …… (1) 若 ，求二次函数的表达式； (2) 在 (1) 的条件下，写出一个符合条件的 x 的取值范围，使得 y 随 x 的增大而减小。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型二 抛物线与 x 轴交点、判别式 方法要领　令 化方程； 配方成 定号；交点距离用 去绝对值求参。 【例】（2026合肥50中西校期中练习 16）已知抛物线 （ 是常数）。 (1) 求证：无论 取何值，抛物线与 x 轴总有交点； (2) 若抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离为 4，求 的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥168中期中 19）已知关于 x 的二次函数 。 (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； (2) 若此抛物线与 x 轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数， 是正整数，求 的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026安庆四中期中 18）已知二次函数 。 (1) 求证：不论 取何值，该函数图象与 x 轴总有两个交点； (2) 若该函数图象的对称轴是直线 ，求该函数的图象与 y 轴的交点坐标。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026蚌埠G5联考期中模拟 18）已知关于 x 的二次函数 。 (1) 当 时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2) 求证：对于任意实数 ，二次函数 的图象与 x 轴总有两个不同的交点。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026合肥嘉陵江路中学9月月考 18）已知二次函数 （m 是常数）。 (1) 求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； (2) 把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，顶点在 x 轴上？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027合肥五十中9月月考 4）若抛物线 与 x 轴没有交点，则 c 的值可以是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型三 二次函数与一元二次方程的关系（交点个数与 Δ） 方法要领　函数值变号定根的区间；两组相等函数值定对称轴； 换算另一根；含参先讨论二次项系数。 【例】（2026宣城六中期中 7）已知二次函数 中部分 x 和 y 的值如下表所示： 则方程 的一个较大的根的范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥50中天鹅湖期中 8）二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程 （，a，b，c 为常数）的正数解 x 的取值范围可能是（　　） …… …… …… …… …… …… A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥百校联赢B卷期中 18）已知函数 的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值及该交点的坐标。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026滁州天长期中 6）抛物线 与 x 轴的一个交点坐标为 ，则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027六安汇文中学9月月考 11）若抛物线 与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围为________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型四 图象法解一元二次不等式 方法要领　看图象上下位置：x 轴上方 、下方 ；交点横坐标是解集端点且不带等号。 【例】（2026合肥168中期中 16）已知二次函数 。 (1) 完成下表，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象； …… …… …… ________ ________ ________ ________ ________ …… (2) 根据图象，直接写出不等式 的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026清华附中合肥学校期中 16）如图，二次函数 与两坐标轴的交点坐标分别为 ，。根据图象回答下列问题： (1) 求抛物线的对称轴； (2) 写出不等式 的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥百校联考9月月考 6）如图为二次函数 图象的一部分，与 x 轴的一个交点为 ，对称轴为直线 。当 时，x 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥庆平希望学校9月月考 13）二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，其对称轴为直线 ，则由图象可知，不等式 的解集为________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026合肥庆平希望学校9月月考 17）如图，二次函数 的图象经过点 。 (1) 求 a 的值； (2) 点 在该二次函数的图象上，求 n 的值； (3) 请根据图象，求不等式 的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型五 二次函数与方程、不等式综合（选择压轴向） 方法要领　移项化形比较抛物线与直线位置；方程的解＝交点横坐标；联立求交点再定上下范围。 【例】（2026合肥百校联赢B卷期中 8）一次函数 与二次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026六安部分学校期中 7）已知抛物线 与直线 交于点 和点 ，则关于 x 的方程 的解是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026庐江柯坦中学9月月考 22）抛物线 过点 ，顶点为 Q；抛物线 （其中 t 为常数）。 (1) 求 a 的值和点 Q 的坐标； (2) 通过计算说明，无论 t 为何值，将 的顶点 Q 向左平移 1 个单位长度后一定落在 上； (3) 当 时， 与 的交点为 A、B，请直接写出 时，x 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026亳州名校联盟9月检测 14）在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 ，，连接 AB。已知抛物线 。 (1) 当抛物线同时经过 A，B 两点时，h 的值为________； (2) 若抛物线与线段 AB 有公共点，则 h 的取值范围是________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026淮南9月月考 10）二次函数 （m 是常数，且 ）的图象经过点 ，一次函数 的图象经过点 。当 时，有四个命题： ① 当 时，； ② 当 时，； ③ 当 时，； ④ 当 时，。 其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型六 待定系数与图象综合解答 方法要领　先由对称点/表格待定系数求解析式，再由交点分界看图象写解集。 【例】（2026合肥50中天鹅湖期中 20）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于 、 两点，与 y 轴交于点 C，点 C、D 是二次函数图象上一对对称点，一次函数 的图象过点 B、D。 (1) 直接写出点 C、D 的坐标； (2) 求二次函数的解析式； (3) 根据图象求 的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026安庆期中 16）已知二次函数 的 y 与 x 的部分对应值如下表： …… …… …… …… (1) 求这个二次函数的表达式； (2) 在所给坐标系中画出这个函数的图象； (3) 当 x 的取值范围为________时，。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥38中9月月考 18）已知二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的几组对应值如下表： …… …… …… …… (1) 求二次函数的表达式； (2) 直接写出不等式 的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027亳州蒙城9月阶段检测 15）已知抛物线 的对称轴为直线 ，形状和开口大小与抛物线 相同，但开口方向相反。 (1) 求该抛物线对应的函数表达式； (2) 当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027六安汇文中学9月月考 16）已知抛物线 经过点 ，。 (1) 求 a，b 的值； (2) 若 ， 是抛物线上不同的两点，且 ，求 m 的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分58分） 一、选择题（每小题4分） 1．（4分）（2026清华附中合肥学校期中 6）二次函数 与一次函数 的图象交于点 和点 ，要使 ，则 x 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（4分）（2026合肥市期中 6）根据下列表格的对应值，判断关于 x 的方程 的一个解 x 的范围是（　　） A．　B．　C．　D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（4分）（2026合肥45中菱湖分校9月月考模拟 3）二次函数 的图象与 x 轴交于 、B 两点，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．A、B 两点之间的距离为 7 D．当 时，y 随 x 值的增大而增大 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、填空题（每小题5分） 4．（5分）（2026长丰县抽测期中 11）已知二次函数 的图象如图所示，则 时，对应的 x 的取值范围为________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5．（5分）（2026合肥市期中 12）若二次函数 与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（5分）（2026蒙城9月月考 12）二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，其对称轴为直线 ，则由图象可知，不等式 的解集为________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（5分）（2026合肥市期中 13）设抛物线 ： 的顶点为 D，与 y 轴的交点是 C。我们称以 C 为顶点，且过点 D 的抛物线为抛物线 l 的"伴随抛物线"。请写出抛物线 的伴随抛物线的解析式________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题（8分+8分+10分） 8．（8分）（2026庐江柯坦中学9月月考 20）已知二次函数 的图象经过 ， 两点。 (1) 求 b 和 c 的值； (2) 当 时，求 y 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（8分）（2026合肥百校联考9月月考 18）已知抛物线 （a，b 是常数，）。 (1) 若此抛物线的图象经过点 和 ，求此抛物线的解析式； (2) 若 ，当 时，函数 y 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（10分）（2026淮南9月月考 19）如图，二次函数 的图象经过点 。 (1) a 的值为________； (2) 点 在该二次函数的图象上，则 n 的值为________； (3) 请根据图象，求不等式 的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（2026合肥五十中新校期中 20）已知二次函数 ，其中 m 为实数。 (1) 求证：不论 m 为何值，这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点； (2) 设这个二次函数的图象与 x 轴交于点 和 ，且 ，求这个二次函数的解析式。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 九年级学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版九上期中专项复习 · 第二册 二次函数与方程、不等式 安徽各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 待定系数法求二次函数解析式（一般式/顶点式/交点式） 待定系数法求二次函数 2026合肥中科大附中期中 6 题 抛物线与 x 轴交点、判别式 抛物线与x轴交点、判别式 · 二次函数与一元二次方程 2026合肥50中西校期中练习 6 题 二次函数与一元二次方程的关系（交点个数与 Δ） 二次函数与一元二次方程 · 交点个数与判别式 2026宣城六中期中 5 题 图象法解一元二次不等式 图象法解一元二次不等式 · 二次函数与不等式 2026合肥168中期中 5 题 二次函数与方程、不等式综合（选择压轴向） 二次函数与不等式 · 二次函数与一元二次方程 · 二次函数与方程、不等式综合 2026合肥百校联赢B卷期中 5 题 待定系数与图象综合解答 待定系数与图象综合 · 待定系数法求二次函数 2026合肥50中天鹅湖期中 5 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 二次函数 与一元二次方程、一元二次不等式通过"函数值与 0 的大小比较"联系在一起：抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是令 后所得方程 的根；图象在 x 轴上方对应 ，下方对应 ，其横坐标范围就是对应不等式的解集。待定系数法则是"由条件选形式、代点求系数"的工具，是求解析式的通法。 ▍二、法则与公式 1. Δ 与交点个数对应表（设 ，抛物线与 x 轴的公共点即方程 的根）： | 的情况 | | | | | --- | --- | --- | --- | | 与 x 轴交点个数 | 2 个 | 1 个（相切） | 0 个 | | 方程根的情况 | 两个不相等实根 | 两个相等实根 | 无实根 | 2. 待定系数三式选式策略：已知两个一般点（或三组对应值）选一般式 ；已知顶点、对称轴或最值选顶点式 ；已知与 x 轴的两交点 、 选交点式 。 3. 证"恒有交点（两个交点）"：算 并配方为 ，由 （或 ）定号；已知交点距离 求参数，需去绝对值讨论。 4. 表格估根：函数值由正变负（或由负变正），说明根夹在两自变量之间；由两组相等的函数值定对称轴 ，再用对称性 求另一根的范围。 5. 图象法解不等式： 的解集是抛物线高于直线 部分对应的 x 范围；比较两个函数大小时，交点横坐标是解集的分界点。 ▍三、方法技巧 1. "移项化形"： 型，移项化为 ，变成比较抛物线与直线 的上下位置。 2. "交点即根"：方程 化为 ，其解就是两图象交点的横坐标，不必求出 a、b、k。 3. 部分图象定解集：由对称轴与一个交点先算出另一个交点（），再看开口方向，"上正下负"写解集。 4. 含参交点个数问题，先看二次项系数是否为 0，分类讨论"退化为一次函数"的情形，再对二次情形用 或 求参。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 漏二次项系数条件： 与 x 轴有两个交点，只解 得 ，漏掉 ——当 时它是一次函数，与 x 轴只有一个交点。 2. "有交点"错用 ：如 的 ，在 处与 x 轴相切，恰有一个交点，故"有交点"应对应 。 3. 交点距离漏绝对值：由 应得 或 两解，只取正根即漏解。 4. 解集端点带错等号：交点处函数值恰为 0，如 的 解集是 ，写成 则把零点错误纳入。 5. 表格估根忽略对称轴：仅凭变号写"较大根"范围会失对称依据，如 必须先求出 这一对称轴，再由 换算范围。 　题型一 待定系数法求二次函数解析式（一般式/顶点式/交点式） 方法要领　按条件选式：过三点或给三值→一般式；给顶点/对称轴/最值→顶点式；给 x 轴两交点→交点式，代点解方程组。 【例】（2026合肥中科大附中期中 15）已知二次函数 的图象过点 ，。 (1) 求此二次函数的解析式； (2) 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标。 【答案】(1) ；(2) ， 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式及求抛物线与 x 轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法是解题的关键。(1) 将 、 代入 求得 、 即可；(2) 令 ，解一元二次方程得交点横坐标。 【详解】(1) 解：∵二次函数 的图象过点 ，， ∴，解得 ， ∴二次函数的解析式为 。 (2) 解：当 时，， ∴，解得 ，， ∴该抛物线与 x 轴的交点坐标为 ，。 【练1】（2026六安部分学校期中 16）已知抛物线 经过点 和 。 (1) 求 ， 的值； (2) 判断点 是否在这个抛物线上，并说明理由。 【答案】(1) ，；(2) 点 不在这个抛物线上 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征。(1) 将两点坐标代入解析式得二元一次方程组，解出 、；(2) 把 代入解析式算出对应的 值，与 比较即可判断。 【详解】(1) 解：∵抛物线 经过点 ，， ∴，解得 。 (2) 解：由 (1) 得抛物线的解析式为 ， 当 时，， ∴点 不在这个抛物线上。 【练2】（2026淮南9月月考 17）有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点。 小明同学：对称轴是直线 。 小刚同学：函数有最小值，最小值为 。 小婷同学：此函数的图象经过点 关于 y 轴的对称点。 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式。 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，利用对称轴、最值得出顶点式是解题的关键。由"对称轴 、最小值 "得顶点 ，故设顶点式；再由对称点求出图象上一点的坐标代入求 。 【详解】解：∵对称轴是直线 ，函数有最小值 ， ∴顶点坐标是 ， 设该二次函数的表达式为 。 点 关于 y 轴的对称点是 ， 将 代入，得 ， 解得 ， ∴该二次函数的表达式为 。 【练3】（2026合肥嘉陵江路中学9月月考 21）如图，已知二次函数图象的顶点为 ，直线 与该二次函数的图象交于 、 两点，其中点 的坐标为 ，点 在 y 轴上。 (1) 求 的值及此二次函数的表达式； (2) 为线段 上的一个动点（点 与点 、 不重合），过点 作 x 轴的垂线与二次函数的图象交于点 ，设线段 的长为 ，点 的横坐标为 ，求 与 之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）。 【答案】(1) ，；(2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质。(1) 将点 代入直线求 ；由顶点 设顶点式 ，代入 求 ；(2) 、 横坐标相同， 等于直线与抛物线在 处的纵坐标之差，由点 在线段 上确定 的范围。 【详解】(1) 解：把 代入 ，得 ，解得 ，∴直线为 。 ∵二次函数图象的顶点为 ， ∴设二次函数的表达式为 ， 把 代入得 ，解得 ， ∴。 (2) 解：∵点 的横坐标为 ， 轴， ∴点 的横坐标也为 。 ∵点 在抛物线上，点 在线段 上（点 与点 、 不重合）， ∴点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，且 ， ∴， 即 。 【练4】（2027合肥五十中9月月考 16）已知一个二次函数的图象经过点 ，，，求这个函数的解析式及对称轴。 【答案】，对称轴为直线 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质。图象过三个已知点，设一般式 ，将三点坐标代入得三元一次方程组，解出 、、，再化为顶点式即得对称轴。 【详解】解：设这个二次函数的解析式为 ， 将 ，， 代入，得 ， 解得 ， ∴这个函数的解析式为 。 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 。 【练5】（2026合肥38中期中 18）设二次函数 （，b 是实数）。已知函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如下表所示： …… …… …… …… (1) 若 ，求二次函数的表达式； (2) 在 (1) 的条件下，写出一个符合条件的 x 的取值范围，使得 y 随 x 的增大而减小。 【答案】(1) ；(2) （答案不唯一，写出其中一段即可） 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性。由表知 即 时 ，又 时 ，代两组值求出 、；(2) 化为顶点式得对称轴，由开口方向结合增减性写出自变量的取值范围，答案不唯一。 【详解】(1) 解：由表知 ，即当 时 ；又当 时 ， 把 ， 代入 ，得 ， 解得 ， ∴二次函数的表达式为 。 (2) 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上， ∴当 时，y 随 x 的增大而减小（答案不唯一，如 等均可）。 　题型二 抛物线与 x 轴交点、判别式 方法要领　令 化方程； 配方成 定号；交点距离用 去绝对值求参。 【例】（2026合肥50中西校期中练习 16）已知抛物线 （ 是常数）。 (1) 求证：无论 取何值，抛物线与 x 轴总有交点； (2) 若抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离为 4，求 的值。 【答案】(1) 见详解；(2) 或 【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式。(1) 计算 并配方说明其非负；(2) 令 解方程求出两交点横坐标，用两交点距离列绝对值方程求解。 【详解】(1) 证明：令 ， 则 ， ∵，∴， ∴无论 取何值，抛物线与 x 轴总有交点。 (2) 解：令 ， ∵， ∴解得 ，， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为 和 ， ∴两个交点之间的距离为 ， 则 ，∴ 或 ， 解得 或 。 【练1】（2026合肥168中期中 19）已知关于 x 的二次函数 。 (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； (2) 若此抛物线与 x 轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数， 是正整数，求 的值。 【答案】(1) 见详解；(2) 【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点、根的判别式。(1) 令 ，计算判别式 并配方说明其非负即可；(2) 令 后因式分解求出两根，由"两交点横坐标都是整数且 为正整数、两交点不重合"逐一筛选。 【详解】(1) 证明：∵， ∴， ∴此抛物线与 x 轴总有交点。 (2) 解：令 ，则 ， 即 ， 解得 ，。 ∵抛物线与 x 轴有两个交点，交点的横坐标都是整数， 是正整数， ∴当 时 ，两交点重合（此时 ），不合题意； 当 时 不是整数，不合题意； ∴。 【练2】（2026安庆四中期中 18）已知二次函数 。 (1) 求证：不论 取何值，该函数图象与 x 轴总有两个交点； (2) 若该函数图象的对称轴是直线 ，求该函数的图象与 y 轴的交点坐标。 【答案】(1) 见详解；(2) 【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点和判别式的关系、二次函数图象与 y 轴的交点。(1) 计算 并配方成 ，说明其恒大于 0；(2) 由对称轴公式建立关于 的方程，求出 后令 即得与 y 轴交点。 【详解】(1) 证明：∵，其中 ，，， ∴， ∵，∴，即 ， ∴不论 取何值，该函数图象与 x 轴总有两个交点。 (2) 解：∵该函数图象的对称轴是直线 ， ∴，即 ，解得 ， ∴， 当 时，， ∴该函数的图象与 y 轴的交点坐标为 。 【练3】（2026蚌埠G5联考期中模拟 18）已知关于 x 的二次函数 。 (1) 当 时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2) 求证：对于任意实数 ，二次函数 的图象与 x 轴总有两个不同的交点。 【答案】(1) 对称轴为直线 ，顶点为 ；(2) 见详解 【分析】本题考查二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程的关系。(1) 将 代入后配方成顶点式求解；(2) 计算判别式并配方，说明 恒大于 0。 【详解】(1) 解：当 时，， ∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 (2) 证明：， ∵，∴，即 ， ∴对于任意实数 ，二次函数 的图象与 x 轴总有两个不同的交点。 【练4】（2026合肥嘉陵江路中学9月月考 18）已知二次函数 （m 是常数）。 (1) 求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； (2) 把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，顶点在 x 轴上？ 【答案】(1) 见详解；(2) 向下平移 3 个单位长度 【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点、根的判别式、二次函数图象的平移。(1) 计算判别式 ，说明其恒小于 0，则对应方程无实数解，图象与 x 轴无公共点；(2) 化为顶点式得顶点 ，要使顶点落在 x 轴上，纵坐标需变为 0，故向下平移 3 个单位长度。 【详解】(1) 证明：∵， ∴一元二次方程 没有实数解， ∴不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点。 (2) 解：将 化为顶点式，得 ，顶点坐标为 ， 把该函数的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，得到 的图象，其顶点坐标为 ，在 x 轴上， ∴把该函数的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，顶点在 x 轴上。 【练5】（2027合肥五十中9月月考 4）若抛物线 与 x 轴没有交点，则 c 的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点个数与判别式的关系。抛物线与 x 轴没有交点等价于对应方程的判别式 ，据此解出 c 的取值范围，再逐项检验即可。 【详解】解：∵抛物线 与 x 轴没有交点， ∴对应方程 无实数解，即 ， 解得 ， ∴c 的值可以是 8， 故选：D。 　题型三 二次函数与一元二次方程的关系（交点个数与 Δ） 方法要领　函数值变号定根的区间；两组相等函数值定对称轴； 换算另一根；含参先讨论二次项系数。 【例】（2026宣城六中期中 7）已知二次函数 中部分 x 和 y 的值如下表所示： 则方程 的一个较大的根的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想是解题的关键。先求对称轴，再由表格中 值的变号确定较小根的范围，最后由对称性求出较大根的范围。 【详解】解：∵二次函数 的对称轴为 。 由表可知，当 时，；当 时，， ∴方程 的一个较小根 满足 。 ∵两根关于对称轴 对称，设较大根为 ，则 ，即 ， 当 时，；当 时，， ∴， 故选：C。 【练1】（2026合肥50中天鹅湖期中 8）二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程 （，a，b，c 为常数）的正数解 x 的取值范围可能是（　　） …… …… …… …… …… …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图象法估算一元二次方程的根、二次函数的对称性。由表格中 值的变号确定负数解的范围，再由两组相等的函数值确定对称轴，利用对称性得到正数解的范围。 【详解】解：由表可知，当 时，；当 时，， ∴方程 的负数解的范围是 。 ∵当 和 时，y 值均为 ， ∴对称轴为直线 。 设正数解为 ，负数解为 ，则 ， 由 得 ， ∴方程的正数解 x 的取值范围可能是 ， 故选：D。 【练2】（2026合肥百校联赢B卷期中 18）已知函数 的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值及该交点的坐标。 【答案】当 时，交点为 ；当 时，交点为 ；当 时，交点为 【分析】本题考查抛物线与 x 轴交点个数与判别式的关系，解题的关键是分类讨论：①当二次项系数为 0，即 时，函数为一次函数，其图象与 x 轴只有一个交点；②当 时，由 求出 m 的值，再代回求交点坐标。 【详解】解：①当 时，，其图象与 x 轴只有一个交点， 令 ，得 ，交点为 ； ②当 时， 是二次函数，其图象与 x 轴只有一个交点， ∴， 即 ，解得 或 。 当 时，，交点为 ； 当 时，，交点为 。 综上，当 时，交点为 ；当 时，交点为 ；当 时，交点为 。 【练3】（2026滁州天长期中 6）抛物线 与 x 轴的一个交点坐标为 ，则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象的对称性。由解析式得对称轴为直线 ，抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，据此求出另一个交点的横坐标。 【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， 又抛物线与 x 轴的一个交点为 ，两交点关于直线 对称， 设另一个交点为 ，则 ， 解得 ， ∴另一个交点的坐标为 ， 故选：C。 【练4】（2027六安汇文中学9月月考 11）若抛物线 与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围为________。 【答案】 【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点个数与判别式的关系。抛物线与 x 轴有两个交点等价于对应方程有两个不相等的实数根，即 ，解不等式即可。 【详解】解：∵抛物线 与 x 轴有两个交点， ∴对应方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得 ， ∴k 的取值范围为 。 　题型四 图象法解一元二次不等式 方法要领　看图象上下位置：x 轴上方 、下方 ；交点横坐标是解集端点且不带等号。 【例】（2026合肥168中期中 16）已知二次函数 。 (1) 完成下表，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象； …… …… …… ________ ________ ________ ________ ________ …… (2) 根据图象，直接写出不等式 的解集。 【答案】(1) 表中依次填 ，，，，，图象见详解；(2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质、图象法解一元二次不等式，解题的关键是利用数形结合思想。(1) 逐个代入计算列表，描点、连线画图；(2) 图象在 x 轴下方部分对应的 x 的范围即不等式的解集。 【详解】(1) 解：当 时 ；当 时 ；当 时 ；当 时 ；当 时 。 列表、描点、连线，抛物线如图所示（G9M-P07-Q16-2.png）。 (2) 解：由图象可得：当 时，抛物线在 x 轴下方， ∴不等式 的解集为 。 【练1】（2026清华附中合肥学校期中 16）如图，二次函数 与两坐标轴的交点坐标分别为 ，。根据图象回答下列问题： (1) 求抛物线的对称轴； (2) 写出不等式 的解集。 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与不等式的关系。(1) 由 x 轴两交点横坐标求对称轴；(2) 抛物线过 ，由对称轴知 处 ，故不等式 即"图象低于直线 "，数形结合写解集。 【详解】(1) 解：， ∴抛物线的对称轴为直线 。 (2) 解：由图象知抛物线过点 ，即当 时，； ∵对称轴为直线 ，∴当 时，也有 。 由图象可知，图象低于直线 的部分对应的 x 满足 或 ， ∴不等式 的解集为 或 。 【练2】（2026合肥百校联考9月月考 6）如图为二次函数 图象的一部分，与 x 轴的一个交点为 ，对称轴为直线 。当 时，x 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与 x 轴的交点问题、二次函数与不等式的关系。由对称性和一个交点求出另一个交点，再结合开口方向和图象位置写出 时 x 的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与 x 轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ， ∴图象与 x 轴的另一个交点的横坐标为 ，即交点为 。 由图象可知抛物线开口向上，当图象位于 x 轴下方时，， ∴当 时，x 的取值范围是 ， 故选：C。 【练3】（2026合肥庆平希望学校9月月考 13）二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，其对称轴为直线 ，则由图象可知，不等式 的解集为________。 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的对称性、图象法解一元二次不等式。由对称轴和一个交点求出图象与 x 轴的另一个交点，再结合图象的开口方向，写出图象在 x 轴上方部分对应的 x 的取值范围。 【详解】解：∵对称轴为直线 ，图象与 x 轴的一个交点为 ， ∴由对称性，图象与 x 轴的另一个交点的横坐标为 ，即另一个交点为 。 由图象可知抛物线开口向下，当 时，图象在 x 轴上方， ∴不等式 的解集为 。 【练4】（2026合肥庆平希望学校9月月考 17）如图，二次函数 的图象经过点 。 (1) 求 a 的值； (2) 点 在该二次函数的图象上，求 n 的值； (3) 请根据图象，求不等式 的解集。 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】本题考查待定系数法、二次函数图象上点的坐标特征、图象法解一元二次不等式。(1) 把 代入解析式求 ；(2) 把 代入解析式求 ；(3) 令 解方程得抛物线与直线 交点的横坐标，结合图象开口方向写出解集。 【详解】(1) 解：把 代入 ，得 ， 解得 。 (2) 解：由 (1) 得二次函数的解析式为 ， 当 时，。 (3) 解：令 ，则 ，即 ， 解得 ，， 由图象可知，抛物线开口向上，当 时，抛物线在直线 下方， ∴不等式 的解集为 。 　题型五 二次函数与方程、不等式综合（选择压轴向） 方法要领　移项化形比较抛物线与直线位置；方程的解＝交点横坐标；联立求交点再定上下范围。 【例】（2026合肥百校联赢B卷期中 8）一次函数 与二次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合、图象法解不等式。关键是将 变形为 ，即比较 与 的大小，由图象上下位置关系直接得解集。 【详解】解：将不等式 移项变形，得 ，即 。 观察图象：当 时，一次函数 的图象在二次函数 的图象上方， 即当 时，， ∴不等式 的解集为 ， 故选：C。 【练1】（2026六安部分学校期中 7）已知抛物线 与直线 交于点 和点 ，则关于 x 的方程 的解是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系。将方程变形为 ，则方程的解即为两图象交点的横坐标。 【详解】解：将 移项变形，得 。 ∵抛物线 与直线 交于点 和点 ， ∴当 或 时， 成立， 即方程 的解为 或 ， 故选：D。 【练2】（2026庐江柯坦中学9月月考 22）抛物线 过点 ，顶点为 Q；抛物线 （其中 t 为常数）。 (1) 求 a 的值和点 Q 的坐标； (2) 通过计算说明，无论 t 为何值，将 的顶点 Q 向左平移 1 个单位长度后一定落在 上； (3) 当 时， 与 的交点为 A、B，请直接写出 时，x 的取值范围。 【答案】(1) ，；(2) 见详解；(3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、图象的平移、两函数交点与不等式的关系。(1) 代入求 ，配成顶点式得顶点；(2) 求出 Q 平移后的坐标 ，验证其横坐标代入 的函数值与 t 无关；(3) 联立两解析式求交点横坐标，再结合图象的上下位置写 的解集。 【详解】(1) 解：∵抛物线 过点 ， ∴，解得 ， ∴， ∴点 Q 的坐标为 。 (2) 证明：将 向左平移 1 个单位长度，得到对应点 。 当 时，， ∴点 在抛物线 上， 即无论 t 为何值，将 的顶点 Q 向左平移 1 个单位长度后一定落在 上。 (3) 解：当 时，。 联立 ， 得 ，即 ， 解得 ，。 ∴交点 A、B 的横坐标分别为 ，。 如图，当 时， 的图象在 上方， ∴当 时，x 的取值范围为 。 【练3】（2026亳州名校联盟9月检测 14）在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 ，，连接 AB。已知抛物线 。 (1) 当抛物线同时经过 A，B 两点时，h 的值为________； (2) 若抛物线与线段 AB 有公共点，则 h 的取值范围是________。 【答案】(1) ；(2) 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征、抛物线与线段的交点问题，数形结合是解题的关键。(1) 把 A、B 两点坐标分别代入解析式求 h，取公共值；(2) 线段 AB 在直线 上，抛物线与直线 的交点横坐标为 ，抛物线顶点 随 h 在 x 轴上移动，只要两交点之一落在线段 AB 上即有公共点，据此列不等式求 h 的范围。 【详解】(1) 解：∵点 在抛物线上，∴，解得 或 ； ∵点 在抛物线上，∴，解得 或 ， ∴当抛物线同时经过 A，B 两点时，。 (2) 解：线段 AB 在直线 上，其中 。 抛物线 的顶点为 ，开口向上。 令 ，解得 或 ，即抛物线与直线 的两交点横坐标为 和 。 抛物线与线段 AB 有公共点，需满足 且 ， 解得 且 ， ∴h 的取值范围是 。 【练4】（2026淮南9月月考 10）二次函数 （m 是常数，且 ）的图象经过点 ，一次函数 的图象经过点 。当 时，有四个命题： ① 当 时，； ② 当 时，； ③ 当 时，； ④ 当 时，。 其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合、图象法比较函数值的大小。先配方得抛物线的对称轴与顶点，联立两解析式求出交点，画出 时的草图，再由两图象的上下位置关系及交点位置逐个判断。 【详解】解：，其图象对称轴为直线 ，顶点为 。 联立 ， 解得 或 ， 即两图象交于 、 两点。 当 时，画出两函数的大致图象如图所示（G9M-P36-Q10-A.png）。 ① 当 时，抛物线在直线上方，，命题①正确； ② 当 时，抛物线在直线上方，，命题②正确； ③ 当 时，该值在交点 的上方，由图象可知抛物线上对应的点总在直线上对应点的右侧，，命题③正确； ④ 当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ，即 不一定成立，命题④错误。 综上，正确的命题个数为 3 个， 故选：C。 　题型六 待定系数与图象综合解答 方法要领　先由对称点/表格待定系数求解析式，再由交点分界看图象写解集。 【例】（2026合肥50中天鹅湖期中 20）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于 、 两点，与 y 轴交于点 C，点 C、D 是二次函数图象上一对对称点，一次函数 的图象过点 B、D。 (1) 直接写出点 C、D 的坐标； (2) 求二次函数的解析式； (3) 根据图象求 的解集。 【答案】(1) ，；(2) ；(3) 或 【分析】本题考查二次函数的对称性、待定系数法求解析式、根据两函数图象的交点确定不等式的解集。(1) 由 A、B 横坐标得对称轴，令 得 C，再由对称性得 D；(2) 待定系数法将 A、B 代入求 、；(3) 直线过 B、D，两图象交点的横坐标为 、，看图象上下位置写解集。 【详解】(1) 解：∵二次函数 的图象与 x 轴交于 、 两点， ∴对称轴为直线 。 令 ，得 ，∴。 ∵点 C、D 是二次函数图象上一对对称点， ∴。 (2) 解：将 、 代入 ，得 ，解得 ， ∴二次函数的解析式为 。 (3) 解：∵一次函数 的图象过点 、， ∴抛物线 与直线 交于 、 两点，交点横坐标为 和 。 由图象可知，当 或 时，抛物线在直线下方， ∴ 的解集为 或 。 【练1】（2026安庆期中 16）已知二次函数 的 y 与 x 的部分对应值如下表： …… …… …… …… (1) 求这个二次函数的表达式； (2) 在所给坐标系中画出这个函数的图象； (3) 当 x 的取值范围为________时，。 【答案】(1) ；(2) 图象见详解；(3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、描点法画图、由图象求不等式的解集。(1) 由表知图象过 、，设交点式 ，代入 求 ；(2) 顶点为 ，描点画图；(3) 令 解方程得分界点，由图象高低位置定范围。 【详解】(1) 解：根据表格，设二次函数的表达式为 ， 把 代入得：，解得 ， ∴，即 。 (2) 解：抛物线的顶点坐标为 ，开口向下，再取点 、、 等描点画图，如图所示（G9M-P13-Q16-2.png）。 (3) 解：当 时，， 即 ，解得 ，。 由图象可得：当 时，图象在直线 上方， ∴当 时，x 的取值范围为 。 【练2】（2026合肥38中9月月考 18）已知二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的几组对应值如下表： …… …… …… …… (1) 求二次函数的表达式； (2) 直接写出不等式 的解集。 【答案】(1) ；(2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式的关系，看懂表格是解题的关键。(1) 选取 、、 三点代入求 、、；(2) 由 时 及对称性（ 与 函数值相等得对称轴 ）求出另一交点 ，结合开口方向写解集。 【详解】(1) 解：由题意得 ， 解得 ， ∴二次函数的表达式为 。 (2) 解：令 ，则 ，即 ， 解得 ，。 ∵，抛物线开口向上， ∴不等式 的解集为 。 【练3】（2027亳州蒙城9月阶段检测 15）已知抛物线 的对称轴为直线 ，形状和开口大小与抛物线 相同，但开口方向相反。 (1) 求该抛物线对应的函数表达式； (2) 当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？ 【答案】(1) ；(2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质。由对称轴确定 ，由"形状和开口大小相同、开口方向相反"确定 ；(2) 由开口方向与对称轴，结合增减性写出 y 随 x 增大而增大时 x 的取值范围。 【详解】(1) 解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， ∴。 ∵该抛物线与抛物线 形状和开口大小相同，开口方向相反， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为 。 (2) 解：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∴当 时，y 随 x 的增大而增大。 【练4】（2027六安汇文中学9月月考 16）已知抛物线 经过点 ，。 (1) 求 a，b 的值； (2) 若 ， 是抛物线上不同的两点，且 ，求 m 的值。 【答案】(1) ，；(2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征。(1) 将两点坐标代入得二元一次方程组，解出 、；(2) 先求出 时的函数值 ，得 ，再由 在图象上解方程，注意"不同的两点"需检验舍去增根。 【详解】(1) 解：∵抛物线 经过点 ，， ∴， 解得 ， ∴，。 (2) 解：由 (1) 得抛物线的解析式为 ， 当 时，， ∴。 ∵点 在抛物线上， ∴，即 ， 解得 ，。 当 时，点 即 ，与点 重合，与"不同的两点"矛盾，舍去， ∴m 的值为 。 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分58分） 一、选择题（每小题4分） 1．（4分）（2026清华附中合肥学校期中 6）二次函数 与一次函数 的图象交于点 和点 ，要使 ，则 x 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式（组）的关系：利用两个函数图象的上下位置关系求自变量的取值范围。抛物线开口向下，两交点横坐标为 2 和 4，两交点之间抛物线在直线上方，据此求解。 【详解】解：∵抛物线 开口向下，与直线 交于 、， ∴当 时，抛物线的图象在直线的上方，即 ， ∴x 的取值范围是 ， 故选：C。 2．（4分）（2026合肥市期中 6）根据下列表格的对应值，判断关于 x 的方程 的一个解 x 的范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的根。根据表格得到当 时函数值为正、当 时函数值为负，由函数图象的连续性可知两值之间存在使函数值为 0 的 x，即可得解。 【详解】解：由表格可知：当 时，； 当 时，， ∴当 时，存在一个 x 的值，使 ， 即方程 的一个解 x 的范围是 ， 故选：C。 3．（4分）（2026合肥45中菱湖分校9月月考模拟 3）二次函数 的图象与 x 轴交于 、B 两点，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．A、B 两点之间的距离为 7 D．当 时，y 随 x 值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质。先用待定系数法求出 a，得解析式后逐项判断对称轴、顶点、交点距离与增减性。 【详解】解：∵二次函数 的图象与 x 轴交于 ， ∴，解得 ， ∴二次函数的解析式为 ， ∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故 A、B 均错误； 令 ，则 ，解得 ，， ∴，∴，故 C 错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，且 ， ∴当 时，y 随 x 值的增大而增大，故 D 正确， 故选：D。 二、填空题（每小题5分） 4．（5分）（2026长丰县抽测期中 11）已知二次函数 的图象如图所示，则 时，对应的 x 的取值范围为________。 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与不等式的关系，充分利用数形结合、准确识图是解题的关键。由图象与 x 轴的交点结合开口方向直接写出解集。 【详解】解：由图象可知，抛物线 与 x 轴的交点分别为 、，且开口向上， 当图象位于 x 轴下方时 ， ∴当 时，对应的 x 的取值范围为 ， 故答案为：。 5．（5分）（2026合肥市期中 12）若二次函数 与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是________。 【答案】 且 【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点与判别式的关系、二次函数的定义。与 x 轴有两个交点 ⟺ ，同时二次项系数不能为 0，两个条件同时满足。 【详解】解：根据题意得： 且 ， 由 解得 ， ∴k 的取值范围是 且 ， 故答案为： 且 。 6．（5分）（2026蒙城9月月考 12）二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，其对称轴为直线 ，则由图象可知，不等式 的解集为________。 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与不等式的关系。先由对称性和一个交点求出另一个交点，再结合开口方向写出不等式的解集。 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线 ，与 x 轴的一个交点为 ， ∴另一个交点的横坐标为 ，即另一个交点为 。 由图象可知抛物线开口向下，图象在 x 轴上方时 ， ∴不等式 的解集为 ， 故答案为：。 7．（5分）（2026合肥市期中 13）设抛物线 ： 的顶点为 D，与 y 轴的交点是 C。我们称以 C 为顶点，且过点 D 的抛物线为抛物线 l 的"伴随抛物线"。请写出抛物线 的伴随抛物线的解析式________。 【答案】 【分析】本题以新定义为背景考查待定系数法求二次函数解析式。先求出原抛物线的顶点 D 和与 y 轴交点 C，由定义知"伴随抛物线"以 C 为顶点、过点 D，故设顶点式求解。 【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，与 y 轴的交点为 ， ∴其伴随抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ， 设其解析式为 ，即 ， 将 代入，得 ，解得 ， ∴伴随抛物线的解析式为 ， 故答案为：。 三、解答题（8分+8分+10分） 8．（8分）（2026庐江柯坦中学9月月考 20）已知二次函数 的图象经过 ， 两点。 (1) 求 b 和 c 的值； (2) 当 时，求 y 的取值范围。 【答案】(1) ，；(2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质。(1) 把 A、B 两点坐标代入解析式求 b、c；(2) 配成顶点式，由对称轴在区间内判断最小值在顶点处取得，最大值在离对称轴较远的端点处取得。 【详解】(1) 解：∵二次函数 的图象经过 ， 两点， ∴，解得 ， 即 b 的值为 ，c 的值为 2。 (2) 解：由 (1) 得 ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 。 ∵，且 ，即区间内 离对称轴最近、 离对称轴最远， ∴当 时，y 取得最小值 ； 当 时，y 取得最大值 ， ∴当 时，y 的取值范围是 。 9．（8分）（2026合肥百校联考9月月考 18）已知抛物线 （a，b 是常数，）。 (1) 若此抛物线的图象经过点 和 ，求此抛物线的解析式； (2) 若 ，当 时，函数 y 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围。 【答案】(1) ；(2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质。(1) 将两点代入解析式解方程组即可；(2) 由 写出对称轴，"当 时 y 随 x 的增大而增大"需要开口向上（）且对称轴不越过 的右侧，据此列不等式求范围。 【详解】(1) 解：将 和 代入 ，得 ，即 ， 解得 ， ∴此抛物线的解析式为 。 (2) 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 。 ∵当 时，函数 y 随 x 的增大而增大， ∴，且 ， 即 ，由 得 ，解得 ， ∴a 的取值范围为 。 10．（10分）（2026淮南9月月考 19）如图，二次函数 的图象经过点 。 (1) a 的值为________； (2) 点 在该二次函数的图象上，则 n 的值为________； (3) 请根据图象，求不等式 的解集。 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、函数值、图象法解不等式。(1) 代入 点求 a；(2) 把 代入解析式求 n；(3) 令 解方程得图象与直线 交点的横坐标，结合开口方向由图象写出低于直线 的部分对应的 x 范围。 【详解】(1) 解：把 代入 ，得 ， 解得 ， 故答案为 2。 (2) 解：由 (1) 知二次函数的解析式为 ， 当 时，，即 ， 故答案为 11。 (3) 解：令 ，则 ，即 ， 解得 ，。 ∵抛物线开口向上，图象在直线 下方时 ， ∴不等式 的解集为 。 11．（2026合肥五十中新校期中 20）已知二次函数 ，其中 m 为实数。 (1) 求证：不论 m 为何值，这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点； (2) 设这个二次函数的图象与 x 轴交于点 和 ，且 ，求这个二次函数的解析式。 【答案】(1) 见详解；(2) 或 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、根与系数的关系。(1) 计算 ，证其为正常数即可；(2) 两交点横坐标即对应方程的两根，由根与系数的关系写出 、，代入 求 m，注意结果有两个。 【详解】(1) 证明：令 ，得方程 ， ∴， ∴不论 m 为何值，这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点。 (2) 解：由根与系数的关系，得 ，。 ∵， ∴， 即 ， 整理得 ，解得 或 。 当 时，（此时两根为 、，检验符合）； 当 时，（此时两根为 、，检验符合）。 ∴这个二次函数的解析式为 或 。 期中专项复习 · 九年级教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $