21.3 二次函数与一元二次方程&微课堂 利用抛物线的对称性解题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

专题二二次函数在自变量取值 可知：当y<0时，自变量x的取 范围内的增减性与最值 值范围为一1<x<3. 1.(1)减小02一15 14.(1)a=-2. (2)增大2235 (2)y=-2x2+16x+8. (3)1135 15.(1)-22 2.103.0m≤34.D5.B6.D (2)由(1)得，直线和抛物线的表 7.-2≤m≤-2 1 达式为：y=-x+2,y=x2 2x,联立上述两个函数表达式并 21.3二次函数与一元二次方程 1.-12.-53.B4.B 解得 不符合 y=3 (y=0 5m<-是 6.C 题意，舍去)，即点B的坐标为 7.x<-1或x>38.C9.C (-1,3),从图象看，不等式x2+ 10.D11.B12.D mx>-x十b的解集为x<-1 13.(1)证明略. 或x>2; (2)对称轴为直线x=一1，顶点 (3)①当点M在线段AB上时， 坐标为（一1,0） ,M,N的距离为3，而A、B的 14.(1)0 水平距离是3，故此时只有一个 (2)图略 交点，即-1≤cM<2; (3)答案不唯一.如： ②当点M在点B的左侧时，线 ①函数y=x2一2|x的图象关 段MN与抛物线没有公共点； 于y轴对称；②当x>1时，y随 ③当点M在点A的右侧时，当 x的增大而增大 cM=3时，抛物线和MN交于抛 (4)①33②2③-1<a<0 物线的顶点(1，一1)，即xw=3 微课堂利用抛物线的对称性解题 时，线段MN与抛物线只有一 【变式应用1】x=号 0 个公共点，综上所述，一1≤xw< 2或xM=3. 【变式应用2】x1=3,x2=-1 21.4二次函数的应用 【变式应用3】y=y<2 第1课时二次函数在面积最值 专题三二次函数的图象与字母 问题中的应用 系数之间的关系 1.C2.24√3 一全国中考热点 3.当AE=50m时，市民健身活动场 1.三2.C3.D4.C5.B6.D 所的面积达到最大 专题四函数图象信息题 一全国中考热点 4.(1)S=- 3x2+4x,0<x≤5； 1.D2.D3.124.C5.A 阶段提升自测（一） (2)当x=5时，Sn=35 3 1.B2.D3.A4.C5.A6.B5.C6.C7.75 7.A 8.(1)S=x(28-x)=-x2+28x. 8.C9.y=-x2+1(答案不唯一) |x≥6 (2)由题意，得 10.y2<y1<y311.812.2 28x≥15解得 13.(1)y=x2-2x-3=(x-1)2- 6≤x≤13，由二次函数S=一x 4,顶点坐标为(1，一4)，对称轴 +28.x=-(x-14)2+196,可知 x=1. 在6≤x≤13的范围内，S随x的 (2)二次函数的图象如图.由图象： 增大而增大， 28 .当x=13时，Sx=-(13-14)2+ 经过(5,1)时，1=- ×25+8 8 196=195(m). 9.(1)(50-2x)②y=-4x2+40x ×5+1+1,解得：n= 17 ;当经过 +1500(12≤x≤18) (2)设费用为w元，由题意得， (7,1)时，1= ×49+g×7 =50(-4x2+40x+1500)+40× +1+1,解得：n= 41.17 4x(x-10)=-40(x-5)2+ 7…5≤n≤ 76000,.一40<0，故抛物线开口 号，n为整数，∴符合条件的n 4 向下，函数的对称轴为x=5,当x 的整数值为4和5. >5时，随x的增大而减小， 第3课时二次函数的综合应用 而12≤x≤18，故当x=18(m)1,C2.B3.D4.B 时，w有最小值为69240（元）， 5.(1)y=-10x2+110x+2100(0x 即当绿化区较长边为18m时，健 ≤15，且x为整数). 身广场投资费用最少，最少费用 (2)y=-10x2+110x+2100=- 为69240（元）. 10(x-5.5)2+2402.5, 第2课时建立二次函数模型 0<x≤15，且x为整数， 解决实际问题 ∴.当x=5或6时，ymz=2400,此 1.C2.B3.2√64.能 时售价为50+x=55或56. 5.该大门的高h为5m. 答：当售价定为每件55或56元， 6.600 7.40m&是m 每个月的利润最大，最大的月利 润是2400元. 9.(1)y=- 2+3x 6.B7.D 8.(1)当0<x≤20且x为整数时，y (2)方案二的内部支架节省材料. =40;当20<x≤60且x为整数 理由如下：方案一：由题意，得OB =3m,OC=9m,当x=3时，y= 时，y=一 x+50:当>60且x 3-6+9=翠，即AB= 为整数时，y=20. (2)设所获利润（元），①当0< m,同理可求CD- 4m,…方 x≤20且x为整数时，y=40,.w =(40-16)×20=480元， 案一内部支架材料长度为AB十 NP+cD-+9+智-号m,方 ②当20<x≤60且x为整数时，y 1 =-2x+50,w=(y-16)x= 案二：OB=4m,OC=8m,EF= B'C=4m,同理可求A'B′=8m, (-7x+50-16)x=-22+ CD'=8m,∴.方案二内部支架材 料长度为A'B'+EF+CD'=8 34x=-2(x-34)2+578, +4+8=20m,5>20, ”-2<0当x=34时，如最 方案二的内部支架节省材料。 大，最大值为578元 10.(1)C的最高点坐标为(3,2)， 答：一次批发34件时所获利润最 大，最大利润是578元. a=- 9c=1. 9.(1)y=0.08x2+0.9x. (2)由题意，可知接到沙包处点 (2)该司机是因为超速行驶导致 的坐标范围是(5,1)~(7,1)，当 了交通事故，理由如下： 29 在y=0.08x十0.9x中，令y=99 (3)由题意，可得新抛物线的表达 得：99=0.08z2+0.9x,解得：x= 式为y=一 2+++星 30或x= 165(舍去)， .'30m/s=108km/h>100km/h, 2+x3,令y=-2+ 4 4 该司机是因为超速行驶导致了 x+3=0,解得：五-1士5(m) 3 交通事故 (舍去负值)，故水柱落地处离池中 (3)由题意，得0.08x2十0.9x= 0.12x2+x,∴.0.04x2+(3-0.9)x 心的距离为(1十√5)m =0,10≤≤20x=09 5.(1)y= 20x+40 0.04’ 102a<2解得品号 (2)由题意，可知购买数量位于200 阶段提升自测（二） 与40之间，(-员x+40)x 1.(1)球抛出后经2秒回到起点. 7280,解得0=280，x2=520 (2)0.2s或1.8s后球离起点的高 (舍去). 度达到1.8m. (3)当200≤≤400时，w-(-0x (3)球离起点的高度不能达到 6m,理由如下：h=10t一5t=一5 +40-15）x=-02+25x= (t-1)2+5,当t=1时，h最大值 为5，∴.球离起点的高度不能达 20x-250y2+3125, 到6m. ∴.当x=250时，w有最大值，最 2.(1)y= 16+2x+1. 1 1 大值为3125；当400<x≤600 时，批发量固定，批发量越大，则 (2)令x=5得y= 25+5+1 16+2 利润越大，.当x=600时，利润 =1.9375>1.55,∴.此球能过网. 最大，最大值为600×(20-15) 3)令y得：+号x+1 =3000<3125(元)， ∴.当x=250时，批发部获得的利 -器解得x=1(含去)或x=7, 润最大，最大利润是3125元. 专题五 二次函数与几何图形的综合 .乙与球网的水平距离为7一5 1.(1)y=2x2-8x+6 =2m. (2)(n,2-8n十6) 3.(1)y=-3x2+24x5≤x<8 (2)由题意，得一3x2+24x=36, (3)Pc=-2(-)'+, 化简得x2-8x+12=0,解得 PC>0,∴.当n= =2(舍去)，m=6.即AB的长度 时，线段nC 为6m. (3)y=-3x2+24x=-3(x-4)2十 最大值为智 2.(1)点B(8,0),点C(0,4), 48(5≤x<8),.a=-3<0,开口 向下，∴.当x=5时，y大值=48-3(5 y-r+x+4 一4)2=45.故最大面积为45m2. 4a0A=是 (2):SAm=PE·0D,SE (2)图略，P所在抛物线的解析式为 =号PE,DB,Ss=Sae+ 4 S△PEB= 2PE0B,:点D,0 3021.3二次函数 01基础达标 知识点一 二次函数的图象和x轴的交点坐标 与对应的一元二次方程的根之间的 关系 1.已知二次函数y=一x2+2x十k的部分图象如 图所示，若关于x的一元二次方程一x2十2x十 k=0的一个解0=3，则另一个解2= x=2 第1题图 第6题图 2.已知二次函数y=x2十3x-3的图象与x轴两 交点为(，0)，(2,0)，则2十2的值为 知识点二二次函数的图象与x轴交点个数与 对应的一元二次方程的根的判别式 之间的关系 3.抛物线y=x2十3x+2与x轴的交点个数为 () A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4.二次函数y=kx2一6x+3的图象与x轴有两 个交点，则k的取值范围是 ) A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 5.若二次函数y=一x2+3x十m的图象全部在x 轴的下方，则m的取值范围为 知识点三利用二次函数求一元二次方程的根 的近似值 6.下列表格是二次函数y=a.x2十bx十c的自变量 x与函数值y的对应值，判断方程a.x2十bx十 c=0(a≠0，a,b,c为常数)的一个根x的范围是 ( 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c-0.03-0.010.02 0.04 A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 C17 与一元二次方程 知识点四二次函数与一元二次不等式 7.如图是二次函数y=a.x2十bx +c图象的一部分，对称轴为 直线x=1,若该抛物线与x轴 一交点为A(3,0),则由图象可 知，不等式ax2+bx十c<0的解集是 易错点1混淆“与x轴交点”与“与坐标轴交点” 8.抛物线y=一x2+4x一4与坐标轴的交点个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 易错点2忽视函数是一次函数的情况 9.若函数y=(m-1D2-6x+号m的图象与t 轴有且只有一个交点，则m的值为 A.-2或3 B.-2或-3 C.1或-2或3 D.1或一2或一3 02能力提升 10.(2025·广东)二次函数y=a.x2十bx+c (a≠0)的图象如图所示，下列说法中，错误的是 】 A.对称轴是直线x=2 B.62-4ac0 C.a+c=b D.a+6>-c 11.对于二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)，我们把 使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零 点，则二次函数y=x2-mx-5(m为实数)的 零点的个数是 ) A.1 B.2 C.0 D.不能确定 12.(2025·台州)抛物线y=ax2一a(a≠0)与直 线y=kx交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，若 十x2<0,则直线y=ax十k一定经过() A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 18 13.已知二次函数y=kx2+(k+1)x+1(k≠0). (1)求证：无论k取任何实数，该函数的图象 与x轴总有交点 0 (2)如果该函数的图象与x轴只有一个交点， 其中，m= 求该函数图象的对称轴和顶点坐标. (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐 标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请 画出该函数图象的另一部分 (3)观察函数图象，写出两条函数的性质 (4)进一步探究函数 图象发现： ①函数图象与x轴有 个交点，所以对 3 应的方程x2一2x= 0有 个不相等的 实数根； ②方程x2-2x|=2有 个不相等的实 数根； ③关于x的方程x2一2x=a有4个不相等的 14.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2一2x的 实数根时，a的取值范围是 图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补 充完整， (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y 的几组对应值列表如下： +++微课堂利用抛物线的对称性解题+++ 【解题模型】若抛物线上两个点的坐标为A(x1,y),B(x2,y2),且y1=y2,则A,B两点关于抛物 线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线工=西型 2 【变式应用1】二次函数y=ax2十bx十c图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表： -2-1012… y …04664… 则它的对称轴是直线 ,当x=3时，对应的函数值为 【变式应用2】已知抛物线y=ax2一2ax十c与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则关于x的一元二 次方程ax2一2ax十c=0的解为 【变式应用3】已知二次函数y=ax2+bx十c的图象过点A(1,2),B(3,3),C(5,2).若点M(-2, ),N(-1,y2),K(8,y)也在二次函数y=ax2+bx十c的图象上，则y1,2,的大小关系的 是