专题一 求二次函数的解析式&专题二 二次函数在自变量取值范围内的增减性与最值-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

15 专题一求二次函数的解析式[压轴题第(1)问] 1.(2025·湖南改编)如图，在平面直角坐标系4.(2025·浙江改编)如图，抛物线y=ax2+bx十c 中，抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)交x轴于 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y A,C两点，交y轴于点B,5OA=OB=OC.求 轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线1：x 此抛物线的表达式。 =一1.将抛物线Ⅵ绕点O旋转180°后得到新抛 物线2，求抛物线为和2的表达式 2.(2025·山东改编)已知二次函数y=ax2+bx 十c的最小值是一4，且它的图象经过(0，一3)， (一b,c)两点，其中a,b,c为常数，且ab>0,求 5.(2025·甘孜州改编)定义：二次函数y=a(x 该二次函数的解析式。 一b)2+c和y=一a(x-p)2十q(a≠0)的图象 分别为抛物线C和C1.若抛物线C的顶点Q (p,q)在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛 物线， (1)若二次函数y=一（红一2）2+m和y= 3.(2025·重庆改编)如图，抛物线过点O(0,0), E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上 号x一)十号的图象都是抛物线y=号x (点B在点A的左侧)，点C,D在抛物线上.设 的伴随抛物线，则m= ,n= B(t,0),当t=2时，BC=4.求抛物线的函数表 (2)设函数y=x2一2kx十4k十5的图象为抛物 达式 线C2,若函数y=一x2十dx十e的图象为抛物 线Co,且C2始终是C的伴随抛物线，求抛物 线C的解析式， 16 专题二二次函数在自变量取值范围 内的增减性与最值 知识清单 4.已知二次函数y=x2一2x一3的自变量x1,2, 1.当自变量在特定取值范围内时，二次函数 3对应的函数值分别为Ⅵ，2，为.当一1<< 有最小值或最大值， 0,1<x2<2,x3>3时，y1,y2,y3三者之间的 2.最值的取得和确定可分为三种情况（当 大小关系是（提示：由，点到对称轴的距离大小 a≠0时). 判断) () (1)自变量取值范围在对称轴左边时，则在 A.y<y<y3 B.y2<y3<y1 离对称轴近的端点（右端，点）处取得最小值（或最 C.y3<y<y2 D.y<y<y3 大值) 5.已知二次函数y=一x2+2x,当-1<x<a时， (2)自变量取值范围在对称轴两边时，则在 y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 顶，点处取得最小值（或最大值） () (3)自变量取值范围在对称轴右边时，则在 A.a>1 B.-1<a≤1 离对称轴近的端，点（左端点）处取得最小值（或最 C.a>0 D.-1<a<2 大值) 6.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且 归纳：最值的取得与“自变量取值范围”和 mn<0时，y的最小值为2m,最大值为2m,则 “对称轴”的相对位置有关. m十n的值为 () 解题技巧 A号 B.2 c D 求最值时先确定开口方向与对称轴的位置， 7.已知函数y=x2+x一1在m≤x≤1上的最大 再根据图象确定增减性，求出最值！ 1.已知二次函数y=x2一2x十2. 值是1，最小值是一，求m的取值范围. (1)若-1≤x≤0，y随x的增大而 ；当 x- 时，y有最小值为 ;当x= 时，y有最大值为 (2)若2≤x≤3，y随x的增大而 ;当 x- 时，y有最小值为 ；当x= 时，y有最大值为 (3)若0≤x≤3，当x= 时，y有最小值为 ;当x= 时，y有最大值为 2.当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x十5有 最大值m,则m= 3.已知二次函数y=mr2-2x+1,当x<3时，y 的值随x值的增大而减小，则m的取值范围 是温馨提示：请做完题后再看答案！ 《作业手册》参考答案 第21章二次函数与反比例函数 9.(1)m=-1;(2)略 21.1二次函数 (3)0(4)0-4 1.C 10.函数y=x2的最小值为0，最大 2.(1)a≠2 值为16. (2)a=2,b≠-2 11.D12.(1,1) (2,4)±2 3.(1)y=2x2+2x+1.二次项系数为 13.a1>a2>a4>a 2,一次项系数为2，常数项为1. (2)y=2x十x十2.二次项系数为 14①y是2 2,一次项系数为1，常数项为2. (2)把y=3代人)=是，得云 4.A5.D6.C =2,2=-2,∴.(2,3)(-2,3) 描点略. (3)-2<x<2. 8.-2【变式】1 9.C10.B11.C 15.(1)a=1,k=-1,b=2. 12.y=4x2+260x+4000 (2)令y=一x+2中x=0,则y =2,∴.C(0,2), 1m-1≠0， 13.(1)由题意得 2+2m-1=2, :Sm=20cX111=3×2 解得m=-3. (2)由题意得{ m-1≠0， X1=1,5Am=20Cx1-2到= m2+2m-1=1, 2X2X2=2,∴.SaoB=SAc 解得m=-1土√5， +SAc=1+2=3. 14.1s-d+45(≤15). 21.2.2二次函数y=a.x2+bx十c (2)AB的长是9m 的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十 15.(1)y=7(20-2z)2=2r-40r 的图象和性质 十200，自变量的取值范围是0 1.y=x2+22.B ≤t10. 3.y=-x2+14.C5.B (2)能.理由如下：由题意，得26.D【变式1】>【变式2】> 一40t十200=8，解得=8,2=7.向上y轴(0,2)向下y轴 12(不合题意，舍去) (0,-5) 故当t=8秒时，重叠部分的面8.一10<y≤29.B10.D11.B 积等于8cm2. 12.813.2-4 21.2二次函数的图象和性质 14.能.设平移后图象的函数解析式 21.2.1二次函数y=a.x2的图象 为y=号2+把点(3，-3)代 和性质 1.A2.A 人解析式，得一3=3×32+， 3.(0,0)上y轴>< 低 4.B5.m<2 解得k=一6，所以把函数y一号 6.>【变式1】C【变式2】m<3 x2的图象沿y轴向下平移6个 7.图略 单位长度，得到的新的函数图象 8.A 经过点(3，一3). 25 15.(1)a=- 3c=1. 第3课时y=a(x一h)2十k的 图象和性质 (2)令y-0得：-32+1=0，解1.A【变式2或4 2.B3.C4.D 得：x=土3，∴.抛物线y=ax2+c 5.下x=5>5=5大3 与x轴的交点坐标为(-3,0)，6.(1)a=4; 3,0). (2)M>y2>y3 16.(1)(-4,5)或(4,5) 7.(2,-5)8.C9.A10.D (2)过点M作MELx轴于点E,11.-3≤a≤1 交抛物线)=女+1于点P,此12.（①y=一(x一6+5. 时PF+PM最小，最小值为ME= (2)当y=0时，x1=6+2√15， 3,易求点P5,),PM=3-7 x2-6一2√15（舍去），故可推 出(6+2√/15)m. 4 13.(1)y=(x-1)2-4.点A,点B Ss=×x- 的坐标分别为(-1,0)，(3,0). 8 (2)新抛物线的解析式为y=一(x 第2课时y=a(x一h)2的 -1)2+4. 图象和性质 14.(1)y=-(x-1)2+4,A,B的坐 1.C2.右33.-4-1 标分别为A(-1,0),B(3,0)； 4.D5.A6.D (2)点D的坐标为1,1)或(1w6), 7.(1 第4课时y=a.x2+bx+c的 (2)图象略 图象和性质 (3)当x<-1时，y随x的增大而 1.y=-2(x+1)2+3下x=-1 增大；当x=一1时，函数有最大值. (-1,3) 8.B9.D10.B 2.33.A4.D5.C 11.2>h>为12.a≤4 6.(1)a=-一2.顶点的坐标为（一1,4）. 13.(1)y=-(x+1)2. (2)设抛物线向下平移m个单位 (2)过C点作CD⊥x轴于D点，把 后经过原点，平移后的抛物线解 C(-4,b)代入得b=-(-4+1)2 析式为y=-(x十1)2+4-m,把 =一9，.C点坐标为(-4，一9). (0,0)代入得0=-1十4-m,解得 SAAc=S梯形OD一SA4D一SAOB m=3,所以抛物线向下平移3个单 位后可以经过原点 合×1+9)×4-号×9×3-号 : 7.y=2(d-6x+10)=2[x ×1×1=6. 14.(1)点A,B的坐标分别为(-2,0)， 3)2+11=2(x-3)2+2,顶点 (0,4),抛物线对称轴为x=一2. (2)S△0B=4. 坐标为(3,2). (3)存在.①以OA和OB为邻边8.D9.D10.A11.D12.6 可作平行四边形P1AOB,易求13.(1)a=2,顶点坐标为（一1,2）. 得P1(-2,4):②以AB和OB为 (2)①当m=2时，n=11, 邻边可作平行四边形P2ABO,易 ②点Q到y轴的距离小于2， 求得P2(一2，一4)，故P点的坐标 .|m<2,.-2<m<2, 为(-2,4)或(-2，-4). ∴.2≤n<11. 26 微课堂函数值的大小比较 专题一求二次函数的解析式 【示例】M<y2y<y2y<y2 [压轴题第(1)问] 【变式1】y=y2>y为 1.由抛物线的表达式知，c=一5= 【变式2】y<y<y yB,则OB=5=5OA=OC,则点 【变式3】y>y>y2 A、C、B的坐标分别为：(1,0)、 21.2.3二次函数表达式的确定 (-5,0)、(0,-5), 1.D2.A 设抛物线的表达式为：y=a(x 3.D止=号 (2)1 -3 5 1)(x+5)=a(x2+4x-5)=ax2 +bx-5, 4.y=-x2-2x十3 则a=1,故抛物线的表达式为：y= 5.y=x2+4x-5 x2+4x-5. 2 2.由题意，得c=-3,ab一b十c= 7.y=-x2+2x+3或y=x2-2x-3 4ac-=-4,且ab>0解得：a C 8.B9.A10.y=-4(x+2)2+4 4a 1.=号x-4. =1,b=2,∴.二次函数解析式为 y=x2+2x-3. |a=-1 12.(1) 3.设抛物线解析式为y=ax(x b=-21 10),,当t=2时，BC=4,∴点C (2),y=ax2+bx十3图象过点 的坐标为(2，一4)，∴.将点C坐标 (-m,0)和(3m,0),∴.抛物线的 代入解析式得2a(2-10)=-4, 对称轴为直线x=m,·y=a.x +bx十3的图象过点A(n,3), 解得：a=子，抛物线的函数表 (0,3),且点A不在坐标轴上， 达式为y-x .由图象的对称性得n=2m, 4.设点A、B的坐标分别为：(t,0)、(t ∴m=受：-2<mK-1, 十4,0)，则x=-1=2(1+1十 -2K经<-1.-4K-2 4),解得t=一3，即点A、B的坐标 13.(1)①3②S=+2 分别为：(-3,0)、(1,0)，0C= (2)由图2可得：当点P运动到 OA,则点C(0,3),设抛物线y1的 点B处时，PD=BD=6,当点 表达式为：y=a(x十3)(x-1)= P运动到点A处时，PD=AD a(x2+2x-3),则-3a=3,∴.a= =18,抛物线的顶点坐标为(4,2)， 一1,1=一x2一2x十3，根据图 ∴.BC=√BD-CD=√6-2=2， 形的对称性，y2=x2一2x一3. .抛物线经过点(2,6)， 5.(1)2±1 设S=a(t-4)2+2,将点(2,6) (2).y=x2-2kx+4k十5=(x 代入，得4a十2=6，解得：a=1, )2-+4k十5，.抛物线C2的 .S=(t-4)2+2=2-8t+18, 顶点为(k,一2十4k十5)，C2始终 在Rt△ABC中，AC=AD+CD 是C的伴随抛物线，可令k=0, =3√2+√2=4√2，AB= 顶点为(0,5)；k=1,顶点为(1， √JAC+BC=√(4W2)2+2=6, ∴AB的长为6，抛物线的解析 8》,由题意，得-1十d+e=8 e=5 式为S=2-8t+18(2≤t8), ∴.d=4,e=5.故抛物线C。的解 析式y=-x2+4x+5. 27 专题二二次函数在自变量取值 可知：当y<0时，自变量x的取 范围内的增减性与最值 值范围为一1<x<3. 1.(1)减小02一15 14.(1)a=-2. (2)增大2235 (2)y=-2x2+16x+8. (3)1135 15.(1)-22 2.103.0m≤34.D5.B6.D (2)由(1)得，直线和抛物线的表 7.-2≤m≤-2 1 达式为：y=-x+2,y=x2 2x,联立上述两个函数表达式并 21.3二次函数与一元二次方程 1.-12.-53.B4.B 解得 不符合 y=3 (y=0 5m<-是 6.C 题意，舍去)，即点B的坐标为 7.x<-1或x>38.C9.C (-1,3),从图象看，不等式x2+ 10.D11.B12.D mx>-x十b的解集为x<-1 13.(1)证明略. 或x>2; (2)对称轴为直线x=一1，顶点 (3)①当点M在线段AB上时， 坐标为（一1,0） ,M,N的距离为3，而A、B的 14.(1)0 水平距离是3，故此时只有一个 (2)图略 交点，即-1≤cM<2; (3)答案不唯一.如： ②当点M在点B的左侧时，线 ①函数y=x2一2|x的图象关 段MN与抛物线没有公共点； 于y轴对称；②当x>1时，y随 ③当点M在点A的右侧时，当 x的增大而增大 cM=3时，抛物线和MN交于抛 (4)①33②2③-1<a<0 物线的顶点(1，一1)，即xw=3 微课堂利用抛物线的对称性解题 时，线段MN与抛物线只有一 【变式应用1】x=号 0 个公共点，综上所述，一1≤xw< 2或xM=3. 【变式应用2】x1=3,x2=-1 21.4二次函数的应用 【变式应用3】y=y<2 第1课时二次函数在面积最值 专题三二次函数的图象与字母 问题中的应用 系数之间的关系 1.C2.24√3 一全国中考热点 3.当AE=50m时，市民健身活动场 1.三2.C3.D4.C5.B6.D 所的面积达到最大 专题四函数图象信息题 一全国中考热点 4.(1)S=- 3x2+4x,0<x≤5； 1.D2.D3.124.C5.A 阶段提升自测（一） (2)当x=5时，Sn=35 3 1.B2.D3.A4.C5.A6.B5.C6.C7.75 7.A 8.(1)S=x(28-x)=-x2+28x. 8.C9.y=-x2+1(答案不唯一) |x≥6 (2)由题意，得 10.y2<y1<y311.812.2 28x≥15解得 13.(1)y=x2-2x-3=(x-1)2- 6≤x≤13，由二次函数S=一x 4,顶点坐标为(1，一4)，对称轴 +28.x=-(x-14)2+196,可知 x=1. 在6≤x≤13的范围内，S随x的 (2)二次函数的图象如图.由图象： 增大而增大， 28 .当x=13时，Sx=-(13-14)2+ 经过(5,1)时，1=- ×25+8 8 196=195(m). 9.(1)(50-2x)②y=-4x2+40x ×5+1+1,解得：n= 17 ;当经过 +1500(12≤x≤18) (2)设费用为w元，由题意得， (7,1)时，1= ×49+g×7 =50(-4x2+40x+1500)+40× +1+1,解得：n= 41.17 4x(x-10)=-40(x-5)2+ 7…5≤n≤ 76000,.一40<0，故抛物线开口 号，n为整数，∴符合条件的n 4 向下，函数的对称轴为x=5,当x 的整数值为4和5. >5时，随x的增大而减小， 第3课时二次函数的综合应用 而12≤x≤18，故当x=18(m)1,C2.B3.D4.B 时，w有最小值为69240（元）， 5.(1)y=-10x2+110x+2100(0x 即当绿化区较长边为18m时，健 ≤15，且x为整数). 身广场投资费用最少，最少费用 (2)y=-10x2+110x+2100=- 为69240（元）. 10(x-5.5)2+2402.5, 第2课时建立二次函数模型 0<x≤15，且x为整数， 解决实际问题 ∴.当x=5或6时，ymz=2400,此 1.C2.B3.2√64.能 时售价为50+x=55或56. 5.该大门的高h为5m. 答：当售价定为每件55或56元， 6.600 7.40m&是m 每个月的利润最大，最大的月利 润是2400元. 9.(1)y=- 2+3x 6.B7.D 8.(1)当0<x≤20且x为整数时，y (2)方案二的内部支架节省材料. =40;当20<x≤60且x为整数 理由如下：方案一：由题意，得OB =3m,OC=9m,当x=3时，y= 时，y=一 x+50:当>60且x 3-6+9=翠，即AB= 为整数时，y=20. (2)设所获利润（元），①当0< m,同理可求CD- 4m,…方 x≤20且x为整数时，y=40,.w =(40-16)×20=480元， 案一内部支架材料长度为AB十 NP+cD-+9+智-号m,方 ②当20<x≤60且x为整数时，y 1 =-2x+50,w=(y-16)x= 案二：OB=4m,OC=8m,EF= B'C=4m,同理可求A'B′=8m, (-7x+50-16)x=-22+ CD'=8m,∴.方案二内部支架材 料长度为A'B'+EF+CD'=8 34x=-2(x-34)2+578, +4+8=20m,5>20, ”-2<0当x=34时，如最 方案二的内部支架节省材料。 大，最大值为578元 10.(1)C的最高点坐标为(3,2)， 答：一次批发34件时所获利润最 大，最大利润是578元. a=- 9c=1. 9.(1)y=0.08x2+0.9x. (2)由题意，可知接到沙包处点 (2)该司机是因为超速行驶导致 的坐标范围是(5,1)~(7,1)，当 了交通事故，理由如下： 29 在y=0.08x十0.9x中，令y=99 (3)由题意，可得新抛物线的表达 得：99=0.08z2+0.9x,解得：x= 式为y=一 2+++星 30或x= 165(舍去)， .'30m/s=108km/h>100km/h, 2+x3,令y=-2+ 4 4 该司机是因为超速行驶导致了 x+3=0,解得：五-1士5(m) 3 交通事故 (舍去负值)，故水柱落地处离池中 (3)由题意，得0.08x2十0.9x= 0.12x2+x,∴.0.04x2+(3-0.9)x 心的距离为(1十√5)m =0,10≤≤20x=09 5.(1)y= 20x+40 0.04’ 102a<2解得品号 (2)由题意，可知购买数量位于200 阶段提升自测（二） 与40之间，(-员x+40)x 1.(1)球抛出后经2秒回到起点. 7280,解得0=280，x2=520 (2)0.2s或1.8s后球离起点的高 (舍去). 度达到1.8m. (3)当200≤≤400时，w-(-0x (3)球离起点的高度不能达到 6m,理由如下：h=10t一5t=一5 +40-15）x=-02+25x= (t-1)2+5,当t=1时，h最大值 为5，∴.球离起点的高度不能达 20x-250y2+3125, 到6m. ∴.当x=250时，w有最大值，最 2.(1)y= 16+2x+1. 1 1 大值为3125；当400<x≤600 时，批发量固定，批发量越大，则 (2)令x=5得y= 25+5+1 16+2 利润越大，.当x=600时，利润 =1.9375>1.55,∴.此球能过网. 最大，最大值为600×(20-15) 3)令y得：+号x+1 =3000<3125(元)， ∴.当x=250时，批发部获得的利 -器解得x=1(含去)或x=7, 润最大，最大利润是3125元. 专题五 二次函数与几何图形的综合 .乙与球网的水平距离为7一5 1.(1)y=2x2-8x+6 =2m. (2)(n,2-8n十6) 3.(1)y=-3x2+24x5≤x<8 (2)由题意，得一3x2+24x=36, (3)Pc=-2(-)'+, 化简得x2-8x+12=0,解得 PC>0,∴.当n= =2(舍去)，m=6.即AB的长度 时，线段nC 为6m. (3)y=-3x2+24x=-3(x-4)2十 最大值为智 2.(1)点B(8,0),点C(0,4), 48(5≤x<8),.a=-3<0,开口 向下，∴.当x=5时，y大值=48-3(5 y-r+x+4 一4)2=45.故最大面积为45m2. 4a0A=是 (2):SAm=PE·0D,SE (2)图略，P所在抛物线的解析式为 =号PE,DB,Ss=Sae+ 4 S△PEB= 2PE0B,:点D,0 30