精品解析：山西省吕梁市方山县2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

山西省吕梁市方山县2025-2026学年八年级下学期期末数学试题 说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 化简的结果是（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用二次根式乘法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解： 因此化简结果为． 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 山西博物院藏有一件金代十方形瓷杯，出土于晋南地区窑址，杯口呈正十边形，体现了宋金时期北方制瓷工匠对几何造型的巧妙运用．十边形的内角和为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求多边形的内角和，根据多边形的内角和公式，，进行求解即可． 【详解】解：十边形的内角和为； 4. 如图所示，是的中位线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．根据三角形的中位线定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴ 故选：D． 5. 在圆周长计算公式中，变量有（　　） A. L，π B. L，r C. L，π，r D. 2π，r 【答案】B 【解析】 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 6. 学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里樱桃树苗的生长情况，将樱桃树苗的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的关系记录如下表所示，二者之间是一次函数关系．根据表中的数据，预测樱桃树苗在第50天的高度是（ ） 观察时间天 0 … 30 … 樱桃树苗的高度 6 … 12 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题已知与为一次函数关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，再代入计算对应值即可得到结果. 【详解】解：设该一次函数解析式为， ∵由表格可知，函数过点和， 将代入解析式得 ， 将和代入解析式得：， 解得 ， ∴该一次函数解析式为 ， 将代入解析式得：， 即第天的高度为. 7. 已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，将已知方程组变形后即可得到对应直线，根据方程组的解得到交点坐标． 【详解】解：将已知方程组中的两个方程变形得到， ， ∵方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标是． 8. “这么近，那么美，周末到河北”．某校组织了“古韵今传·最美河北”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是分，分，分，则嘉嘉的最终得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解． 【详解】解：嘉嘉的最终得分（分）． 9. 在WTT常规挑战赛2026太原站比赛期间，组委会对7名乒乓球队成员的赛前训练时长（单位：分钟）进行了统计，数据如下：78，80，85，90，79，82，83．则这组数据的下四分位数（第一四分位数）是（ ） A. 80 B. 82 C. 85 D. 79 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查下四分位数的计算，先将数据从小到大排序，再根据百分位数计算规则确定位置，即可得到结果． 【详解】解：方法1： 将7个数据从小到大排序，得：78，79，80，82，83，85，90， 计算下四分位数位置：，其中， ， 不是整数，按照规则对向上取整得，即下四分位数为排序后的第2个数据， 这组数据的下四分位数是． 方法2： 先求全部数据的中位数， ，中位数是第4个数：， 把数据分成前半段(不含中位数)、后半段(不含中位数) ， 前半段：78，79，80， 后半段：83，85，90， 前半段的中位数就是下四分位数， 前半段3个数，中位数是第2个：79， ∴． 10. 如图，在矩形中，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点作于点，延长交于点，得出四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质进而得出，则，即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， 即， ，， ， ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键． 根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可． 【详解】解：∵在直角中，， 又∵，，， ∴． 故答案为：． 13. 某校进行“秒跳绳测试”，每人跳次，每次限时秒，记录跳绳数（单位：个）．如图，这是甲、乙两名同学次测试的成绩分布折线图，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】比较折线统计图判断出甲、乙跳绳个数的波动范围，即可求解． 【详解】解：甲的跳绳个数在之间波动，乙的跳绳个数在之间波动， ∴． 14. 如图1，有两个完全相同的长方体水槽并排放在水平地面上．水槽A下面垫了一块厚度为的木板（木板放在地面上），水槽B直接放在地面上．初始时，水槽A内水深（从槽底算起），水槽B内无水．两个水槽底部用一根U型管连通，水会从水槽A流向水槽B，直到两个水槽的水面到地面的高度相等时停止．用表示时刻水槽A中从槽底算起的水深（单位：），表示水槽B中从槽底算起的水深（单位：）．与随时间（单位：s）的变化关系如图所示．已知在时，水流刚好停止，则木板的高度为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，设，，根据题意可得，将点代入可得，，即，由题意可得，当时，，即，化简可得，设木板高度为，由题意可得，当时，，即，化简求解即可． 【详解】解：根据函数图像，可设，， 根据题意可得，将点代入可得，，即， 由题意可得，当时，，可得， 化简可得， 设木板高度为， 根据“在时，水流刚好停止”可得，当时，，得到， 从而得到，， 将代入式可得，， 即木板高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从图像中获取信息，表示出的关系式． 15. 如图，在正方形中，对角线的交点为，过点作，垂足为．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，延长交于点，作于点，得出四边形，为矩形，证明，，得出，证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，，． 如图，作于点，延长交于点，作于点， 则， 四边形，为矩形， ． ， 为等腰直角三角形， ， 四边形为正方形， ， ，即． ， ， ， ． ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算和求值 （1）计算：． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：由题意，得， ． 17. 已知一次函数的图象经过原点． （1）求一次函数的解析式． （2）点都在函数图象上，直接写出的长度：______________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图象经过原点将代入计算即可求出k值，即可求解； （2）根据题意求得，进而根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：已知一次函数的图象经过原点， 且， ． ∴ 【小问2详解】 解：∵都在函数图象上， ∴ ∴ ∴ 18. 2026年3月，山西省举办“台商台青走晋来”系列活动，推进晋台产业合作与文化交流．为响应这一活动，某校的小学部与初中部各有1200名学生参加了“宝岛台湾知多少”知识竞赛（满分100分）．学校从两个部各选出20名决赛选手，对他们的成绩进行收集、整理和分析，具体如下． 【收集数据】小学部20名学生测试成绩统计如下： 56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78，84，86，86，86，86，91，92，95． 【整理数据】小学部20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）如图所示． 初中部20名学生测试成绩频数分布表 成绩 人数 0 4 5 7 4 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示． 年级 平均数 中位数 众数 方差 小学部 ▲ ▲ 初中部 81 74 【问题解决】 （1）小学部成绩的中位数为____________，众数为___________．并补全小学部测试成绩频数分布直方图． （2）若以80分为“优秀线”（含80分），请估计全校小学部有多少名学生达到优秀． （3）你认为哪个部对台湾知识的掌握更好？请说明理由． 【答案】（1）77.5；86 补全频数分布直方图，如下图所示： （2）全校小学部大约有480名学生达到优秀 （3）初中部对台湾知识的掌握更好； 理由：初中部学生测试成绩的平均数、中位数均比小学部的高，且初中部的方差较小，故初中部对台湾知识的掌握更好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数定义进行求解即可；先求出小学部20名学生测试成绩中的人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数，中位数，方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：将小学部成绩从小到大进行排序，排在第10的是77分，第11的是78分，则中位数为：； 86分出现次数最多，则众数为86； 小学部20名学生测试成绩中的人数为： （人）， 补全频数分布直方图略； 【小问2详解】 解：（人）． 答：全校小学部大约有480名学生达到优秀． 【小问3详解】 略 19. 某市教体局积极响应“人工智能+教育”的号召，计划采购两款国产智能机器人用于全市中小学科普巡展．经过市场调研，A型机器人单价6.5万元，B型机器人单价11万元．若采购这两种机器人共50台，要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半．请你给出最节省费用的购买方案，并求出最低费用是多少万元． 【答案】购买A型机器人33台、B型机器人17台时费用最省，最低费用为401.5万元 【解析】 【分析】设购买A型机器人台，则购买B型机器人台，列出总费用关于的一次函数关系式，再列不等式求出的取值范围，最后根据一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型机器人台，则购买B型机器人台． 总费用． ∵B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半， ，且， ，且为正整数． ， 越大，总费用越低， ， 此时采购A型机器人33台，B型机器人17台，最低费用为（万元）． 答：购买A型机器人33台、B型机器人17台时费用最省，最低费用为401.5万元． 20. 项目学习 项目背景：为响应山西省“全民健身”号召，解决居民“健身去哪儿”的难题，某街道对使用多年的老旧篮球场进行升级改造，重新铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．篮球场平面图为四边形，已知运动型塑胶地板每平方米150元．综合实践小组的同学围绕“场地面积测量与费用计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 场地面积测量与费用计算 驱动问题 如何计算四边形场地的面积并估算改造费用 活动内容 利用勾股定理及其逆定理进行测量与计算 活动过程 方案说明 实地测量获取数据，通过几何计算确定场地面积，计算地板费用 数据测量 如图， 计算 … 交流展示 … 【答案】购买运动型塑胶地板的费用为元 【解析】 【分析】先根据已知条件求出篮球场四边形的面积，再根据勾股定理及其逆定理判断四边形的形状，再利用相应的面积公式． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， 是直角三角形，且， ，， 四边形的面积为， 购买运动型塑胶地板的费用为元． 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 镜面四边形 【概念理解】 如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“镜面四边形”，如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”，这条对角线叫做它的“镜面轴”． 【问题解决】 问题1：（1）下列四边形一定是“镜面四边形”的有____________（填序号）． ①平行四边形 ②矩形 ③正方形 ④菱形 ⑤梯形 问题2：如图2，在矩形中，是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”（点在四边形内），连接并延长交于点． 求证：四边形是“镜面四边形”． 证明：如图3，连接． ∵四边形是矩形， ， 是的中点， ． ∵将沿折叠后得到， … 任务： （1）问题1中应填_______________． （2）补全问题2的证明过程． （3）如图4，四边形是平行四边形，是边的中点，连接．请你用无刻度直尺和圆规，在平行四边形内找一点，使得四边形是以为镜面轴的“镜面四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）③④ （2）证明：如图3，连接． ∵四边形是矩形， ， 是的中点， ． ∵将沿折叠后得到， ， ， ． 在和中， ， ∴四边形沿折叠完全重合， ∴四边形是“镜面四边形”． （3）如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据“镜面四边形”的定义进行判断即可； （2）证明，则四边形沿折叠完全重合，即可证明结论成立； （3）作以为圆心，为半径画弧交于点F，连接，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“镜面四边形”，据此可知一定是“镜面四边形”的有③正方形和④菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题情境：2026年，山西在“智慧文旅”项目中引入自动驾驶接驳车，解决景区内部“最后一公里”交通问题．该接驳车在景区平直道路上做匀速直线运动，其行驶路程与时间的关系可用一次函数模型描述． 实验数据：在测试中，自动驾驶接驳车从景区入口处（记为A点）出发，沿直线道路向景点匀速行驶．表示车辆距离点的距离，表示从点出发后车辆的行驶时间．当秒时，车辆位于点；当秒时，车辆距离点120米． 数学建模： （1）请直接写出关于的函数解析式． 问题解决： （2）若另一辆自动驾驶接驳车从点出发，先以的速度匀速行驶15秒，然后因避让游客立即刹车，并以的速度匀速行驶，最终在距点450米处的景点处停下．求刹车后关于的函数解析式，并计算该车从点出发到景点所用的总时间．（刹车时间忽略不计） （3）景区规划在点与点之间的道路上设置一个临时上下客点．要求：点到点的距离是点到点的距离的两倍；从点出发的接驳车，若先到点再到点，则段的行驶时间比段的行驶时间多6秒．已知该接驳车从点到点全程保持匀速行驶．求A，B两点之间的距离． 【答案】（1） （2），该车从点出发到景点所用的总时间为 （3）米 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，根据待定系数法求解即可． （2）根据接驳车的运动速度与时间的关系求解函数解析式即可，再令求解的值即可． （3）设米．由“点到点的距离是点到点的距离的两倍”得到数量关系，再由时间建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 由题意可知，时，；时，； 则有，解得， ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，刹车后关于的函数解析式为． 当时，，解得， ∴该车从点出发到景点所用的总时间为． 【小问3详解】 解：设米． ∵， ∴． ∵段的行驶时间比段的行驶时间多6秒， ∴，解得． 答：A，B两点之间相距216米． 23. 综合与探究 问题情境：在一次数学活动课上，同学们用四根长度相等的木条首尾相接，围成了一个可变形的菱形框架，并对菱形角度改变后的线段关系进行探究． 如图，在菱形中，是线段上不与点D，C重合的点，连接，在射线上取一点，使，连接． （1）如图1，若，在射线上取一点，使，连接． ①求证：． ②判断的形状，并说明理由． （2）如图2，调整菱形框架，使，在射线上取一点，使得，连接．请判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）在菱形中，．点在射线上运动，且始终满足．在射线上取一点，使得，连接．请直接写出线段的长． 【答案】（1）①证明：∵四边形是菱形，， 四边形是正方形， ． 在和中， ， ； ②是等腰直角三角形．理由如下： ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，理由如下： 四边形是菱形，， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是正方形，得到，根据即可证明； ②根据得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明，得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，可知点和点重合，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理得到，根据菱形的性质得到，根据30度角的性质得到，进而求出，得到，求出x的值即可． 【小问1详解】 ①略； ②略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图3，过点作于点， 当时， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点和点重合， 设， ，， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， （负值舍去）， 四边形是菱形，，， ，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省吕梁市方山县2025-2026学年八年级下学期期末数学试题 说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 化简的结果是（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 3. 山西博物院藏有一件金代十方形瓷杯，出土于晋南地区窑址，杯口呈正十边形，体现了宋金时期北方制瓷工匠对几何造型的巧妙运用．十边形的内角和为( ) A. B. C. D. 4. 如图所示，是的中位线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 在圆周长计算公式中，变量有（　　） A. L，π B. L，r C. L，π，r D. 2π，r 6. 学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里樱桃树苗的生长情况，将樱桃树苗的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的关系记录如下表所示，二者之间是一次函数关系．根据表中的数据，预测樱桃树苗在第50天的高度是（ ） 观察时间天 0 … 30 … 樱桃树苗的高度 6 … 12 … A. B. C. D. 7. 已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. “这么近，那么美，周末到河北”．某校组织了“古韵今传·最美河北”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是分，分，分，则嘉嘉的最终得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 9. 在WTT常规挑战赛2026太原站比赛期间，组委会对7名乒乓球队成员的赛前训练时长（单位：分钟）进行了统计，数据如下：78，80，85，90，79，82，83．则这组数据的下四分位数（第一四分位数）是（ ） A. 80 B. 82 C. 85 D. 79 10. 如图，在矩形中，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 13. 某校进行“秒跳绳测试”，每人跳次，每次限时秒，记录跳绳数（单位：个）．如图，这是甲、乙两名同学次测试的成绩分布折线图，则___________（填“”“”或“”）． 14. 如图1，有两个完全相同的长方体水槽并排放在水平地面上．水槽A下面垫了一块厚度为的木板（木板放在地面上），水槽B直接放在地面上．初始时，水槽A内水深（从槽底算起），水槽B内无水．两个水槽底部用一根U型管连通，水会从水槽A流向水槽B，直到两个水槽的水面到地面的高度相等时停止．用表示时刻水槽A中从槽底算起的水深（单位：），表示水槽B中从槽底算起的水深（单位：）．与随时间（单位：s）的变化关系如图所示．已知在时，水流刚好停止，则木板的高度为___________． 15. 如图，在正方形中，对角线的交点为，过点作，垂足为．若，，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算和求值 （1）计算：． （2）已知，求代数式的值． 17. 已知一次函数的图象经过原点． （1）求一次函数的解析式． （2）点都在函数图象上，直接写出的长度：______________． 18. 2026年3月，山西省举办“台商台青走晋来”系列活动，推进晋台产业合作与文化交流．为响应这一活动，某校的小学部与初中部各有1200名学生参加了“宝岛台湾知多少”知识竞赛（满分100分）．学校从两个部各选出20名决赛选手，对他们的成绩进行收集、整理和分析，具体如下． 【收集数据】小学部20名学生测试成绩统计如下： 56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78，84，86，86，86，86，91，92，95． 【整理数据】小学部20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）如图所示． 初中部20名学生测试成绩频数分布表 成绩 人数 0 4 5 7 4 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示． 年级 平均数 中位数 众数 方差 小学部 ▲ ▲ 初中部 81 74 【问题解决】 （1）小学部成绩的中位数为____________，众数为___________．并补全小学部测试成绩频数分布直方图． （2）若以80分为“优秀线”（含80分），请估计全校小学部有多少名学生达到优秀． （3）你认为哪个部对台湾知识的掌握更好？请说明理由． 19. 某市教体局积极响应“人工智能+教育”的号召，计划采购两款国产智能机器人用于全市中小学科普巡展．经过市场调研，A型机器人单价6.5万元，B型机器人单价11万元．若采购这两种机器人共50台，要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半．请你给出最节省费用的购买方案，并求出最低费用是多少万元． 20. 项目学习 项目背景：为响应山西省“全民健身”号召，解决居民“健身去哪儿”的难题，某街道对使用多年的老旧篮球场进行升级改造，重新铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．篮球场平面图为四边形，已知运动型塑胶地板每平方米150元．综合实践小组的同学围绕“场地面积测量与费用计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 场地面积测量与费用计算 驱动问题 如何计算四边形场地的面积并估算改造费用 活动内容 利用勾股定理及其逆定理进行测量与计算 活动过程 方案说明 实地测量获取数据，通过几何计算确定场地面积，计算地板费用 数据测量 如图， 计算 … 交流展示 … 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 镜面四边形 【概念理解】 如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“镜面四边形”，如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”，这条对角线叫做它的“镜面轴”． 【问题解决】 问题1：（1）下列四边形一定是“镜面四边形”的有____________（填序号）． ①平行四边形 ②矩形 ③正方形 ④菱形 ⑤梯形 问题2：如图2，在矩形中，是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”（点在四边形内），连接并延长交于点． 求证：四边形是“镜面四边形”． 证明：如图3，连接． ∵四边形是矩形， ， 是的中点， ． ∵将沿折叠后得到， … 任务： （1）问题1中应填_______________． （2）补全问题2的证明过程． （3）如图4，四边形是平行四边形，是边的中点，连接．请你用无刻度直尺和圆规，在平行四边形内找一点，使得四边形是以为镜面轴的“镜面四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 问题情境：2026年，山西在“智慧文旅”项目中引入自动驾驶接驳车，解决景区内部“最后一公里”交通问题．该接驳车在景区平直道路上做匀速直线运动，其行驶路程与时间的关系可用一次函数模型描述． 实验数据：在测试中，自动驾驶接驳车从景区入口处（记为A点）出发，沿直线道路向景点匀速行驶．表示车辆距离点的距离，表示从点出发后车辆的行驶时间．当秒时，车辆位于点；当秒时，车辆距离点120米． 数学建模： （1）请直接写出关于的函数解析式． 问题解决： （2）若另一辆自动驾驶接驳车从点出发，先以的速度匀速行驶15秒，然后因避让游客立即刹车，并以的速度匀速行驶，最终在距点450米处的景点处停下．求刹车后关于的函数解析式，并计算该车从点出发到景点所用的总时间．（刹车时间忽略不计） （3）景区规划在点与点之间的道路上设置一个临时上下客点．要求：点到点的距离是点到点的距离的两倍；从点出发的接驳车，若先到点再到点，则段的行驶时间比段的行驶时间多6秒．已知该接驳车从点到点全程保持匀速行驶．求A，B两点之间的距离． 23. 综合与探究 问题情境：在一次数学活动课上，同学们用四根长度相等的木条首尾相接，围成了一个可变形的菱形框架，并对菱形角度改变后的线段关系进行探究． 如图，在菱形中，是线段上不与点D，C重合的点，连接，在射线上取一点，使，连接． （1）如图1，若，在射线上取一点，使，连接． ①求证：． ②判断的形状，并说明理由． （2）如图2，调整菱形框架，使，在射线上取一点，使得，连接．请判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）在菱形中，．点在射线上运动，且始终满足．在射线上取一点，使得，连接．请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $