山西阳泉市第六中学校2025-2026学年第二学期期末八年级数学学业质量检测

**基本信息** 这份八年级期末数学试卷以生活实践（梯子使用、快递计费）、文化传承（《考工记》）和社会热点（直播带货）为情境，通过二次根式、勾股定理、函数等核心知识考查，体现数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式、勾股定理、一次函数等|结合《考工记》考矩形判定，梯子问题应用勾股定理| |填空题|4/12|一元二次方程、函数图象、最值问题|环卫工打扫图象提取信息，正方形中PE+PB最小值用转化思想| |解答题|6/64|统计分析、几何证明、函数综合|直播带货考方程组与一次函数最值，两函数交点探究面积与存在性|

2025—2026学年第二学期期末八年级学业质量检测 数学 一选择题：每题小题3分，共24分. 1.二次根式的运算属于实数混合运算的一种，在运算二次根式加减时，往往要先化成最简二次根式，再进行加减，请你在以下选项中选出最简二次根式（ ） A. B. C. D. 2.周末大扫除时，小明需要把一把梯子斜靠在竖直的墙面上去擦拭高处的窗户。已知梯子的底端距离墙根 米，梯子顶端距离地面的高度为 米。假设墙面与地面垂直，梯子、墙面和地面刚好构成一个直角三角形（，），请问这把梯子的长度（即斜边 ）是多少米？ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3.气象站记录显示，某地的气温 （℃）随时间 （小时）的变化规律符合函数关系 ；若时间满足，则对应的 气温， 的关系是？ A. B. C. D. 不能确定 4.战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”。随后通过技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法。如图，下列条件能判定平行四边形 是矩形的是（ ） A. B. C. D. 5.设计师正在规划一个菱形状的花坛。为了测量花坛的边长，他在对角线交点和一边的中点之间拉了一根测距绳，测得 的长度为米。利用几何知识，你能算出这个菱形花坛的总周长是多少米吗？ A. B. C. D. 6.学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案。甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元。若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示。当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？ A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 7.小红在一张正方形 的纸上进行折纸创作。她在对角线 上标记了一点，使得线段 的长度等于正方形的边长。连接 后，她想知道 的大小是多少度，以便进行下一步裁剪。 A. B. C. D. 8.如图，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，ABP的面积为关于的函数图象如图2所示，若，则矩形的周长为 （ ） 二填空题：每题小题3分，共12分. 9.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 10.环卫工打扫公园，某天上午累计打扫面积与工作时间的函数关系图象如下．已知这天上午环卫工打扫中途休息了一段时间。由图象可知，环卫工休息之后每小时打扫的面积为___________． （10题） （11题） （12题） 11.教学楼的南偏东60°方向，距离教学楼P 90米有食堂A，它沿北偏东30°方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为_______米． 12．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是对角线AC上一动点，连接PE、PB，则PE+PB的最小值是__________． 三解答题：本题共6题小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 13.计算（15分） （1）　　(2) (3) 14. （8分）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出 ，（填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 15．（9分）如图，在三角形支架中， (1)求BD的长； (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由． 16.（10分） 农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产．已知销售1盒普洱茶和2盒鲜花饼，共可获利50元；销售2盒普洱茶和3盒鲜花饼，共可获利85元． （1）求每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润； （2）若该直播间计划购进两种特产共1000盒，其中普洱茶的数量不少于200盒，且不超过鲜花饼数量的，该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 17.（10分）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，延长至点E，延长至点F，使， (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 18.（12分）如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）问：在x坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 案和解析 1.【答案】A 【解析】被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；=，可化简；，可化简；，可化简，因此选。 2.【答案】A 【解析】墙面与地面垂直，构成直角三角形，由勾股定理得，因此梯子长度为5米。 3. 【答案】C 【解析】直线中，y 随 x 的增大而增大。因为 ，所以。 4.【答案】D 【解析】平行四边形判定矩形：对角线相等的平行四边形是矩形。BO=DO仅说明是平行四边形；判定菱形；AB=BC说明邻边相等，是菱形；AC=BD可判定平行四边形ABCD为矩形。 5.【答案】C 【解析】菱形对角线互相平分，O 为 BD 中点，又 M 为 DC 中点，所以 OM 是△DBC 的中位线。由 ，OM=2，可得 AD=4。菱形周长 = 4×4=16。 6.【答案】C 【解析】两家费用相等时，5x=3x+10，移项得2x=10，解得x=5，即包裹重量为5千克时费用相同。 7.【答案】B 【解析】正方形中 AB=AD，∠ADC=90°，∠DAE=45°。由 AE=AB 得 AE=AD，△ADE 为等腰三角形，∠ADE=(180°-45°)÷2=67.5°，因此∠CDE=90°-67.5°=22.5°。 8.【答案】B 【解析】设 BC=a，CD=b，结合函数图象可知矩形邻边为 a、b。已知 b-2a=5，解得 a=4，b=5。矩形周长 = 2 (a+b)=2×(4+5)=18。 9 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 10 50 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系．由图象可知，休息后，环卫工2小时的播种面积为，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：50． 11．150 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的应用 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，，米，米， ， 在中，根据勾股定理得， （米）， 故此时与教学楼的距离为150米． 12. 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【详解】解：如图，连接交于点， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴ ∵点和关于对称， 当与重合时，的最小值即为的长， 在中，根据勾股定理，得 ． 的最小值为 故答案为． 13 (1) (2) (3).； 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算，解一元二次方程 【详解】（1）解： ………………………………………………………………………………………………………..3分 ；………………………………………………………………………………………………………………………………5分 （2）解： ……………………………………………………………………………………………………3分 ………………………………………………………………………………………………………………………5分 （3）解： ，……………………………………………………………………………………………………………2分 或 ，…………………………………………………………………………………………………4分 解得.………………………………………………………………………………………………………………5分 其它方法按步骤给分 14. 【答案】(1)84，乙…………………………………………………………………………2分 (2)70，90，96…………………………………………………………………..……………………………5分 (3)见解析…………………………………………………………………………………….……………………8分 【难度】0.65 【详解】（1）解：（分）， ∵，，且， ∴乙的测试更稳定； 故答案为：84，乙； （2）解：将甲的成绩从小到大排列为60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， 所以，， 故答案为：70，90，96； （3）解：绘制甲的箱线图如下： 15.【答案】 (1)解：∵， ∴， 1分 在中，，， ∴ 2分 在中，， ∴ 3分 ∴的长为； 4分 (2)为直角三角形，理由如下： 5分 由（1）知，， ∴， 6分 ∵，， ∴，， ∴， 8分 ∴ ∴是直角三角形． 9分 16. 解：（1）设每盒普洱茶的利润为a元，每盒鲜花饼的利润为b元………1分 由题意得，……………………………………………..……2分 解得，………………………………………………………………4分 故每盒普洱茶的利润为20元，每盒鲜花饼的利润为15元．………5分 （2）设购进普洱茶x盒，销售总利润为y元， 由题意得y＝20x+15（1000﹣x）＝5x+15000，…………………………6分 根据题意可知，………………………………………7分 解得200≤x≤400，………………………………………………………8分 ∵5＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝400时，y取得最大值，最大值为5×400+15000＝17000， 此时，鲜花饼的数量为1000﹣400＝600（盒），…………………9分 故购进普洱茶400盒，鲜花饼600盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为17000元．…………………………………………………10分 17.（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ......................2分 ∵， ， ......................3分 四边形是矩形； ......................4分 （2）解： .......................5分 理由：由（1）知，四边形是矩形， ∴， ......................6分 ， ， ∴， ∴， ， ..........................8分 ， ∴， ∴． ......................10分 18.解：（1）把x＝2代入y1＝2x﹣2得y＝2， ∴C（2，2）， ..........................1分 设y2＝kx+b（k≠0）， ..........................2分 把B（0，6），C（2，2）代入可得： ， ..........................3分 解得：， ..........................4分 ∴y2＝﹣2x+6． ..........................5分 （2）∵一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A， ∴A（0，﹣2）， ..........................6分 ∴； ..........................8分 （3）存在，理由如下： P在x轴上时，设直线y1＝2x﹣2与x轴交于点D， ∴D（1，0）， ∴， ∴， ∴|PD|＝8， ∵D（1，0）， ∴点P的坐标为（﹣7，0）或（9，0）， 综上，在坐标轴上，存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC，点P的坐标为（﹣7，0）或（9，0）． ........ ................12分 学科网（北京）股份有限公司 $