4.3 一元一次方程解决问题 暑期预习学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学七年级上册

4.3 一元一次方程解决问题 一、学习目标 1、熟练掌握列一元一次方程解应用题的五步标准解题流程，书写规范、步骤完整。 2、精准掌握五类核心题型的固定等量关系，突破应用题找相等关系的难点。 3、能独立解决和差倍分、分配、行程、工程、利润基础应用题，建立方程建模思想。 二、学习重难点 1、重点：应用题五步解题法；五类经典题型的等量关系建模。 2、难点：从复杂文字中提取隐藏等量关系；行程、工程、利润问题的模型套用。 三、情景导入（生活化趣味导入） 校园义卖活动中，一件饰品进价 8 元，加价 50% 卖出，一共卖出 20 件，你能快速算出总利润吗？ 已知：一件饰品进价 8 元，加价 50% 卖出，一共卖出 20 件 思考：用小学算术方法解题局限很大，很容易混乱、试数麻烦。 如果我们不知道数量就设为未知数，顺着题意直接列式，解题就会简单很多。 今天我们就学习：用一元一次方程解决各类生活中的问题。 四、课前自主预习 所有一元一次方程应用题，统一步骤： 1、审：读题，找已知量、未知量，锁定等量关系； 2、设：设未知数（带单位，优先直接设元）； 3、列：根据等量关系列一元一次方程； 4、解：规范解方程； 5、答：检验结果是否符合现实（人数、时间、数量不为负），完整作答。 解题灵魂：一切方程，源于等量关系！ 五、课堂合作探究 探究一：和差倍分问题 核心等量：根据 “和、差、倍、多、少” 直接列式 例题 1：一个数的 3 倍比它的 2 倍多 15，求这个数。 解：设这个数为 。 等量关系：3 倍的数 − 2 倍的数 = 15 解得： 答：这个数是 15。 探究二：分配问题（抓不变量） 核心等量：两种分配方案中总数量不变 例题 2：把练习本分给学生，每人分 4 本剩 20 本；每人分 6 本缺 10 本。求学生人数和总本数。 解：设学生有 人。 总本数不变：第一种总本数 = 第二种总本数 解得： 总本数：（本） 答：学生 15 人，练习本共 80 本。 探究三：行程问题（中考高频） 基础公式：路程 速度 时间 核心等量：相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 例题 3（相遇问题） 甲乙两人从相距 300 米的两地同时出发，相向而行。甲每秒走 4 米，乙每秒走 6 米，几秒后两人相遇？ 解：设 秒后两人相遇。 等量关系：甲走路程 + 乙走路程 = 总距离 解得： 答：30 秒后两人相遇。 探究四：工程问题（必考难点） 固定思路：把总工程看作单位 “1” 基础公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 例题 4 一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。两人合作，多少天可以完成这项工程？ 分析： 甲效率：，乙效率： 合作效率 = 甲效率 + 乙效率 解：设两人合作 天完成。 通分： 解得： 答：两人合作 6 天可以完成。 探究五：利润销售问题（生活应用） 三大公式 1、利润 售价 进价 2、利润率 3、售价 进价 例题 5 一件商品进价 200 元，按标价八折出售后，仍可获利 20%，求商品标价是多少元？ 解：设商品标价为 元。 实际售价： 实际利润：进价 等量关系：售价 − 进价 = 进价 × 利润率 解得： 答：这件商品标价为 300 元。 六、课堂易错汇总 1、不写等量关系、直接列方程，步骤缺失； 2、行程、工程问题不带入对应公式，凭感觉列式； 3、工程问题忘记把总量看作单位 1； 4、利润问题混淆标价、售价、进价； 5、解完不检验，出现人数、天数为小数或负数。 七、课堂限时检测 1、一个数的 4 倍减去 10 等于 26，求这个数。 2、一堆苹果分给同学，每人分 5 个剩 8 个，每人分 7 个缺 6 个，求人数。 3、甲乙两车相距 480km，相向而行，甲车 60km/h，乙车 40km/h，几小时相遇？ 4、一项工作甲单独 5 天完成，乙单独 10 天完成，合作几天完成？ 5、一件衣服进价 100 元，打九折卖出获利 35 元，求标价。 参考答案 1、， 2、， 3、， 4、， 5、， 八、课堂小结 本节课单课时掌握五大模型： 1、和差倍分：抓关键词列式； 2、分配问题：抓总量不变； 3、行程问题：抓路程和 / 差； 4、工程问题：总量为 1、效率相加； 5、利润问题：套用售价、进价、利润公式。 通用解题逻辑：找等量→设未知数→列方程→求解→检验作答 九、课后作业 1、整理本节课五类例题，完整抄写解题步骤； 2、独立完成教材对应课后习题； 3、熟记行程、工程、利润三类问题公式。 同步练习 一．选择题 1．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他（　　） A．不赚不赔 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元 2．如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（　　） A．16cm2 B．20cm2 C．80cm2 D．160cm2 3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（　　） A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5 4．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（　　） A．54 B．27 C．72 D．45 5．桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：4：5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？（　　） 底面积（平方公分） 甲杯 60 乙杯 80 丙杯 100 A．5.4 B．5.7 C．7.2 D．7.5 6．如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（　　） A．10克 B．15克 C．20克 D．25克 7．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（　　） A．60元 B．66元 C．75元 D．78元 8．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（　　） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 9．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（　　） A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶 10．一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（　　）cm3． A．80 B．70 C．60 D．50 二．填空题 1．甲、乙两个图书馆各有一批数学类藏书．若从甲馆调数学类藏书90本到乙馆，此时乙馆数学类藏书是甲馆的2倍；若从乙馆调数学类藏书若干本到甲馆，此时甲馆数学类藏书是乙馆的3倍．则甲图书馆原有数学类藏书最少　 　 本． 2．甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地同时出发，匀速相向而行，甲的速度为50km/h，乙的速度为40km/h，出发后　 　 小时后，两车相距30km． 3．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 　 　 千米． 4．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为 　 　 元． 5．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排 　 　 名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 三．解答题 1．在闽侯，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300粒，学徒3小时与熟练工2小时制作的肉燕粒数相同，求熟练工和学徒每小时各包多少粒肉燕． 2．甲、乙两地相距72千米，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以v1千米/时、v2千米/时的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2小时，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地． （1）v1＝　 　 v2＝　 　 ； （2）出发多长时间，两车相遇？ （3）出发多长时间，两车相距30千米？ 3．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 4．下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）． 用水量 单价 x≤22 a 剩余部分 a+1.1 （1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值； （2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？ 5．如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米． （1）出发后　 　 分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇； （2）如果用记号（a，b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：设在这次买卖中原价都是x元， 则可列方程：（1+25%）x＝135 解得：x＝108 比较可知，第一件赚了27元 第二件可列方程：（1﹣25%）x＝135 解得：x＝180， 比较可知亏了45元， 两件相比则一共亏了18元． 故选：C． 2．【解答】解：设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是4cm，第二次剪下的长条的长是x﹣4cm，宽是5cm， 则4x＝5（x﹣4）， 去括号，可得：4x＝5x﹣20， 移项，可得：5x﹣4x＝20， 解得x＝20 4x＝4×20＝80（cm2） 所以每一个长条面积为80cm2． 故选：C． 3．【解答】解：（1）当甲、乙两车未相遇时，根据题意，得120t+80t＝450﹣50， 解得 t＝2； （2）当两车相遇后，两车又相距50千米时， 根据题意，得120t+80t＝450+50， 解得 t＝2.5． 故选：A． 4．【解答】解：设原数的个位数字是x，则十位数字是9﹣x． 根据题意得：10x+（9﹣x）＝10（9﹣x）+x+9 解得：x＝5，9﹣x＝4 则原来的两位数为45． 故选：D． 5．【解答】解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x， 根据题意得：60×10+80×10+100×10＝60×3x+80×4x+100×5x， 解得：x＝2.4， 则甲杯内水的高度变为3×2.4＝7.2（公分）． 故选：C． 6．【解答】解：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克， 根据题意得：m＝n+40； 设被移动的玻璃球的质量为x克， 根据题意得：m﹣x＝n+x+20， x（m﹣n﹣20）（n+40﹣n﹣20）＝10． 故选：A． 7．【解答】解：设4月份用了煤气x立方， 则60×0.8+（x﹣60）×1.2＝0.88×x， 解得：x＝75， 75×0.88＝66元， 故选：B． 8．【解答】解：设共胜了x场，则平了（14﹣5﹣x）场， 由题意得：3x+（14﹣5﹣x）＝19， 解得：x＝5，即这个队胜了5场． 故选：C． 9．【解答】解：设妈妈买的饮料一共有x瓶，则第一天喝了（x+0.5）瓶，那么剩下（xx﹣0.5）瓶， 则第二天喝了（xx﹣0.5）+0.5（瓶），那么剩下（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]（瓶）， 所以第三天喝了{（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]}+0.5（瓶）， （x+0.5）+[（xx﹣0.5）+0.5]{（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]}+0.5＝x， 解得x＝7． 故选：C． 10．【解答】解：设体积为v，则v﹣10×2＝10×4， 解得v＝60． 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：设甲图书馆原有藏书x本，乙图书馆原有藏书y本，从乙馆调n本到甲馆，其中x，y，n均为正整数． 根据题意可得， 将①代入②得：x+4n＝3（2x﹣270）移项整理得： 5x＝4n+810 变形得：， ∴n＞0，且5x﹣810能被4整除． 由n＞0得，解得x＞162． 当x＝163时，5×163﹣810＝5，不能被4整除，不符合题意； 当x＝164时，5×164﹣810＝10，不能被4整除，不符合题意； 当x＝165时，5×165﹣810＝15，不能被4整除，不符合题意； 当x＝166时，5×166﹣810＝20，能被4整除，符合题意； ∴x的最小值为166． 故答案为：166． 2．【解答】解：设出发x小时后，两车相距30km， 当相遇前相距30km时，50x+40x+30＝400， 解得：x； 当相遇后相距30km时，50x+40x﹣30＝400， 解得：x， ∴出发后或小时后，两车相距30km． 故答案为：或． 3．【解答】解：设A港和B港相距x千米． 根据题意，得， 解之得x＝504． 故填504． 4．【解答】解：设该商品每件的进价为x元，则 150×80%﹣10﹣x＝x×10%， 解得 x＝100． 即该商品每件的进价为100元． 故答案为：100． 5．【解答】解：设制作大花瓶的x人，则制作小饰品的有（20﹣x）人，由题意得： 12x×5＝10（20﹣x）×2， 解得：x＝5， 20﹣5＝15（人）． 答：要安排5名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 故答案为：5． 三．解答题 1．【解答】解：设熟练工每小时包x粒肉燕，则学徒每小时包（x﹣300）粒肉燕， 根据题意得：3（x﹣300）＝2x， 解得x＝900， ∴x﹣300＝900﹣300＝600， 答：熟练工每小时包900粒肉燕，学徒每小时包600粒肉燕． 2．【解答】解：（1）由题意得：v136（km/h），v212（km/h）， 故答案为：36km/h，12km/h； （2）设出发x小时后两车相遇， 根据题意得：36（x﹣2）+12x＝72×2， 解得x， 答：出发小时后两车相遇； （3）设出发t小时后两车相距30km， ①在工程车还未到达乙地，即当0＜t＜2时，36t﹣12t＝30，解得t； ②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，12t+30＝72，解得t； ③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t≤6时，未相遇时：36（t﹣2）+12t+30＝72×2，解得t（不合题意，舍去）， 相遇后：36（t﹣2）+12t﹣30＝72×2，解得t； 答：出发、、小时，两车相距30km． 3．【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+15）件， 根据题意得：22x+30（x+15）＝6000， 解得：x＝150， ∴x+15＝90． 答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件． （2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元． （3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得：（29﹣22）×150+（4030）×90×3＝1950+180， 解得：y＝8.5． 答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售． 4．【解答】解：（1）由题意可得：10a＝23， 解得：a＝2.3， 答：a的值为2.3； （2）设用户用水量为x立方米， ∵用水22立方米时，水费为：22×2.3＝50.6＜71， ∴x＞22， ∴22×2.3+（x﹣22）×（2.3+1.1）＝71， 解得：x＝28， 答：该用户用水28立方米． 5．【解答】解：（1）∵两个人的速度之和是85米每分钟，分钟后两人第一次相遇．如果要两人在顶点相遇， 则：每个人所走的路程均为10的整数倍，且两个人所走路程之和为10+40n（n是整数）． S＝10+40n，n为0、1、2、3…n ① S甲＝55t可以被10整除 t为2、4、6…② S乙＝30t也可以被10整除 t为甲方取值即可， ∵S＝S甲+S乙， 整理得：55t+30t＝10+40n，即：85t＝10+40n， ∴n③， 由①②③得：当t＝2时，两人第一次在顶点相遇． 此时甲走了110米，乙走了60米，相遇在点D． （2）甲、乙相遇则两者走时间相同， 设甲走x米，则乙走xx米， ∵要相遇在正方形顶点， ∴x和x都要为10的整数倍且xx﹣10x﹣10为40的整数倍（除第一次走10米相遇，以后每次相遇都要再走40米）， ∴（a）×85＝40（b﹣1）+20， 由上式可知：当a＝6时，甲走了330米，甲走到点B， 乙走了180米，乙走到点D， 解得：b＝13． 故答案为：（6，13） 学科网（北京）股份有限公司 $