第19讲 代数式 小升初衔接讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

3.1.1 代数式 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 目标 1　理解用字母表示数的意义 通过实际情境体会 「字母可以像数一样参与运算」；理解 用字母表示数具有一般性与不唯一性（同一个量可以选任意字母来表示），发展 符号意识。 目标 2　掌握代数式的概念 能说出 用运算符号（+、−、×、÷、乘方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式；理解 单独的一个数或一个字母也是代数式；能准确 辨别代数式与等式、不等式的区别。 目标 3　熟练掌握代数式的书写规范 能自觉运用 8 条书写规范（含省乘号、数在前、1 与 −1 省略、带分数化假分数、相同字母写成幂、字母按顺序排列、除法写分数、单位加括号），让每一次书写都 符合数学的「简明与严谨」。 二、重难点 重点 ① 理解用字母表示数的意义（一般性 + 不唯一性）；　② 掌握代数式的概念（含单独的数或字母也是代数式）；　③ 熟练运用 8 条书写规范；　④ 能根据实际情境列出简单的代数式。 难点 ① 代数式 vs 等式 vs 不等式 的严格区分（代数式没有等号、没有不等号）；　② 书写规范的细节坑（1·a=a、−1·a=−a、a·a=a²、带分数化假分数、n÷2 写成分数 ）；　③ 从「具体的数」到「表示数的字母」的 抽象飞跃。 易错点 ① 把等式 / 不等式误判为代数式 —— x = 1 是等式（有等号）不是代数式；a > 2 是不等式（有不等号）也不是代数式；代数式的核心是「式」而不是「关系」。 ② 漏省乘号或次序错 —— 数与字母相乘：5·a 应写成 5a，绝不能写成 a5；两字母相乘：a·b 应写成 ab。 ③ 1 与 −1 未省略 —— 1·a 要写成 a（1 省略），(−1)·a 要写成 −a（1 也省略，只留负号）。 ④ 带分数未化假分数 —— 1 · a 必须化为 ，否则 1a 会误读为 1 + a，歧义即错误。 ⑤ 相同字母相乘未写成幂 —— a·a 要写成 a²，a·a·a 要写成 a³；此处呼应学过的乘方。 ⑥ 除法未写成分数形式 —— n ÷ 2 应写成 ；有单位时要给单位加括号：每千克 s 元，2 千克应写成 2s 元（不是 s × 2 kg）。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】小学学过的字母表示数 —— 5 大运算律 小学阶段，我们用字母表示过 加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律；分配律。请填空复习，感受「字母代替数」如何让规律更简明。 运算律 字母表示 用具体数字验证 加法交换律 a + b = b + a 3 + 5 = 5 + 3 = 8 ✓ 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 ✓ 乘法交换律 a × b = b × a 4 × 7 = 7 × 4 = 28 ✓ 乘法结合律 (a × b) × c = a × (b × c) (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5) = 30 ✓ 乘法分配律 (a + b) × c = a × c + b × c (2 + 3) × 4 = 2×4 + 3×4 = 20 ✓ 【教学建议】这张表的关键不在「填对答案」，而在让学生感受：同一条规律，用具体数字表述要写无数条（3+5、4+7、100+200…），而用字母只需一行！这就是「字母代替数」的第一价值 —— 一般性。 【回顾二】生活里的字母表示数 —— 判断题 下列生活场景中，哪些是「用字母表示数」的例子？请填 √ 或 ×，并说明字母代表什么。 生活情境 是否 ？ 字母代表什么 ？ A 老师说：「今天我们班有 n 位同学请假」 √ n 代表请假人数（未确定的具体数量） B 快递单上写：「重量 x 千克，运费 y 元」 √ x 代表重量、y 代表运费（两个变量） C 数学作业写：「x = 1」 ×（这是等式） 这是方程，不是「用字母表示数」，是「求 x 的值」 D 温度计上写：「t ℃」 √ t 代表温度（可正可负、可整可小数） E 数学书上写：「圆周率 π ≈ 3.14」 √（特殊） π 是一个确定的无理数常量（不可数不可点算，用字母表示的近似） 【核心提醒】D、E 两行是本节的 命门 —— 学生要意识到：字母不仅可以代表 未知的、变化的数（如 n、x、t），也可以代表 确定的常量（如 π）。而 C 行的 x=1 是 等式，是「关系」不是「式」，不属于「用字母表示数」的表达。 【情境导入】小明爷爷的银行存款问题 生活情境　小明的爷爷去银行做了一笔 1 年定期存款，存入 a 元；存款时的 1 年期利率是 3.50 %。请思考： 1. 到期后，爷爷取出的 本息合计 p 元，应该怎么用 a 表示 ？ 1. 如果爷爷存的是 5000 元，那 p 是多少 ？如果存的是 10000 元 呢 ？ 1. 如果换成 2 年期（利率 3.75%），本息合计又是多少（简单利息法，不考虑复利）？ 答案　 (1) 利息 = 本金 × 利率 × 时间 = a × 3.50% × 1 = 0.035 a，本息 p = a + 0.035 a = 1.035 a（元）。 (2) 代入 a = 5000：p = 1.035 × 5000 = 5175 元；代入 a = 10000：p = 1.035 × 10000 = 10350 元。 (3) 2 年期本息 = a + a × 3.75% × 2 = a + 0.075 a = 1.075 a（元）。 【三层递进的价值】(1) 用字母 a 表示 —— 一次表达适用所有本金；(2) 代入具体数字 —— 字母可以像数一样参与运算；(3) 换个情境 —— 同样的方法适用于 2 年期、3 年期、任意年期， 「用字母表示数」的三大价值：一般性 + 可运算 + 可推广。 【教学建议】本情境是新版教材 3.1 开篇的官方情境。请务必让学生 先用具体数字（5000、10000）算一遍，再引导到「用字母 a 一次搞定」的写法，形成 「从算术到代数」的抽象飞跃。这是第 3 章的立章基点，也是学生代数思维的起点。 四、新知探究 ★ 探究一　苹果采摘机器人（智慧农业） 情境　某品牌 苹果采摘机器人 平均每 1 秒完成 5 m² 范围内的苹果识别，并对成熟苹果进行采摘；它的一个 机械手每 8 秒可以采摘 1 个苹果。请回答： 1. 该机器人 10 秒 / 60 秒 / t 秒 分别能识别多大范围的苹果 ？ 2. 该机器人识别 n m² 范围内的苹果，需要多少秒 ？ 3. 若该机器人搭载 10 个机械手 与采摘工人同时工作 1 小时，已知工人平均 12 秒采摘 1 个苹果，则机器人比工人 多采摘多少个苹果 ？ 答案　 (1) 识别范围 = 每秒识别范围 × 时间 = 5 × 时间； 10 s → 5 × 10 = 50 m²； 60 s → 5 × 60 = 300 m²； t s → 5 t m²（这就是 用字母表示数 —— 一次表达适用所有时间点）。 (2) 时间 = 识别范围 ÷ 每秒识别范围 = n ÷ 5 = 秒 (3) 1 小时 = 3600 秒； 机器人 10 个机械手：1 个机械手 8 秒 1 个 → 3600 ÷ 8 = 450 个；10 个机械手 → 450 × 10 = 4500 个； 工人：3600 ÷ 12 = 300 个； 机器人比工人 多采摘 4500 − 300 = 4200 个。 【价值提炼】(1)(2) 是正比例关系（时间与范围成正比）；(3) 是综合应用（乘法、除法、减法），字母参与运算就像数一样自然。 ★ 探究二　其他实际情境（用字母写代数式） 请用字母写出下列情境中的量，感受「字母与数一样参与运算」。 1. 船速问题　一条河的 水流速度是 2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h。用式子表示：船在这条河 顺水行驶 与 逆水行驶 的速度。 1. 正方形问题　一个正方形的边长是 a，用式子表示这个正方形的 周长 l 与 面积 S。 1. 管道铺设问题　某工程队铺设一条 总长 m km 的管道，n 天完成。用式子表示这支工程队 平均每天铺设的管道长度。 答案　 (1) 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 = v + 2.5 (km/h)； 逆水速度 = 静水速度 − 水流速度 = v − 2.5 (km/h)（隐含约束 v > 2.5，否则船就停或倒退）。 (2) 周长 l = 4 × 边长 = 4 a（数在前字母在后 · 省乘号）； 面积 S = 边长 × 边长 = a · a = a²（相同字母相乘写成幂 · 承接 2.2.5）。 (3) 平均每天铺设 = 总长度 ÷ 天数 = m ÷ n = (km)（除法写成分数形式）。 【三个情境的共性】加减乘除幂都用上了 —— 字母就是数，服从与数完全一样的运算法则。 ★ 探究三　代数式的定义 回顾探究一、二列出的式子：5 t、、v + 2.5、v − 2.5、4 a、a²、，还有情境导入的 1.035 a、0.035 a、3n…… 它们都是用 运算符号（+、−、×、÷、乘方） 把 数 或 表示数的字母 连接起来的式子。请归纳： 概念 含义与要点 代数式 用 运算符号（加、减、乘、除、乘方） 把 数 或 表示数的字母 连接起来的式子。 特殊约定 单独的一个数 或 单独的一个字母 也是代数式。例如 5、−3、0、π、a、x 都是代数式。 不是代数式的典型 ① 等式（有 = 号）：如 x = 1、2a + 1 = 5、a + b = b + a；　② 不等式（有 <、>、≤、≥、≠ 号）：如 a > 2、x ≤ 0、m ≠ n。 【一句话口诀】代数式是「式」不是「句」—— 没有等号、没有不等号；有等号就是等式（方程），有不等号就是不等式。所以判定代数式的第一步：看有没有 = 或 <、>、≤、≥、≠。 ★★ 探究四　代数式的书写规范（8 大条 · 本节亮点） 代数式的书写有 严格的规范，否则会产生歧义。请对照下表，每一条都要在草稿本上练一遍。 # 规则 规范写法 易错反例 ① 字母 × 字母 ： 省乘号 a × b = a b a × b（× 不省） ② 数 × 字母 ： 数在前 · 省乘号 5 × a = 5 a a5（数在后）、5·a（乘号未省） ③ 1 或 −1 与字母 ： 1 省略 1 · a = a　　(−1) · a = −a 1 a、−1 a（1 未省） ④ 带分数 × 字母 ： 化为假分数 1½ · a = （即 3a/2） 1½ a（会误读为 1 + ½a） ⑤ 相同字母相乘 ： 写成幂 a · a = a²　　a · a · a = a³ aa、aaa（未写成幂） ⑥ 多个字母相乘 ： 按字母表顺序 3 · b · a = 3 a b 3 b a（字母顺序乱） ⑦ 数 ÷ 字母 ： 写成分数 n ÷ 2 = （即 n/2） n ÷ 2（÷ 号未去） ⑧ 代数式后跟单位 ： 加括号 (v + 2.5) km/h　(3 a + 5) 元 v + 2.5 km/h（单位归属不清） 【8 条规范的核心思想】规范不是「刁难学生」，而是「让全世界的数学家都能读懂同一个式子」。以「1½a」为例：中国老师能猜到是 3a/2，但美国老师可能猜是 1 + a/2。规范 = 无歧义 = 通用的数学语言。 五、例题精讲 例 1　判断下列各式是否为代数式 下列各式：π、x² + 5、1 − 3x = 0、a b、a > 2、0、　中，是代数式的有 ？共 ？ 个。 答案　共 5 个：π、x² + 5、a b、0、1/a。 (1) π ✓ —— 单独一个数（虽是无理数），是代数式； (2) x² + 5 ✓ —— 运算符号连接数与字母，是代数式； (3) 1 − 3x = 0 ✗ —— 有等号 → 是等式（方程），不是代数式； (4) a b ✓ —— 两字母相乘（省乘号），是代数式； (5) a > 2 ✗ —— 有不等号 → 是不等式，不是代数式； (6) 0 ✓ —— 单独一个数，是代数式； (7) 1/a ✓ —— 数与字母除法（写成分数），是代数式。 【三条判定要诀】① 有 = → 等式（不是代数式）； ② 有 <、>、≤、≥、≠ → 不等式（不是代数式）； ③ 只有加、减、乘、除、乘方、开方连接的数或字母 → 代数式 ✓ 例 2　按书写规范改写下列代数式（8 题） 将下列代数式按 8 条书写规范 改成规范写法（如已经规范则打 √）： # 原式 规范写法 依据 (1) 5 · a 5 a 规则 ②：数在前 · 省乘号 (2) a · 5 5 a 规则 ②：数在前 (3) 1 · a a 规则 ③：1 省略 (4) (−1) · a −a 规则 ③：−1 省略，只留负号 (5) 1 · y 规则 ④：带分数化为假分数 (6) a · a · b a² b 规则 ⑤：相同字母写成幂 (7) 3 · b · a 3 a b 规则 ⑥：字母按 a→b→c 排列 (8) n ÷ 2 规则 ⑦：除法写成分数 【常见错误提醒】(4) 学生易漏负号写成 a；(5) 是 8 题里最难的，必须先把1 化成 再乘 y；(6) 学生易写成 aab（未写成幂）；(7) 学生易保持原序写成 3ba。 例 3　列代数式（5 题） 用代数式表示下列数量关系： 1. 比 a 的 2 倍大 1 的数 答案　2 a + 1　（先算「a 的 2 倍」= 2a，再算「比它大 1」= 加 1） 1. x 与 y 的和的一半 答案　　（先算和 x+y，再取一半 → 和上要加括号！ 不然「一半」只作用于 y） 1. a、b 两数的和与差的积 答案　(a + b)(a − b)　（「和」= a+b、「差」= a−b、「积」= 两者相乘 → 和与差都要加括号！） 【伏笔】这个式子在 8 年级学「平方差公式」时会再见 —— (a+b)(a−b) = a² − b²， 1. x 的平方与 y 的差 答案　x² − y　（先算 x 的平方 = x²，再算「与 y 的差」= 减 y；语文陷阱：「x 的平方与 y 的差」= x² − y，「x 与 y 的平方的差」= x − y²，两个式子完全不同！） 1. 三个连续整数中，中间一个是 n，写出这三个数的和 答案　3 n　（连续三整数：n−1、n、n+1；和 = (n−1) + n + (n+1) = 3n —— 中间数的 3 倍，这是一个漂亮的代数事实。） 【拓展埋伏】类似地，连续 5 个整数的和 = 5 × 中间数；连续 7 个奇数的和 = 7 × 中间数；这是代数式的力量 —— 一次证明适用于所有情形。 六、当堂检测 Part 1　判断下列各式是否为代数式（5 题） # 式子 是否 ？ 理由 (1) 3 x + 5 √ 是 —— 运算符号连接数与字母 (2) x + y = 10 × 否 —— 有 = 号，是等式 (3) π r² √ 是 —— 数（π）与字母的乘方相乘 (4) x + 3 > 5 × 否 —— 有 > 号，是不等式 (5) −2 a b + 1 √ 是 —— 运算符号连接数与字母 Part 2　按书写规范改错（4 题） # 原式 规范写法 依据规则 (1) a · 3 · b 3 a b 数在前 + 字母按字母表排 (2) x ÷ y 除法写成分数 (3) 1 · x · x · y x² y 1 省略 + 相同字母写成幂 (4) 3 s 元 3 s（元） 代数式后跟单位加括号 Part 3　列代数式（4 题） 1. 苹果 5 元/千克，买 x 千克需付 ？ 元。 答案　5 x（元）　—— 数 × 字母 · 数在前 · 单位加括号 1. 长方形长 a 米、宽 b 米，其面积 ？，周长 ？。 答案　面积 = a b（m²）　周长 = 2(a + b)（m）　—— 和要加括号 1. 一件衣服原价 x 元，打 8 折后现价 ？ 元。 答案　0.8 x（元）　—— 打 8 折即原价的 80% = 0.8 倍 1. 小明有 a 元，买了 3 支笔（单价 b 元），还剩 ？ 元。 答案　(a − 3 b)（元）　—— 减法结果作单位前面时要加括号 Part 4　★ 综合应用 · 银行存款回扣 情境　小明向银行存入 5000 元，年利率为 r %，n 年到期取出本息（简单利息法，不考虑复利），请回答： 1. 1 年到期，本息合计 ？ 元； 2. n 年到期，本息合计 ？ 元； 3. 若 r = 3.50，n = 3，本息为多少 ？ 答案　 (1) 利息 = 本金 × 利率 × 时间 = 5000 × r% × 1 = 50 r（元），本息 = (5000 + 50 r)（元）； (2) n 年利息 = 5000 × r% × n = 50 r n（元），本息 = (5000 + 50 r n)（元）； (3) r = 3.50，n = 3：本息 = 5000 + 50 × 3.50 × 3 = 5000 + 525 = 5525 元。 【综合价值】此题串起：① 用字母 r、n 表示利率与时间；② 8 条书写规范（50rn 数字在前 · 字母按顺序）；③ 代数式后跟单位加括号；④ 具体数值代入求值。 七、思维导图 · 一图看懂代数式 3.1.1 代数式 │ ┌────────────┬─────────┴─────────┬────────────┐ │ │ │ │ 字母表示数 代数式的定义 书写规范 判定要诀 │ │ │ │ ┌──────┴──────┐ │ ┌─────┴──────┐ │ 一般性 可运算 用运算符号连接 8 大条 看等号 / 不等号 可推广 字母也是数 (省乘号 · 数在前 │ │ │ · 1省 · 化假分数 ┌─┴─────┐ │ 单独数/字母 也是 · 写成幂 · 字母序 有=→等式（否） │ 代数式：5、π、a 都是 · 分数 · 单位括号) 有</>→不等式（否） │ │ 都没有 → 代数式（是） ▼ ▼ ▼ ▼ 从算术到代数 区别等式/不等式 写代数的"礼仪" 判定第一步 【三大口诀】 ① 「字母就是数」 —— 字母服从与数完全一样的运算法则； ② 「代数式是式不是句」 —— 没有等号、没有不等号； ③ 「规范 = 无歧义」 —— 8 条书写规范让全世界数学家都能读懂同一个式子。 【一句话总结】代数式是学生 从「一个具体的数」走向「一类数的一般性表达」的第一次抽象飞跃，从今以后，数学从「算算术」升级为「用符号思考」。 八、分层作业 🅰 基 础 层 🅰-1　判断题（判断下列各式是否代数式，6 题） # 式子 是否 ？ 理由 (1) 0 √ 单独一个数 (2) a + b = c × 有等号，是等式 (3) x² √ 字母的乘方 (4) π √ 单独一个数（无理数常量） (5) 3 x + 2 < 5 × 有不等号，是不等式 (6) √ 字母的除法（分数形式） 🅰-2　书写规范改错（6 题） # 原式 规范写法 (1) a · 7 7 a (2) 1 · m m (3) (−1) · n −n (4) y · y · y · y y⁴ (5) 5 · c · a · b 5 a b c (6) 10 ÷ t 🅱 提 高 层 🅱-1　列代数式（4 题） 1. m 与 n 的和的平方； 答案　(m + n)²　—— 和要加括号，然后再平方 1. a 的立方与 b 的立方的和； 答案　a³ + b³　—— 8 年级学「立方和公式」时会用到 1. 某商品原价 a 元，先涨价 20%，再降价 20%，现价为 ？ 元； 答案　0.96 a（元） 解：涨价后 = a × (1 + 20%) = 1.2 a；再降价 20% = 1.2 a × (1 − 20%) = 1.2 a × 0.8 = 0.96 a（元）。陷阱：现价 ≠ 原价！ 涨 20% 再降 20% 是净降 4%，不是回到 a。 1. 三个连续偶数，最小的是 2 n，写出这三个偶数的和。 答案　6 n + 6 或 3(2 n + 2) 解：三个连续偶数为 2 n、2 n+2、2 n+4；和 = 2n + (2n+2) + (2n+4) = 6 n + 6。 🅱-2　情境应用（3 题） 1. 小王手机月套餐 39 元，含通话 100 分钟，超出部分每分钟 0.15 元。若某月通话 x 分钟（x > 100），写出这个月的话费； 答案　[39 + 0.15 (x − 100)]（元）　—— 分段函数思想的雏形，为 8 年级函数章节铺垫 1. 边长为 a 的正方形，四角各剪掉一个边长为 b 的小正方形（b < ），剩下的面积为 ？； 答案　(a² − 4 b²)（平方单位）　—— 大正方形面积 a² 减去 4 个小正方形面积 4b²；铺垫 8 年级平方差公式 a²−4b² = (a−2b)(a+2b) 1. 学校买了 3 个足球（每个 x 元）和 5 个篮球（每个 y 元），共花多少 ？ 平均每个球多少 ？ 答案　总花费 = (3 x + 5 y)（元） 平均每个球 = （元）　—— 除法写成分数，总数上要加括号。 🅲 挑 战 层 🅲-1　银行分层利率（复合思维） 题目　某银行分档利率：存款 a 元中，前 10000 元按 2.0% 计息，超出部分按 3.5% 计息（a > 10000）。写出 1 年到期的利息，并计算 a = 30000 时的具体利息。 答案　 利息 = 前 10000 部分利息 + 超出部分利息 = 10000 × 2.0% + (a − 10000) × 3.5% = 200 + 0.035 (a − 10000) = 0.035 a − 150（元） 代入 a = 30000：利息 = 0.035 × 30000 − 150 = 1050 − 150 = 900 元。现实价值：这是「累进税」、「阶梯电价」的数学模型。 🅲-2　★ 数字 1 与字母 x 的对话（承接教材阅读思考） 阅读教材「数字 1 与字母 x 的对话」，回答问题：为什么用字母比用数字更强大 ？ 1. 用字母 一次表达无数个例子（如加法交换律 a+b=b+a 概括了 3+5、7+9…无数个具体例子）； 1. 用字母 发现规律（如连续三整数和 = 3n，一次证明所有情形）； 1. 用字母 建立通用公式（如正方形周长 4a、面积 a²，代入任意边长皆可）。 参考思路　 • 数字的局限：3+5=8 只讲了一个例子，讲不完所有加法； • 字母的力量：a+b=b+a 一句话讲完所有加法交换律； • 字母是数：字母服从与数一样的运算法则，可以加减乘除乘方； • 字母是抽象：用字母思考数学，是从「算算术」到「做数学」的分水岭。 🅲-3　★★★ 章节开篇战 · 学校运动会成绩单 综合情境　某校运动会：七年级共有 a 个班，每个班选出 b 名运动员；每名运动员参加 c 个项目；每个项目奖金 d 元。请用代数式表示： 1. 七年级 总共派出多少名运动员 ？ 2. 总共产生 多少个「运动员参赛」记录 ？（一名运动员一个项目算一次记录） 3. 学校 总共要发多少奖金 ？（假设每人每项目都拿奖） 4. 代入 a = 8、b = 15、c = 3、d = 50，总奖金实际是多少元 ？ 答案　 (1) 每班 b 名，共 a 个班，运动员总数 = a b（名）　—— 承接书写规范 ②：数在前、省乘号；这里字母按 a→b 顺序， (2) 每名运动员参加 c 个项目，运动员共 ab 名，参赛记录 = a b c（个）　—— 承接书写规范 ⑥：字母按 a→b→c 顺序； (3) 每个项目奖金 d 元，共 abc 个项目，总奖金 = a b c d（元）　—— 4 个字母都按字母表顺序，代数式的极致简洁； (4) 代入 a = 8、b = 15、c = 3、d = 50： 总奖金 = 8 × 15 × 3 × 50 = 120 × 150 = 18 000 元 = 1.8 × 10⁴ 元（承接 2.3.2 科学记数法 · 2.3.3 有效数字 2 位）。 【章节交叉价值】本题串起：① 用字母表示数（本节核心）；② 书写规范 6 条（本节核心）；③ 代入求值（下节 3.1.2 预告）；④ 科学记数法（2.3.2 承接）；⑤ 有效数字（2.3.3 承接）。为「代数式」这个第 3 章的开篇画上有力的第一笔！ 九、学习反思 反思条目 已掌握 待巩固 ① 我能说清楚「用字母表示数」的三大价值：一般性、可运算、可推广。 □ □ ② 我能准确判定一个式子是不是代数式（依据：没有 = 号、没有不等号）。 □ □ ③ 我能默写出代数式书写的 8 条规范，并解释每条的理由。 □ □ ④ 我知道 1½·a 必须化为 3a/2（书写规范 ④ 的坑）。 □ □ ⑤ 我明白 a·a 要写成 a²，这一步呼应了 2.2.5 学过的乘方。 □ □ ⑥ 我理解「从算术到代数」是数学思维的一次飞跃，字母是通用的数学语言。 □ □ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 代数式 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 目标 1　理解用字母表示数的意义 通过实际情境体会 「字母可以像数一样参与运算」；理解 用字母表示数具有一般性与不唯一性（同一个量可以选任意字母来表示），发展 符号意识。 目标 2　掌握代数式的概念 能说出 用运算符号（+、−、×、÷、乘方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式；理解 单独的一个数或一个字母也是代数式；能准确 辨别代数式与等式、不等式的区别。 目标 3　熟练掌握代数式的书写规范 能自觉运用 8 条书写规范（含省乘号、数在前、1 与 −1 省略、带分数化假分数、相同字母写成幂、字母按顺序排列、除法写分数、单位加括号），让每一次书写都 符合数学的「简明与严谨」。 二、重难点 重点 ① 理解用字母表示数的意义（一般性 + 不唯一性）；　② 掌握代数式的概念（含单独的数或字母也是代数式）；　③ 熟练运用 8 条书写规范；　④ 能根据实际情境列出简单的代数式。 难点 ① 代数式 vs 等式 vs 不等式 的严格区分（代数式没有等号、没有不等号）；　② 书写规范的细节坑（1·a=a、−1·a=−a、a·a=a²、带分数化假分数、n÷2 写成分数 ）；　③ 从「具体的数」到「表示数的字母」的 抽象飞跃。 易错点 ① 把等式 / 不等式误判为代数式 —— x = 1 是等式（有等号）不是代数式；a > 2 是不等式（有不等号）也不是代数式；代数式的核心是「式」而不是「关系」。 ② 漏省乘号或次序错 —— 数与字母相乘：5·a 应写成 5a，绝不能写成 a5；两字母相乘：a·b 应写成 ab。 ③ 1 与 −1 未省略 —— 1·a 要写成 a（1 省略），(−1)·a 要写成 −a（1 也省略，只留负号）。 ④ 带分数未化假分数 —— 1 · a 必须化为 ，否则 1a 会误读为 1 + a，歧义即错误。 ⑤ 相同字母相乘未写成幂 —— a·a 要写成 a²，a·a·a 要写成 a³；此处呼应学过的乘方。 ⑥ 除法未写成分数形式 —— n ÷ 2 应写成 ；有单位时要给单位加括号：每千克 s 元，2 千克应写成 2s 元（不是 s × 2 kg）。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】小学学过的字母表示数 —— 5 大运算律 小学阶段，我们用字母表示过 加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律；分配律。请填空复习，感受「字母代替数」如何让规律更简明。 运算律 字母表示 用具体数字验证 加法交换律 ________ ________ 加法结合律 ________ ________ 乘法交换律 ________ ________ 乘法结合律 ________ ________ 乘法分配律 ________ ________ 【回顾二】生活里的字母表示数 —— 判断题 下列生活场景中，哪些是「用字母表示数」的例子？请填 √ 或 ×，并说明字母代表什么。 生活情境 是否 ？ 字母代表什么 ？ A 老师说：「今天我们班有 n 位同学请假」 ____ ________ B 快递单上写：「重量 x 千克，运费 y 元」 ____ ________ C 数学作业写：「x = 1」 ____ ________ D 温度计上写：「t ℃」 ____ ________ E 数学书上写：「圆周率 π ≈ 3.14」 ____ ________ 【情境导入】小明爷爷的银行存款问题 生活情境　小明的爷爷去银行做了一笔 1 年定期存款，存入 a 元；存款时的 1 年期利率是 3.50 %。请思考： 1. 到期后，爷爷取出的 本息合计 p 元，应该怎么用 a 表示 ？ 1. 如果爷爷存的是 5000 元，那 p 是多少 ？如果存的是 10000 元 呢 ？ 1. 如果换成 2 年期（利率 3.75%），本息合计又是多少（简单利息法，不考虑复利）？ 四、新知探究 ★ 探究一　苹果采摘机器人（智慧农业） 情境　某品牌 苹果采摘机器人 平均每 1 秒完成 5 m² 范围内的苹果识别，并对成熟苹果进行采摘；它的一个 机械手每 8 秒可以采摘 1 个苹果。请回答： 1. 该机器人 10 秒 / 60 秒 / t 秒 分别能识别多大范围的苹果 ？ 2. 该机器人识别 n m² 范围内的苹果，需要多少秒 ？ 3. 若该机器人搭载 10 个机械手 与采摘工人同时工作 1 小时，已知工人平均 12 秒采摘 1 个苹果，则机器人比工人 多采摘多少个苹果 ？ ★ 探究二　其他实际情境（用字母写代数式） 请用字母写出下列情境中的量，感受「字母与数一样参与运算」。 1. 船速问题　一条河的 水流速度是 2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h。用式子表示：船在这条河 顺水行驶 与 逆水行驶 的速度。 2. 正方形问题　一个正方形的边长是 a，用式子表示这个正方形的 周长 l 与 面积 S。 3. 管道铺设问题　某工程队铺设一条 总长 m km 的管道，n 天完成。用式子表示这支工程队 平均每天铺设的管道长度。 ★ 探究三　代数式的定义 回顾探究一、二列出的式子：5 t、、v + 2.5、v − 2.5、4 a、a²、，还有情境导入的 1.035 a、0.035 a、3n…… 它们都是用 运算符号（+、−、×、÷、乘方） 把 数 或 表示数的字母 连接起来的式子。请归纳： 概念 含义与要点 代数式 用 运算符号（加、减、乘、除、乘方） 把 数 或 表示数的字母 连接起来的式子。 特殊约定 单独的一个数 或 单独的一个字母 也是代数式。例如 5、−3、0、π、a、x 都是代数式。 不是代数式的典型 ① 等式（有 = 号）：如 x = 1、2a + 1 = 5、a + b = b + a；　② 不等式（有 <、>、≤、≥、≠ 号）：如 a > 2、x ≤ 0、m ≠ n。 ★★ 探究四　代数式的书写规范（8 大条 · 本节亮点） 代数式的书写有 严格的规范，否则会产生歧义。请对照下表，每一条都要在草稿本上练一遍。 # 规则 规范写法 易错反例 ① 字母 × 字母 ： 省乘号 a × b = a b a × b（× 不省） ② 数 × 字母 ： 数在前 · 省乘号 5 × a = 5 a a5（数在后）、5·a（乘号未省） ③ 1 或 −1 与字母 ： 1 省略 1 · a = a　　(−1) · a = −a 1 a、−1 a（1 未省） ④ 带分数 × 字母 ： 化为假分数 1½ · a = （即 3a/2） 1½ a（会误读为 1 + ½a） ⑤ 相同字母相乘 ： 写成幂 a · a = a²　　a · a · a = a³ aa、aaa（未写成幂） ⑥ 多个字母相乘 ： 按字母表顺序 3 · b · a = 3 a b 3 b a（字母顺序乱） ⑦ 数 ÷ 字母 ： 写成分数 n ÷ 2 = （即 n/2） n ÷ 2（÷ 号未去） ⑧ 代数式后跟单位 ： 加括号 (v + 2.5) km/h　(3 a + 5) 元 v + 2.5 km/h（单位归属不清） 五、例题精讲 例 1　判断下列各式是否为代数式 下列各式：π、x² + 5、1 − 3x = 0、a b、a > 2、0、1/a　中，是代数式的有 共 个。 例 2　按书写规范改写下列代数式（8 题） 将下列代数式按 8 条书写规范 改成规范写法（如已经规范则打 √）： # 原式 规范写法 依据 (1) 5 · a ________ ________ (2) a · 5 ________ ________ (3) 1 · a ________ ________ (4) (−1) · a ________ ________ (5) 1 · y ________ ________ (6) a · a · b ________ ________ (7) 3 · b · a ________ ________ (8) n ÷ 2 ________ ________ 例 3　列代数式（5 题） 用代数式表示下列数量关系： 1. 比 a 的 2 倍大 1 的数 1. x 与 y 的和的一半 1. a、b 两数的和与差的积 1. x 的平方与 y 的差 1. 三个连续整数中，中间一个是 n，写出这三个数的和 六、当堂检测 Part 1　判断下列各式是否为代数式（5 题） # 式子 是否 ？ 理由 (1) 3 x + 5 ____ ________ (2) x + y = 10 ____ ________ (3) π r² ____ ________ (4) x + 3 > 5 ____ ________ (5) −2 a b + 1 ____ ________ Part 2　按书写规范改错（4 题） # 原式 规范写法 依据规则 (1) a · 3 · b ________ ________ (2) x ÷ y ________ ________ (3) 1 · x · x · y ________ ________ (4) 3 s 元 ________ ________ Part 3　列代数式（4 题） 1. 苹果 5 元/千克，买 x 千克需付 ？ 元。 1. 长方形长 a 米、宽 b 米，其面积 ？，周长 ？。 1. 一件衣服原价 x 元，打 8 折后现价 ？ 元。 1. 小明有 a 元，买了 3 支笔（单价 b 元），还剩 ？ 元。 Part 4　★ 综合应用 · 银行存款回扣 情境　小明向银行存入 5000 元，年利率为 r %，n 年到期取出本息（简单利息法，不考虑复利），请回答： 1. 1 年到期，本息合计 ？ 元； 2. n 年到期，本息合计 ？ 元； 3. 若 r = 3.50，n = 3，本息为多少 ？ 七、思维导图 · 一图看懂代数式 3.1.1 代数式 │ ┌────────────┬─────────┴─────────┬────────────┐ │ │ │ │ 字母表示数 代数式的定义 书写规范 判定要诀 │ │ │ │ ┌──────┴──────┐ │ ┌─────┴──────┐ │ 一般性 可运算 用运算符号连接 8 大条 看等号 / 不等号 可推广 字母也是数 (省乘号 · 数在前 │ │ │ · 1省 · 化假分数 ┌─┴─────┐ │ 单独数/字母 也是 · 写成幂 · 字母序 有=→等式（否） │ 代数式：5、π、a 都是 · 分数 · 单位括号) 有</>→不等式（否） │ │ 都没有 → 代数式（是） ▼ ▼ ▼ ▼ 从算术到代数 区别等式/不等式 写代数的"礼仪" 判定第一步 八、分层作业 🅰 基 础 层 🅰-1　判断题（判断下列各式是否代数式，6 题） # 式子 是否 ？ 理由 (1) 0 ____ ________ (2) a + b = c ____ ________ (3) x² ____ ________ (4) π ____ ________ (5) 3 x + 2 < 5 ____ ________ (6) ____ ________ 🅰-2　书写规范改错（6 题） # 原式 规范写法 (1) a · 7 ________ (2) 1 · m ________ (3) (−1) · n ________ (4) y · y · y · y ________ (5) 5 · c · a · b ________ (6) 10 ÷ t ________ 🅱 提 高 层 🅱-1　列代数式（4 题） 1. m 与 n 的和的平方； 1. a 的立方与 b 的立方的和； 1. 某商品原价 a 元，先涨价 20%，再降价 20%，现价为 ？ 元； 1. 三个连续偶数，最小的是 2 n，写出这三个偶数的和。 🅱-2　情境应用（3 题） 1. 小王手机月套餐 39 元，含通话 100 分钟，超出部分每分钟 0.15 元。若某月通话 x 分钟（x > 100），写出这个月的话费； 2. 边长为 a 的正方形，四角各剪掉一个边长为 b 的小正方形（b < ），剩下的面为 ？； 3. 学校买了 3 个足球（每个 x 元）和 5 个篮球（每个 y 元），共花多少 ？ 平均每个球多少 ？ 🅲 挑 战 层 🅲-1　银行分层利率（复合思维） 题目　某银行分档利率：存款 a 元中，前 10000 元按 2.0% 计息，超出部分按 3.5% 计息（a > 10000）。写出 1 年到期的利息，并计算 a = 30000 时的具体利息。 🅲-2　★ 数字 1 与字母 x 的对话（承接教材阅读思考） 阅读教材「数字 1 与字母 x 的对话」，回答问题：为什么用字母比用数字更强大 ？ 1. 用字母 一次表达无数个例子（如加法交换律 a+b=b+a 概括了 3+5、7+9…无数个具体例子）； 1. 用字母 发现规律（如连续三整数和 = 3n，一次证明所有情形）； 1. 用字母 建立通用公式（如正方形周长 4a、面积 a²，代入任意边长皆可）。 🅲-3　★★★ 章节开篇战 · 学校运动会成绩单 综合情境　某校运动会：七年级共有 a 个班，每个班选出 b 名运动员；每名运动员参加 c 个项目；每个项目奖金 d 元。请用代数式表示： 1. 七年级 总共派出多少名运动员 ？ 2. 总共产生 多少个「运动员参赛」记录 ？（一名运动员一个项目算一次记录） 3. 学校 总共要发多少奖金 ？（假设每人每项目都拿奖） 4. 代入 a = 8、b = 15、c = 3、d = 50，总奖金实际是多少元 ？ 九、学习反思 反思条目 已掌握 待巩固 ① 我能说清楚「用字母表示数」的三大价值：一般性、可运算、可推广。 □ □ ② 我能准确判定一个式子是不是代数式（依据：没有 = 号、没有不等号）。 □ □ ③ 我能默写出代数式书写的 8 条规范，并解释每条的理由。 □ □ ④ 我知道 1½·a 必须化为 3a/2（书写规范 ④ 的坑）。 □ □ ⑤ 我明白 a·a 要写成 a²，这一步呼应了 2.2.5 学过的乘方。 □ □ ⑥ 我理解「从算术到代数」是数学思维的一次飞跃，字母是通用的数学语言。 □ □ 学科网（北京）股份有限公司 $