2026-2027学年人教版数学七年级上学期期中测试（测试范围：第1章—第4章）

**基本信息** 七上期中测试立足第1-4章核心内容，以科技前沿（大模型运算）、文化传承（铺地锦算法）、生活实践（购票方案）为情境，通过规律探究与代数推理，考查抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|绝对值、正负数、科学记数法、整式概念|结合大模型运算情境考查科学记数法，融入古代“铺地锦”算法| |填空题|6/18|倒数、同类项、数轴化简、图形周长|通过图形分割与周长计算考查几何直观与空间观念| |解答题|8/72|实数运算、整式化简、规律探究、整除推理|以购票方案问题发展模型意识，通过11整除规律探究培养推理能力|

2026—2027学年七上期中测试 考试范围：第1—4章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 2．如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．国家数据局将2026年定为“数据价值释放年”．某大模型每处理1个词元（ ，大模型处理信息的最小单元）需执行1400亿次浮点运算，则处理2000个词元需执行的浮点运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 6．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 7．长方形的周长为m，长为n，则长方形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 9．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（     ） A．65 B．82 C．95 D．101 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（   ） A．“2”上边的数是16 B．“5”右边的“□”表示5 C．运算结果小于5000 D．运算结果可以表示为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．的倒数是________． 12．比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 13．若，则=__________． 14．若单项式与单项式是同类项，则____． 15．有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简：的值为______． 16．如图1所示，将大正方形分成两个相同的小正方形和三个相同的长方形，将分成的五个图形如图2所示放置在大长方形中．现将小长方形放置于大长方形中，且与五个图形均有重叠．已知图1大正方形周长为24，长方形和长方形的周长分别是56和40，则重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（12 分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）化简： (1) (2) 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 20．（8分）某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 21．（8分）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 22．（10分）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 23．（10分）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 24．（10分）初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程，在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是 ① （填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以 ② ③ ． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容； 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 【探究三：一般规律与推广】 （3）小明进一步列出了几个能被11整除的多位数，并计算了它们“奇数位数字和”与“偶数位数字和”（规定：奇数位指从右起第1、3、5…位，偶数位指第2、4、6…位），如：484的奇数位数字和为，偶数位数字和为8；10318的奇数位数字和为，偶数位数字和为；290708的奇数位数字和为，偶数位数字和为；…小明发现：当一个自然数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间存在某种关系时，这个数就能被11整除．对于所有能被11整除的四位数，请依据以上信息写出一个这类四位数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间应满足的关系，并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年七上期中测试 考试范围：第1—4章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 2．如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．国家数据局将2026年定为“数据价值释放年”．某大模型每处理1个词元（ ，大模型处理信息的最小单元）需执行1400亿次浮点运算，则处理2000个词元需执行的浮点运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 6．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 7．长方形的周长为m，长为n，则长方形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 9．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（     ） A．65 B．82 C．95 D．101 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（   ） A．“2”上边的数是16 B．“5”右边的“□”表示5 C．运算结果小于5000 D．运算结果可以表示为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．的倒数是________． 12．比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 13．若，则=__________． 14．若单项式与单项式是同类项，则____． 15．有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简：的值为______． 16．如图1所示，将大正方形分成两个相同的小正方形和三个相同的长方形，将分成的五个图形如图2所示放置在大长方形中．现将小长方形放置于大长方形中，且与五个图形均有重叠．已知图1大正方形周长为24，长方形和长方形的周长分别是56和40，则重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（12 分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）化简： (1) (2) 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 20．（8分）某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 21．（8分）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 22．（10分）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 23．（10分）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 24．（10分）初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程，在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是 ① （填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以 ② ③ ． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容； 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 【探究三：一般规律与推广】 （3）小明进一步列出了几个能被11整除的多位数，并计算了它们“奇数位数字和”与“偶数位数字和”（规定：奇数位指从右起第1、3、5…位，偶数位指第2、4、6…位），如：484的奇数位数字和为，偶数位数字和为8；10318的奇数位数字和为，偶数位数字和为；290708的奇数位数字和为，偶数位数字和为；…小明发现：当一个自然数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间存在某种关系时，这个数就能被11整除．对于所有能被11整除的四位数，请依据以上信息写出一个这类四位数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间应满足的关系，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年七上期中测试 考试范围：第1—4章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A D D D B B B B D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. / 12. 13. 14. 4 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（12 分） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算除法和乘法，再计算减法即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方及括号内的算式，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ；（3 分） （2）解： ；（6 分） （3）解： ；（9分） （4）解： ．（12 分） 18．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于合并同类项和去括号． （1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ；（4 分） （2）解： ．（8 分） 19．（6分） 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，熟练掌握整式加减的化简求值是关键．先将整式化简，得到，再将，代入求解即可． 【详解】解：原式 ，（3 分） 当，时 原式 ．（6 分） 20．（8分） 【答案】(1)方案：，方案： (2)选择方案更为优惠 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）将分别代入计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元；（4 分） （2）解：当学生人数时， A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元 ； ∴选择方案更为优惠．（8 分） 21．（8分） 【答案】(1)， (2) (3)①，，，，②139 【分析】（1）根据绝对值的定义求出各数的绝对值再求和； （2）①依据倒数和相反数的定义求出a，b，c，d的值； ②可按照先算括号内再算乘法的顺序，也可利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为．（2 分） （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为．（4分） （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，．（6 分） ② ； ．（8分） 22．（10分） 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：；（3 分） （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：；（6分） （3）解： ．（10 分） 23．（10分） 【答案】（1）；（2）；（3）N区显示的结果大，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ；（3分） （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴；（6 分） （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大；（10 分） 24．（10分） 【答案】（1）①，②，③；（2）条件②和③能够使得能被11整除，见解析；（3）是11的倍数，见解析 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减； （1）根据所列举的数可知，然后进一步计算即可； （2）将改写为，可知当是11的倍数时，能被11整除，然后证明条件②与条件③等价，再举反例证明条件①不成立即可； （3）将四位数改写为，可知当是11的倍数时，四位数能被11整除，然后根据奇数位数字和与偶数位数字和的意义得出答案． 【详解】解：（1）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足， 所以， 因为能被11整除， 所以能被11整除． 故答案为：①，②，③；（3 分） （2）解：条件②和③能够使得能被11整除． 证明：因为， 将100和10分解为11的倍数与余数之和：，， 代入得：， 因为是11的倍数， 所以当是11的倍数时，能被11整除， 即满足条件②能被11整除时，能被11整除； 计算条件②与条件③的和为：，且能被11整除， 所以当条件②能被11整除时，条件③能被11整除， 所以满足条件③能被11整除时，也能被11整除； 对于条件①能被11整除取反例：当，，时， 满足能被11整除，但146不能被11整除， 故满足条件①时不成立； 综上，条件②和③能够使得能被11整除；（6 分） （3）需满足是11的倍数； 证明：， 因为是11的倍数， 所以当是11的倍数时，四位数能被11整除， 由题意得：，， 所以当是11的倍数时，四位数能被11整除．（10 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年七上期中测试 考试范围：第1—4章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】解 ，，，， 又 ， 绝对值最小的数是． 2．如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵水位升高米时水位变化记作米，说明升高用正数表示， ∴与升高意义相反的下降应用负数表示， 因此水位下降米时水位变化记作米． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B计算错误，不符合题意； 选项C中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C计算错误，不符合题意； 选项D中，与是同类项，合并得，计算正确，D符合题意． 4．国家数据局将2026年定为“数据价值释放年”．某大模型每处理1个词元（ ，大模型处理信息的最小单元）需执行1400亿次浮点运算，则处理2000个词元需执行的浮点运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：亿， ． 5．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 6．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 【答案】B 【详解】解：A、是二次三项式，原说法正确，不符合要求； B、的次数是4，原说法错误，符合要求； C、的系数是，原说法正确，不符合要求； D、的常数项是，原说法正确，不符合要求． 7．长方形的周长为m，长为n，则长方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出长方形的宽，再根据长方形面积公式计算面积，即可得到结果． 【详解】解：∵长方形的周长为，长为， ∴长方形的宽为． ∴长方形面积为． 8．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】先根据数轴确定a，b，c，d的大致范围，再分别对①至⑤的结论进行判断，统计正确结论的个数． 【详解】解：由数轴可知：，，，， ①由可知①错误； ② 正数的绝对值大于负数的绝对值，故，②正确； ③ 为负，为正，异号相乘为负，故，③错误； ④ ，，故，④错误； ⑤ 在数轴上b比a偏右，则，故，⑤正确． 综上，正确的结论有②⑤，共2个．． 9．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（     ） A．65 B．82 C．95 D．101 【答案】B 【分析】观察前四个图案中十字星的数量，分别为2、5、10、17，发现每个数都比序号的平方多1，从而得出第个图案中十字星个数的表达式，代入求解即可． 【详解】解： ∵ 第① 个图案中有个十字星， 第②个图案中有个十字星， 第③个图案中有个十字星， 第④个图案中有个十字星， …… ， ∴ 第个图案中十字星的个数为． 当时，十字星的个数为． 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（   ） A．“2”上边的数是16 B．“5”右边的“□”表示5 C．运算结果小于5000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和， 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“5”右边的“□”表示1，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．的倒数是________． 【答案】/ 【详解】解：的倒数是． 12．比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查两个负数的大小比较，解题思路为根据两个负数比较大小的法则，先计算两个数的绝对值，再通过比较绝对值的大小得到原数的大小关系． 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 先计算两个数的绝对值：，， ， ． 13．若，则=__________． 【答案】 【分析】根据平方与绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数均为，先求出和的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵，， 且 ， ∴，， 解得 ，， 将，代入得：. 14．若单项式与单项式是同类项，则____． 【答案】4 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数相同，求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意，由同类项的定义得：，， 解得：，， 因此． 15．有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简：的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置，判断出绝对值内式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴，， ∴ ． 16．如图1所示，将大正方形分成两个相同的小正方形和三个相同的长方形，将分成的五个图形如图2所示放置在大长方形中．现将小长方形放置于大长方形中，且与五个图形均有重叠．已知图1大正方形周长为24，长方形和长方形的周长分别是56和40，则重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为________． 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，根据图1的周长为24，得到大正方形的边长为6，可求出小正方形的边长3，进而得到小长方形的长为3，宽为2，如图，设，根据长方形的周长是56，求出，求出，，进而求出，可得阴影部分的周长为，代入数据计算即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵图1的周长为24， ∴大正方形的边长为， ∴小正方形的边长， ∴小长方形的长为，宽为， 设， ∵长方形的周长是56， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的周长为， ， ∵长方形的周长是40， ∴， ∴，即重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（12 分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算除法和乘法，再计算减法即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方及括号内的算式，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ；（3 分） （2）解： ；（6 分） （3）解： ；（9分） （4）解： ．（12 分） 18．（8分）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于合并同类项和去括号． （1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ；（4 分） （2）解： ．（8 分） 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，熟练掌握整式加减的化简求值是关键．先将整式化简，得到，再将，代入求解即可． 【详解】解：原式 ，（3 分） 当，时 原式 ．（6 分） 20．（8分）某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)方案：，方案： (2)选择方案更为优惠 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）将分别代入计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元；（4 分） （2）解：当学生人数时， A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元 ； ∴选择方案更为优惠．（8 分） 21．（8分）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，，，②139 【分析】（1）根据绝对值的定义求出各数的绝对值再求和； （2）①依据倒数和相反数的定义求出a，b，c，d的值； ②可按照先算括号内再算乘法的顺序，也可利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为．（2 分） （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为．（4分） （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，．（6 分） ② ； ．（8分） 22．（10分）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：；（3 分） （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：；（6分） （3）解： ．（10 分） 23．（10分）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）N区显示的结果大，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ；（3分） （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴；（6 分） （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大；（10 分） 24．（10分）初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程，在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是 ① （填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以 ② ③ ． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容； 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 【探究三：一般规律与推广】 （3）小明进一步列出了几个能被11整除的多位数，并计算了它们“奇数位数字和”与“偶数位数字和”（规定：奇数位指从右起第1、3、5…位，偶数位指第2、4、6…位），如：484的奇数位数字和为，偶数位数字和为8；10318的奇数位数字和为，偶数位数字和为；290708的奇数位数字和为，偶数位数字和为；…小明发现：当一个自然数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间存在某种关系时，这个数就能被11整除．对于所有能被11整除的四位数，请依据以上信息写出一个这类四位数的奇数位数字和m与偶数位数字和n之间应满足的关系，并证明． 【答案】（1）①，②，③；（2）条件②和③能够使得能被11整除，见解析；（3）是11的倍数，见解析 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减； （1）根据所列举的数可知，然后进一步计算即可； （2）将改写为，可知当是11的倍数时，能被11整除，然后证明条件②与条件③等价，再举反例证明条件①不成立即可； （3）将四位数改写为，可知当是11的倍数时，四位数能被11整除，然后根据奇数位数字和与偶数位数字和的意义得出答案． 【详解】解：（1）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足， 所以， 因为能被11整除， 所以能被11整除． 故答案为：①，②，③；（3 分） （2）解：条件②和③能够使得能被11整除． 证明：因为， 将100和10分解为11的倍数与余数之和：，， 代入得：， 因为是11的倍数， 所以当是11的倍数时，能被11整除， 即满足条件②能被11整除时，能被11整除； 计算条件②与条件③的和为：，且能被11整除， 所以当条件②能被11整除时，条件③能被11整除， 所以满足条件③能被11整除时，也能被11整除； 对于条件①能被11整除取反例：当，，时， 满足能被11整除，但146不能被11整除， 故满足条件①时不成立； 综上，条件②和③能够使得能被11整除；（6 分） （3）需满足是11的倍数； 证明：， 因为是11的倍数， 所以当是11的倍数时，四位数能被11整除， 由题意得：，， 所以当是11的倍数时，四位数能被11整除．（10 分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $