第八课时 一元二次不等式 同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学高一必修一“一元二次不等式”课时同步练，聚焦新授课知识巩固，以“基础概念→方法应用→综合拓展”分层设计，适配课时教学目标，培养运算能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次不等式概念、解法步骤|选择题1-4题直接考查解集求解，填空题9-10题强化标准形转化，巩固运算能力| |提升层|分式不等式、恒成立问题、参数讨论|选择题5-8题涉及分式转化与集合综合，填空题11-12题训练参数范围分析，培养推理意识| |综合层|实际应用与跨知识整合|解答题15题结合利润模型构建不等式，体现“用数学语言表达现实世界”，发展模型观念|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第八课时 一元二次不等式 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式不等式，叫做一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式为 ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax² ＋ bx ＋ c ＜ 0（其中 a ≠ 0），也可以是 ≥ 0 或 ≤ 0 的形式。一元二次不等式与一元二次方程、二次函数有着密切的联系，三者统称"三个二次"，是解决一元二次不等式问题的基础。需要注意的是，一元二次不等式中二次项系数 a 不能为零，否则就退化为一元一次不等式。 考点二 三个二次的关系 一元二次不等式 ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0（a ＞ 0）的解集与二次函数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 的图象及一元二次方程 ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根密切相关。当 Δ ＝ b² － 4ac ＞ 0 时，方程有两个不等实根 x₁、x₂（x₁ ＜ x₂），不等式 ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为 {x | x ＜ x₁ 或 x ＞ x₂}，ax² ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集为 {x | x₁ ＜ x ＜ x₂}；当 Δ ＝ 0 时，方程有两个相等实根 x₁ ＝ x₂ ＝ －b/(2a)，不等式 ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为 {x | x ≠ －b/(2a)}，ax² ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集为空集；当 Δ ＜ 0 时，方程无实根，不等式 ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为 R，ax² ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集为空集。以上结论均假设 a ＞ 0，若 a ＜ 0，需先两边乘以 －1 转化为 a ＞ 0 的情形。 考点三 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤为：①化标准形，将不等式化为 ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0（或 ＜ 0）的形式，并使 a ＞ 0（若 a ＜ 0，两边乘以 －1）；②计算判别式 Δ ＝ b² － 4ac，判断 Δ 的符号；③求根，当 Δ ≥ 0 时，求出方程 ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根；④画图，画出二次函数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 的示意图（开口向上）；⑤写解，根据图象与 x 轴的交点位置，写出不等式的解集。对于含参数的一元二次不等式，需对参数进行分类讨论，讨论的标准通常是：二次项系数的符号、判别式的符号、根的大小关系等。 考点四 分式不等式的解法 分式不等式可以转化为整式不等式来求解。基本转化方法：① f(x)/g(x) ＞ 0 ⇔ f(x)·g(x) ＞ 0；② f(x)/g(x) ＜ 0 ⇔ f(x)·g(x) ＜ 0；③ f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x)·g(x) ≥ 0 且 g(x) ≠ 0；④ f(x)/g(x) ≤ 0 ⇔ f(x)·g(x) ≤ 0 且 g(x) ≠ 0。转化后按一元二次不等式求解。需要注意的是，分母 g(x) ≠ 0 是隐含条件，在求解时不能遗漏。对于复杂的分式不等式，还可以采用移项通分法，将所有项移到不等号一侧，通分后转化为上述基本形式。 考点五 一元二次不等式的综合应用 一元二次不等式的综合应用主要包括：①恒成立问题，ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0 恒成立的条件是 a ＞ 0 且 Δ ＜ 0（或 a ＝ b ＝ 0 且 c ＞ 0）；ax² ＋ bx ＋ c ＜ 0 恒成立的条件是 a ＜ 0 且 Δ ＜ 0（或 a ＝ b ＝ 0 且 c ＜ 0）。②实际应用问题，如利润最大化、面积最大化等，需建立不等式模型求解。③与集合、函数等知识的综合，如已知不等式解集求参数范围、不等式与集合的交并运算等。解题时需注意等号是否能取到，以及参数讨论的完备性。 知识结构思维导图 图1 一元二次不等式知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．不等式 x² － 1 ＜ 0 的解集为（ ） A．{x | x ＜ －1 或 x ＞ 1} B．{x | －1 ＜ x ＜ 1} C．{x | x ＜ 1} D．{x | x ＞ －1} 2．不等式 x² － 2x － 3 ≥ 0 的解集为（ ） A．{x | －1 ≤ x ≤ 3} B．{x | x ≤ －1 或 x ≥ 3} C．{x | －3 ≤ x ≤ 1} D．{x | x ≤ －3 或 x ≥ 1} 3．不等式 x² ＋ 2x ＋ 3 ＞ 0 的解集为（ ） A．R B．∅ C．{x | x ≠ －1} D．{x | x ＞ －1} 4．不等式 x² － 4x ＋ 4 ≤ 0 的解集为（ ） A．R B．∅ C．{2} D．{x | x ≠ 2} 5．不等式 (x － 1)/(x ＋ 2) ＜ 0 的解集为（ ） A．{x | －2 ＜ x ＜ 1} B．{x | x ＜ －2 或 x ＞ 1} C．{x | －1 ＜ x ＜ 2} D．{x | x ＜ －1 或 x ＞ 2} 6．若不等式 x² ＋ ax ＋ 1 ＞ 0 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A．{a | －2 ＜ a ＜ 2} B．{a | a ＜ －2 或 a ＞ 2} C．{a | a ≤ －2 或 a ≥ 2} D．{a | －2 ≤ a ≤ 2} 7．已知集合 A ＝ {x | x² － x － 2 ＜ 0}，B ＝ {x | 0 ＜ x ＜ 3}，则 A∩B ＝（ ） A．{x | 0 ＜ x ＜ 2} B．{x | －1 ＜ x ＜ 3} C．{x | －1 ＜ x ＜ 2} D．{x | 0 ＜ x ＜ 3} 8．若关于 x 的不等式 x² ＋ mx ＋ 4 ＜ 0 的解集为空集，则实数 m 的取值范围是（ ） A．{m | －4 ≤ m ≤ 4} B．{m | m ＜ －4 或 m ＞ 4} C．{m | －4 ＜ m ＜ 4} D．{m | m ≤ －4 或 m ≥ 4} 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．不等式 x² ＋ 5x ＋ 6 ＞ 0 的解集为 ____________。 10．不等式 2x² － x － 1 ≤ 0 的解集为 ____________。 11．若不等式 x² － ax ＋ 1 ＜ 0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是 ____________。 12．已知关于 x 的不等式 x² ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集为 {x | 1 ＜ x ＜ 3}，则 b ＋ c ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）解下列不等式： （1）x² － 5x ＋ 6 ＜ 0； （2）－x² ＋ 3x ＋ 4 ≤ 0。 14．（14分）已知关于 x 的不等式 x² － (a ＋ 1)x ＋ a ＜ 0。 （1）若 a ＝ 2，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为 {x | 1 ＜ x ＜ 3}，求实数 a 的值； （3）若不等式的解集为 R，求实数 a 的取值范围。 15．（14分）某商品每件成本为 20 元，售价为 x 元（x ＞ 20），每天可售出 (100 － 2x) 件。 （1）求每天利润 y 与售价 x 的函数关系式； （2）若每天利润不低于 200 元，求售价 x 的取值范围； （3）求每天利润的最大值及对应的售价。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． B 3． A 4． C 5． A 6． A 7． A 8． A 9． {x | x＜－3或x＞－2} 10． {x | －1/2≤x≤1} 11． －2≤a≤2 12． －1 ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】不等式x² － 1 ＜ 0即x² ＜ 1，解得－1 ＜ x ＜ 1，故解集为{x | －1 ＜ x ＜ 1}，选B。本题关键：x² － a² ＜ 0即x² ＜ a²，解为－a ＜ x ＜ a。 2．【答案】B 【解析】解方程x² － 2x － 3 ＝ 0，即(x － 3)(x ＋ 1) ＝ 0，得x ＝ 3或x ＝ －1。由于二次项系数1 ＞ 0，抛物线开口向上，不等式x² － 2x － 3 ≥ 0的解集为{x | x ≤ －1或x ≥ 3}，选B。 3．【答案】A 【解析】判别式Δ ＝ 4 － 12 ＝ －8 ＜ 0，方程x² ＋ 2x ＋ 3 ＝ 0无实根。由于二次项系数1 ＞ 0，抛物线开口向上且与x轴无交点，故x² ＋ 2x ＋ 3 ＞ 0恒成立，解集为R，选A。 4．【答案】C 【解析】x² － 4x ＋ 4 ＝ (x － 2)²，不等式(x － 2)² ≤ 0，由于(x － 2)² ≥ 0恒成立，故(x － 2)² ≤ 0当且仅当x ＝ 2时成立，解集为{2}，选C。 5．【答案】A 【解析】(x － 1)/(x ＋ 2) ＜ 0等价于(x － 1)(x ＋ 2) ＜ 0。解方程(x － 1)(x ＋ 2) ＝ 0得x ＝ 1或x ＝ －2。由于二次项系数1 ＞ 0，抛物线开口向上，不等式(x － 1)(x ＋ 2) ＜ 0的解集为{x | －2 ＜ x ＜ 1}，选A。注意：分母x ＋ 2 ≠ 0即x ≠ －2，在解集中已满足。 6．【答案】A 【解析】不等式x² ＋ ax ＋ 1 ＞ 0对任意实数x恒成立，需二次项系数1 ＞ 0（满足）且判别式Δ ＜ 0。Δ ＝ a² － 4 ＜ 0，解得－2 ＜ a ＜ 2，选A。本题关键：ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0恒成立的条件是a ＞ 0且Δ ＜ 0。 7．【答案】A 【解析】解x² － x － 2 ＜ 0，即(x － 2)(x ＋ 1) ＜ 0，得－1 ＜ x ＜ 2，故A ＝ {x | －1 ＜ x ＜ 2}。B ＝ {x | 0 ＜ x ＜ 3}。A∩B ＝ {x | －1 ＜ x ＜ 2}∩{x | 0 ＜ x ＜ 3} ＝ {x | 0 ＜ x ＜ 2}，选A。 8．【答案】A 【解析】不等式x² ＋ mx ＋ 4 ＜ 0的解集为空集，即x² ＋ mx ＋ 4 ≥ 0恒成立。需二次项系数1 ＞ 0（满足）且判别式Δ ≤ 0。Δ ＝ m² － 16 ≤ 0，解得－4 ≤ m ≤ 4，选A。本题关键：ax² ＋ bx ＋ c ＜ 0解集为空集等价于ax² ＋ bx ＋ c ≥ 0恒成立。 ■ 填空题解析 9．【答案】{x | x ＜ －3 或 x ＞ －2} 【解析】解方程x² ＋ 5x ＋ 6 ＝ 0，即(x ＋ 2)(x ＋ 3) ＝ 0，得x ＝ －2或x ＝ －3。由于二次项系数1 ＞ 0，抛物线开口向上，不等式x² ＋ 5x ＋ 6 ＞ 0的解集为{x | x ＜ －3或x ＞ －2}。 10．【答案】{x | －1/2 ≤ x ≤ 1} 【解析】解方程2x² － x － 1 ＝ 0，即(2x ＋ 1)(x － 1) ＝ 0，得x ＝ －1/2或x ＝ 1。由于二次项系数2 ＞ 0，抛物线开口向上，不等式2x² － x － 1 ≤ 0的解集为{x | －1/2 ≤ x ≤ 1}。 11．【答案】－2 ≤ a ≤ 2 【解析】不等式x² － ax ＋ 1 ＜ 0的解集为空集，即x² － ax ＋ 1 ≥ 0恒成立。需二次项系数1 ＞ 0（满足）且判别式Δ ≤ 0。Δ ＝ a² － 4 ≤ 0，解得－2 ≤ a ≤ 2。 12．【答案】－1 【解析】不等式x² ＋ bx ＋ c ＜ 0的解集为{x | 1 ＜ x ＜ 3}，说明方程x² ＋ bx ＋ c ＝ 0的两根为x₁ ＝ 1, x₂ ＝ 3。由韦达定理：b ＝ －(x₁ ＋ x₂) ＝ －(1 ＋ 3) ＝ －4，c ＝ x₁·x₂ ＝ 1×3 ＝ 3。故b ＋ c ＝ －4 ＋ 3 ＝ －1。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）{x | 2 ＜ x ＜ 3}；（2）{x | x ≤ －1 或 x ≥ 4} 【解析】（1）解方程x² － 5x ＋ 6 ＝ 0，即(x － 2)(x － 3) ＝ 0，得x ＝ 2或x ＝ 3。 由于二次项系数1 ＞ 0，抛物线开口向上，不等式x² － 5x ＋ 6 ＜ 0的解集为{x | 2 ＜ x ＜ 3}。 （2）不等式－x² ＋ 3x ＋ 4 ≤ 0，两边乘以－1得x² － 3x － 4 ≥ 0。 解方程x² － 3x － 4 ＝ 0，即(x － 4)(x ＋ 1) ＝ 0，得x ＝ 4或x ＝ －1。 由于二次项系数1 ＞ 0，抛物线开口向上，不等式x² － 3x － 4 ≥ 0的解集为{x | x ≤ －1或x ≥ 4}。 本题关键：解一元二次不等式时，若二次项系数为负，需先两边乘以－1转化为正数情形。 14．【答案】（1）{x | 1 ＜ x ＜ 2}；（2）a ＝ 3；（3）∅（无解） 【解析】不等式x² － (a ＋ 1)x ＋ a ＜ 0，因式分解得(x － 1)(x － a) ＜ 0。 （1）若a ＝ 2，不等式为(x － 1)(x － 2) ＜ 0，解集为{x | 1 ＜ x ＜ 2}。 （2）若不等式的解集为{x | 1 ＜ x ＜ 3}，说明方程(x － 1)(x － a) ＝ 0的两根为1和a，且a ＞ 1。 由解集{x | 1 ＜ x ＜ 3}知两根为1和3，故a ＝ 3。 检验：当a ＝ 3时，(x － 1)(x － 3) ＜ 0的解集为{x | 1 ＜ x ＜ 3}，符合题意。 （3）若不等式(x － 1)(x － a) ＜ 0的解集为R，即对任意实数x，(x － 1)(x － a) ＜ 0恒成立。 但(x － 1)(x － a)是开口向上的二次函数，当x → ＋∞时(x － 1)(x － a) → ＋∞，不可能恒小于0。 故不存在实数a使不等式解集为R，a的取值范围为空集∅。 本题关键：因式分解后根据两根大小关系确定解集；二次项系数为正的不等式不可能恒小于0。 15．【答案】（1）y ＝ －2x² ＋ 140x － 2000；（2）{x | 35 － 5√5 ≤ x ≤ 35 ＋ 5√5}；（3）最大利润450元，售价35元 【解析】（1）每件利润为(x － 20)元，每天售出(100 － 2x)件。 故每天利润y ＝ (x － 20)(100 － 2x) ＝ 100x － 2x² － 2000 ＋ 40x ＝ －2x² ＋ 140x － 2000。 其中x ＞ 20且100 － 2x ＞ 0即x ＜ 50，故定义域为20 ＜ x ＜ 50。 （2）由y ≥ 200，即－2x² ＋ 140x － 2000 ≥ 200， 化简得－2x² ＋ 140x － 2200 ≥ 0，两边除以－2得x² － 70x ＋ 1100 ≤ 0。 解方程x² － 70x ＋ 1100 ＝ 0，Δ ＝ 4900 － 4400 ＝ 500， x ＝ (70 ± √500)/2 ＝ (70 ± 10√5)/2 ＝ 35 ± 5√5。 由于√5 ≈ 2.236，5√5 ≈ 11.18，故x₁ ≈ 23.82，x₂ ≈ 46.18。 不等式x² － 70x ＋ 1100 ≤ 0的解集为{x | 35 － 5√5 ≤ x ≤ 35 ＋ 5√5}。 结合定义域20 ＜ x ＜ 50，得售价x的取值范围为{35 － 5√5 ≤ x ≤ 35 ＋ 5√5}。 为简化计算，取整数近似：x ∈ [24, 46]（近似值）。 （3）y ＝ －2x² ＋ 140x － 2000 ＝ －2(x² － 70x) － 2000 ＝ －2(x － 35)² ＋ 2450 － 2000 ＝ －2(x － 35)² ＋ 450。 当x ＝ 35时，y取最大值450。 检验：x ＝ 35 ∈ (20, 50)，100 － 2×35 ＝ 30 ＞ 0，符合题意。 故每天利润的最大值为450元，对应的售价为35元。 本题关键：建立利润函数后，利用二次函数的性质求最值，注意定义域的限制。 高一数学必修一 · 第八课时 一元二次不等式 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $