一元二次不等式的应用课时作业15----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

**基本信息** 聚焦一元二次不等式应用，通过基础巩固、中档提升、拔高拓展三层设计，实现从单一解法到综合应用的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|不等式解集、简单含参问题|如选择1-2直接考查分式不等式解法，填空11-14强化基本运算，巩固概念理解| |中档|恒成立、参数讨论|如选择3-5结合二次函数性质，填空12-13训练参数范围推理，培养逻辑思维| |拔高|综合应用、实际建模|如选择6-10（多选）涉及集合交并、函数最值，解答题18-20结合实际问题（利润、面积），提升数学建模与创新意识|

课时作业15　一元二次不等式的应用 一、选择题 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－1<x≤1}　　 B．{x|－1≤x<1} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1<x<1} 2．不等式<0的解集为(　　) A．{x|－1<x<2或2<x<3} B．{x|1<x<3} C．{x|2<x<3} D．{x|－1<x<2} 3．不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　) A．－1＜a＜3 B．a＜－1或a＞3 C．－3＜a＜1 D．a＜－3或a＞1 4．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　) A. B. C. D. 5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< 6．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a< B.≤a< C．a≥ D．a>1 7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2，且α，β是方程f(x)＝0的两根，则a，b，α，β的大小关系可能是(　　) A．a<α<b<β B．a<α<β<b C．α<a<b<β D．α<a<β<b 8．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．m≤0 B．0≤m< C．m<0或0<m< D．m< 9．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 10．(多选题)已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　) A．当a<b<1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅ B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4} C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式 D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝ 2、 填空题 11．若关于x的不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集，则m的取值范围是 . 12．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式＋c>bx的解集为 . 13.若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 . 14.不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________． 15.不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________． 16.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，为保证每天所赚的利润在300元以上，则他要将销售价每件定为 元到 元之间． 三、解答题 17．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}． (1)试求a，b的值； (2)求不等式>0的解集． 18．某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体，房高为2.5 m)，前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两侧用2.5 m高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(钢板的高均为2.5 m，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米售价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米的材料费为200元．每套房的材料费控制在32 000元以内． (1)设房前后墙的长均为x m，两侧墙的长均为y m，每套房所用材料费为P元，试用x，y表示P. (2)当前面墙的长度为多少时，简易房的面积最大？并求出最大面积． 19．已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围． 20.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且不等式ax2＋bx＋c＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}． (1)若方程ax2＋bx＋c＋6a＝0有两个相等的实根，求y＝ax2＋bx＋c的函数式； (2)若y＝ax2＋bx＋c的最大值为正数，求a的取值范围． 课时作业15　一元二次不等式的应用 （答案） 一、选择题 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－1<x≤1}　　 B．{x|－1≤x<1} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1<x<1} 解析：原不等式⇔∴－1≤x<1.故选B. 2．不等式<0的解集为(　　) A．{x|－1<x<2或2<x<3} B．{x|1<x<3} C．{x|2<x<3} D．{x|－1<x<2} 解析：原不等式⇔∴－1<x<3且x≠2.故选A. 3．不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　) A．－1＜a＜3 B．a＜－1或a＞3 C．－3＜a＜1 D．a＜－3或a＞1 解析：由题意得，a2＋1<x<4＋2a. ∴只须4＋2a>a2＋1，即a2－2a－3<0， ∴－1<a<3.故选A. 4．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　) A. B. C. D. 解析：二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要. 故选D. 5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< 解析：∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)， ∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1， 即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立， 所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0， 解得－<a<，故选C. 6．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a< B.≤a< C．a≥ D．a>1 解析：A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1，或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(－3)＝6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2， 所以有f(2)≤0且f(3)>0， 即所以即≤a<.故选B. 7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2，且α，β是方程f(x)＝0的两根，则a，b，α，β的大小关系可能是(　　) A．a<α<b<β B．a<α<β<b C．α<a<b<β D．α<a<β<b 解析：如图所示，在坐标系中画出函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2的图象，图象与x轴交点的横坐标即为α，β，令f(x)＝(x－a)(x－b)＋2＝2，则(x－a)(x－b)＝0， ∴x＝a或x＝b，则函数f(x)的图象与直线y＝2的交点的横坐标分别为a，b.故a<α<β<b.故选B. 8．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．m≤0 B．0≤m< C．m<0或0<m< D．m< 解析：函数f(x)＝mx2－mx－1， 若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，即mx2－mx＋m－5<0对于x∈{x|1≤x≤3}恒成立． 令g(x)＝mx2－mx＋m－5，当m＝0时，－5<0恒成立． 当m<0时，g(x)max＝g(1)＝m－5<0， 解得m<5，∴m<0. 当m>0时，g(x)max＝g(3)＝7m－5<0， 解得m<，∴0<m<. 综上所述，实数m的取值范围为m<.故选D. 9．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4， 所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立， 只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.故选A. 10．(多选题)已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　) A．当a<b<1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅ B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4} C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式 D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝ 解析：由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b<1，所以Δ＝48(b－1)<0，从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确．当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4就是x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b就是x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示． 由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误．由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}， 知a≤min，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b.由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4.当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．故选AB. 3、 填空题 11．若关于x的不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集，则m的取值范围是 . 解析：假设原不等式的解集为空集． 当m＝0时，原不等式化为1<0，此时不等式无解，满足要求．当m≠0时，即 ∴0<m≤4.综上可得0≤m≤4.故当原不等式的解集不是空集时，有m<0或m>4. 答案：m<0或m>4. 12．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式＋c>bx的解集为 . 解析：依题意，－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0. 因此，即 于是，不等式＋c>bx可化为－2a>－ax. 因为a<0，所以－2<－x，即<0，当x＝1时，不等式不成立；当x≠1时，得x<0. 所以所求不等式的解集为{x|x<0}． 答案：{x|x<0}． 13.若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 . 解析：当k＝0时，显然成立； 当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则解得－3＜k＜0. 综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3＜k≤0. 答案：－3＜k≤0. 14.不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________． 解析：不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2，故不等式的解集为{x|0＜x＜2}．答案：{x|0＜x＜2}． 15.不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________． 解析：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立， 所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立， 即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得， Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案：－8≤λ≤4. 16.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，为保证每天所赚的利润在300元以上，则他要将销售价每件定为 元到 元之间． 解析：设每件提高x元(0≤x≤10)，即每件获得利润(2＋x)元，则每天可销售(100－10x)件，每天获总利润为y元， 由题意有y＝(2＋x)(100－10x) ＝－10x2＋80x＋200. 要使每天所赚的利润在300元以上， 则有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－<x<4＋. 故每件定价在(14－)元到(14＋)元之间时，能确保每天的利润在300元以上． 答案：(14－)；(14＋) 三、解答题 17．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}． (1)试求a，b的值； (2)求不等式>0的解集． 解：(1)∵不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}． ∴a<0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两根，由韦达定理可得于是得 (2)由(1)得不等式>0即为>0， ∴>0， 因此(x－2)<0，解得<x<2.即原不等式的解集是. 18．某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体，房高为2.5 m)，前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两侧用2.5 m高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(钢板的高均为2.5 m，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米售价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米的材料费为200元．每套房的材料费控制在32 000元以内． (1)设房前后墙的长均为x m，两侧墙的长均为y m，每套房所用材料费为P元，试用x，y表示P. (2)当前面墙的长度为多少时，简易房的面积最大？并求出最大面积． 解：(1)根据题意，可知前后墙的费用之和为2x·450元，两侧墙的费用之和为2y·200元，房顶面积为xy m2，造价为200xy元， ∴P＝2x·450＋2y·200＋200xy＝900x＋400y＋200xy. (2)设简易房的面积为S m2，则S＝xy，且P≤32 000. 由题意，可得P＝900x＋400y＋200xy ≥200S＋2＝200S＋1 200， ∴200S＋1 200≤P≤32 000， ∴()2＋6 －160≤0，∴0<≤10， 当且仅当即x＝时，S取得最大值，最大值为100. 故当前面墙的长度为 m时，简易房的面积最大，最大面积为100 m2. 19．已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立； ②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立⇔解得－4<m<0. 综上可知，实数m的取值范围是－4<m≤0. (2)令f(x)＝mx2－mx－1， ①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于x∈{x|1≤x≤3}不等式恒成立， 只需即可，所以 解得m<，所以0<m<. ③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意．综上所述，实数m的取值范围是m<. 20.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且不等式ax2＋bx＋c＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}． (1)若方程ax2＋bx＋c＋6a＝0有两个相等的实根，求y＝ax2＋bx＋c的函数式； (2)若y＝ax2＋bx＋c的最大值为正数，求a的取值范围． [解]　(1)∵ax2＋bx＋c＋2x＞0的解集为(1,3)， ∴ax2＋(b＋2)x＋c＝a(x－1)(x－3)且a＜0， ax2＋bx＋c＝ax2－(2＋4a)x＋3a.① 又∵ax2＋bx＋c＋6a＝0化简为ax2－(2＋4a)x＋9a＝0， 有两个相等的实根， ∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0， 即5a2－4a－1＝0，解得a＝－或a＝1(舍去)． 将a＝－代入①得y＝－x2－x－. (2)由y＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－及a＜0， 可得y的最大值为－，由解得a＜－2－或－2＋＜a＜0， 故当y的最大值为正数时，实数a的取值范围是a＜－2－或－2＋＜a＜0. 学科网（北京）股份有限公司 $