2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【课时练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，覆盖二次函数与一元二次方程、不等式核心知识点，通过梯度题型培养数学思维与运算能力，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数关系、不等式解集等单一知识点|选择题聚焦基础概念辨析，如根的分布、解集判断| |提升|命题真假、性质综合辨析|多选题考查多维度推理，如二次函数性质判断| |综合|参数范围、实际问题应用|解答题要求步骤化推理，如集合运算与参数求解|

2.3二次函数与一元二次方程、不等式【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·浙江嘉兴高一上期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（） A.7 B. C. D. 2.（2025-2026·广东深圳高一上期中）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（） A. B. C. D. 3.（2025-2026·北京延庆高一上期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 4.（2025-2026·陕西咸阳高二下期中）已知集合，，则（） A. B. C. D. 5.（2025-2026·海南陵水高一上期中）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 6.（2025-2026·吉林通化高一上期末）“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.（2025-2026·河北高一期中）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.（2025-2026·河北高一期中）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A.    B.    C.    D. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·吉林吉林高一上期中）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（） A.的最小值为1 B.的最小值为2 C.的最大值为2 D.的最大值为2 10.（2025-2026·四川高一期中）下列命题正确的是（   ） A.“”是“”的充分必要条件 B.若，，且，则的最大值为9 C.不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 D.已知，其中a，b为常数，若，则 11.（2025-2026·吉林高一期末）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是（ ） A. 在x轴上截得的线段的长度是2 B. 与y轴交于点(0，3) C. 顶点是(－2，－2) D. 过点(3，0) 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·上海虹口高一上期中）不等式的解集为                   ． 13.（2025-2026·北京海淀高一上期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为                  的值为                   ． 14.（2025-2026·吉林通化高一上期末）若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为            ． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·北京海淀高一上期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 16.（2025-2026·海南海口高一上期中）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·浙江嘉兴高一上期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（） A.7 B. C. D. 【答案】C 【解析】由-2和3是一元二次方程的两个实根, 得,, 故,, 即． 故选:C. 2.（2025-2026·广东深圳高一上期中）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由关于x的不等式的解集为,得,且-2和1是方程的两根. 由韦达定理得,,故,. 由,得即,故,解得. 故选:B. 3.（2025-2026·北京延庆高一上期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由方程有一个正根和一个负根, 得,且两根之积. 由,得, 解得. 故选:B. 4.（2025-2026·陕西咸阳高二下期中）已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对因式分解得，解得，故. 由，得，故. 答案为B. 5.（2025-2026·海南陵水高一上期中）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由定义运算,得. 括号内和为,故. 展开得,由,得, 即. 因为不等式对恒成立,所以二次函数的判别式Δ. Δ. 由Δ得,因式分解为,解得. 故选:B. 6.（2025-2026·吉林通化高一上期末）“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由移项得，通分整理得. 结合分式小于零等价于分子分母乘积小于零，得. 不等式两边同乘得，解得或. 记，，可得. 故可以推出. 不能推出. 从而可得“是“的充分不必要条件. 故选：A. 7.（2025-2026·河北高一期中）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为命题“，使”是假命题， 所以它的否定“，”是真命题. 对于一元二次方程（），其判别式， 在中，，，. 由于恒成立， 即方程最多有一个解， 所以. 展开得， 则，因式分解为， 解得. 故选：B. 8.（2025-2026·河北高一期中）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【解析】已知对于任意的，不等式恒成立. 因为时，，可得恒成立. 对变形可得. 令，因为，所以， 则. 对于二次函数， 其二次项系数，图象开口向下，对称轴为. 所以当时，取得最大值，. 因为恒成立， 即，移项可得. 所以的取值范围是，答案选C. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·吉林吉林高一上期中）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（） A.的最小值为1 B.的最小值为2 C.的最大值为2 D.的最大值为2 【答案】BC 【解析】对于选项A: 正实数x,y满足,由基本不等式,得,故,即,当且仅当时等号成立,所以的最大值为1,A错误. 对于选项B: 正实数x,y满足,由,得,由基本不等式,故,当且仅当时等号成立,所以的最小值为2,B正确. 对于选项C: 正实数x,y满足,由,得,结合选项A中,故,即,当且仅当时等号成立,所以的最大值为2,C正确. 对于选项D: 正实数x,y满足,由,得,结合选项A中,故,当且仅当时等号成立,所以的最小值为2,D错误. 故选:BC. 10.（2025-2026·四川高一期中）下列命题正确的是（   ） A.“”是“”的充分必要条件 B.若，，且，则的最大值为9 C.不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 D.已知，其中a，b为常数，若，则 【答案】ACD 【解析】对于A：若，可得；若，则成立. 所以“”是“”的充分必要条件，A正确. 对于B：. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为，B错误. 对于C：不等式在上恒成立. 因为在上恒成立， 所以在上恒成立，即，解得，C正确. 对于D：已知，则. ，D正确. 正确的是ACD. 11.（2025-2026·吉林高一期末）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是（ ） A. 在x轴上截得的线段的长度是2 B. 与y轴交于点(0，3) C. 顶点是(－2，－2) D. 过点(3，0) 【答案】ABD 【解析】已知二次函数图象过点，对称轴为. 根据二次函数图象的对称性，与轴的两个交点关于对称轴对称， 所以另一个交点为. 在轴上截得线段长度为，故A、D正确. 由函数过点可得， 又对称轴. 联立方程组， 解得，. 则二次函数为. 二次函数顶点横坐标为， 所以顶点不可能是，C错误. 当时，，令，得，即与轴交于点，B正确. 综上，答案是ABD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·上海虹口高一上期中）不等式的解集为                   ． 【答案】或 【解析】由得,即, 故, 解得或, 原不等式的解集为. 13.（2025-2026·北京海淀高一上期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为                  的值为                   ． 【答案】；6 【解析】由是一元二次方程的两个根, 得,. 故. 14.（2025-2026·吉林通化高一上期末）若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为            ． 【答案】0或1 【解析】由方程组消去，将代入第二个方程，整理得. 当时，方程化为，解得. 代入得，此时方程组的解为，符合解集中只有一个元素的条件. 当时，方程为一元二次方程. 因为解集中只有一个元素，所以该方程有两个相等的实数根，即判别式. 计算得. 令，即，解得. 将代入得，结合第二个方程解得，，此时方程组的解为，符合条件. 综上，实数的值为0或1. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·北京海淀高一上期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】解：(1)由得; 由得,故, 因此; (2)由且,得,解得且,故. 16.（2025-2026·海南海口高一上期中）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且，求的最小值． 【答案】解：(1)由不等式的解集为,得, 且方程的两根为和． 由韦达定理,得,, 故,代入得． (2)由,得,即． 因为,,故． 由基本不等式,, 当且仅当时取等号,此时． 结合,得,,故． 学科网（北京）股份有限公司 $