第19章 实数 章节（11知识点回顾+34题型巩固）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第19章 实数 章节（11知识点回顾+30题型巩固） 目录 知识梳理 1.算术平方根 2.算术平方根性质 3.平方根 4.平方根的性质 5.立方根 6.立方根的性质 7. 无理数 8. 实数与数轴 9. 实数的绝对值与大小比较 10.实数的运算 11.科学记数法 题型巩固 一、求一个数的算术平方根 二、利用算术平方根的非负性解题 三、估计算术平方根的取值范围 四、求算术平方根的整数部分和小数部分 五、与算术平方根有关的规律探索题 六、算术平方根的实际应用 七、平方根概念理解 八、求一个数的平方根 九、求代数式的平方根 十、已知一个数的平方根，求这个数 十一、平方根的应用 十二、立方根概念理解 十三、求一个数的立方根 十四、已知一个数的立方根，求这个数 十五、立方根的实际应用 十六、算术平方根和立方根的综合应用 十七、无理数 十八、无理数的大小估算 十九、无理数整数部分的有关计算 二十、计算器——平方根和立方根 二十一、实数概念理解 二十二、实数的分类 二十三、实数的性质 二十四、实数与数轴 二十五、实数的大小比较 二十六、程序设计与实数运算 二十七、实数运算的实际应用 二十八、用科学记数法表示绝对值大于1的数 二十九、用科学记数法表示绝对值小于1的数 三十、还原用科学记数法表示的小数 知识梳理 知识点1.算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 知识点2.算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点3.平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点4.平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 知识点5.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点6.立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 知识点7. 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点8. 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点9. 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 知识点10.实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点11.科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 题型巩固 题型一、求一个数的算术平方根 1．计算： （1） ， ； （2） ， ． 2．计算： (1)； (2)． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 3．若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 4．已知，则的值为 ． 题型三、估计算术平方根的取值范围 5．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 题型四、求算术平方根的整数部分和小数部分 6．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ． 题型五、与算术平方根有关的规律探索题 7．如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 题型六、算术平方根的实际应用 8．学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取 ．其他同学想剪裁的尺寸如下，请按要求填表： 正方形的面积/ 1 9 16 36 5 正方形的边长/ 题型七、平方根概念理解 9．下列各数的平方根只有一个的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型八、求一个数的平方根 10．直接写出下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)； (4)11； (5)361； (6)； (7)； (8)． 题型九、求代数式的平方根 11．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 题型十、已知一个数的平方根，求这个数 12．若一个数的平方根是它本身，则这个数是（    ） A．，0或1 B．0 C．或1 D．0或1 题型十一、平方根的应用 13．若与是同一个数的平方根， 则m的值 ． 题型十二、立方根概念理解 14．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 题型十三、求一个数的立方根 15．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 题型十四、已知一个数的立方根，求这个数 16．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 题型十五、立方根的实际应用 17．一种集装箱是正方体形状的，它的体积是，则这种正方体形状的集装箱的边长是 ． 18．（1）一个正方体形状的木箱容积是，求这个木箱的棱长．（结果精确到）． （2）一个篮球的体积是，求这个篮球的半径．（球体积公式为取3.14，结果精确到） 题型十六、算术平方根和立方根的综合应用 19．解下列方程． (1)； (2)． 20．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 题型十七、无理数 21．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D．2π 22．将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}； 无理数集合：{___________…}． 题型十八、无理数的大小估算 23．因为，所以可估算的大小在整数 与 之间． 题型十九、无理数整数部分的有关计算 24．的小数部分为 ． 题型二十、计算器——平方根和立方根 25．利用计算器，求下列各式的值（结果精确到0.00001）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型二十一、实数概念理解 26．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 题型二十二、实数的分类 27．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 题型二十三、实数的性质 28．的相反数是（　　） A． B． C． D． 题型二十四、实数与数轴 29．如图，数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 题型二十五、实数的大小比较 30．下列各数中比4大比5小的实数是（   ） A． B． C． D． 题型二十六、程序设计与实数运算 31．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 题型二十七、实数运算的实际应用 32．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 题型二十八、用科学记数法表示绝对值大于1的数 33．水是生命之源．一滴水中大约含有个水分子，则滴水中有水分子 个． 题型二十九、用科学记数法表示绝对值小于1的数 34．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有克左右，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 35．用科学记数法表示下列各数： （1） ； （2） ． 题型三十、还原用科学记数法表示的小数 36．下列是用科学记数法表示的数，写出其原数： （1） ； （2） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 实数 章节（11知识点回顾+30题型巩固） 目录 知识梳理 1.算术平方根 2.算术平方根性质 3.平方根 4.平方根的性质 5.立方根 6.立方根的性质 7. 无理数 8. 实数与数轴 9. 实数的绝对值与大小比较 10.实数的运算 11.科学记数法 题型巩固 一、求一个数的算术平方根 二、利用算术平方根的非负性解题 三、估计算术平方根的取值范围 四、求算术平方根的整数部分和小数部分 五、与算术平方根有关的规律探索题 六、算术平方根的实际应用 七、平方根概念理解 八、求一个数的平方根 九、求代数式的平方根 十、已知一个数的平方根，求这个数 十一、平方根的应用 十二、立方根概念理解 十三、求一个数的立方根 十四、已知一个数的立方根，求这个数 十五、立方根的实际应用 十六、算术平方根和立方根的综合应用 十七、无理数 十八、无理数的大小估算 十九、无理数整数部分的有关计算 二十、计算器——平方根和立方根 二十一、实数概念理解 二十二、实数的分类 二十三、实数的性质 二十四、实数与数轴 二十五、实数的大小比较 二十六、程序设计与实数运算 二十七、实数运算的实际应用 二十八、用科学记数法表示绝对值大于1的数 二十九、用科学记数法表示绝对值小于1的数 三十、还原用科学记数法表示的小数 知识梳理 知识点1.算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 知识点2.算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点3.平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 知识点4.平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 知识点5.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 知识点6.立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 知识点7. 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点8. 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点9. 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 知识点10.实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点11.科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 题型巩固 题型一、求一个数的算术平方根 1．计算： （1） ， ； （2） ， ． 【答案】 7 7 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根．掌握算术平方根的概念是解题的关键． （1）直接根据算术平方根的定义计算即可． （2）直接根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：7；7． （2），， 故答案为：；． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0.05 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根的概念即可求解； （2）根据算术平方根的概念即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 3．若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据算术平方根和完全平方的非负性得到，，求出的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 4．已知，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据非负性得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：9 ． 题型三、估计算术平方根的取值范围 5．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 题型四、求算术平方根的整数部分和小数部分 6．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查的是无理数的估算．估算出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为7，则小数部分为， 故答案为：. 题型五、与算术平方根有关的规律探索题 7．如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 【答案】0.0441/ 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位，据此即可求解． 【详解】解：由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位， ∵210的小数点向左移动3位，可以得到，且，， ∴44100的小数点向左移动6位，可以得到， ∴的值为0.0441． 故答案为：0.0441． 题型六、算术平方根的实际应用 8．学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取 ．其他同学想剪裁的尺寸如下，请按要求填表： 正方形的面积/ 1 9 16 36 5 正方形的边长/ 【答案】 5 1 3 4 6 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，会对求 一个数的算术平方根是解题的关键．利用正方形的面积和算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：正方形的面积为边长， 正方形的边长， ∵，，，，，5的算术平方根为， ∴按要求填表如下： 正方形的面积/ 1 9 16 36 5 正方形的边长/ 1 3 4 6 故答案为：①5；②1；③3；④4；⑤6；⑥；⑦． 题型七、平方根概念理解 9．下列各数的平方根只有一个的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根．根据“0的平方根是0，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根”解答即可． 【详解】解：根据题意得，0的平方根是0，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根； 故选：B． 题型八、求一个数的平方根 10．直接写出下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)； (4)11； (5)361； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据求解即可得； （2）根据求解即可得； （3）根据求解即可得； （4）根据求解即可得； （5）根据求解即可得； （6）根据，求解即可得； （7）根据求解即可得； （8）根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴81的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． （3）解：∵， ∴的平方根是． （4）解：∵， ∴的平方根是． （5）解：∵， ∴361的平方根是． （6）解：∵，， ∴的平方根是． （7）解：∵， ∴的平方根是． （8）解：∵， ∴的平方根是． 题型九、求代数式的平方根 11．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【知识点】求代数式的平方根、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 题型十、已知一个数的平方根，求这个数 12．若一个数的平方根是它本身，则这个数是（    ） A．，0或1 B．0 C．或1 D．0或1 【答案】B 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的概念，注意一个正数的平方根有两个．根据平方根的概念求解即可 【详解】解：若一个数的平方根等于它的本身，则这个数是0， 故选：B． 题型十一、平方根的应用 13．若与是同一个数的平方根， 则m的值 ． 【答案】或 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键在于掌握一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数． 根据与是同一个数的平方根，分情况讨论求解，即可解题． 【详解】解：与是同一个数的平方根． 或， 解得或， 综上所述， m的值可以是 或 ． 故答案为： 或 ． 题型十二、立方根概念理解 14．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：13的立方根是， 故选：D． 题型十三、求一个数的立方根 15．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 6 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算； （2）根据立方根的定义进行计算； （3）根据立方根的定义进行计算； （4）根据立方根的定义进行计算； （5）根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：； ； ； ； ． 故答案为∶ ；；6；；． 题型十四、已知一个数的立方根，求这个数 16．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 题型十五、立方根的实际应用 17．一种集装箱是正方体形状的，它的体积是，则这种正方体形状的集装箱的边长是 ． 【答案】4 【知识点】立方根的实际应用 【分析】此题考查立方根的应用，设它的边长是，根据体积列方程，根据立方根定义求解 【详解】解：设它的边长是，则， ∴， 故答案为． 18．（1）一个正方体形状的木箱容积是，求这个木箱的棱长．（结果精确到）． （2）一个篮球的体积是，求这个篮球的半径．（球体积公式为取3.14，结果精确到） 【答案】（1）这个木箱的棱长约；（2）这个篮球的半径约 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． （1）设这个正方体木箱的棱长为，由题意得出方程，求出即可． （2）设这个篮球的半径为，由题意得出方程，求出即可． 【详解】解：（1）设这个木箱的棱长为， 则， 解得． 答：这个木箱的棱长约． （2）设这个篮球的半径为， 根据题意，得， 解得． 答：这个篮球的半径约． 题型十六、算术平方根和立方根的综合应用 19．解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程，掌握平方根及立方根定义，利用开平方与开立方运算求解是解题的关键． （1）根据开平方运算得到一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）根据开立方运算得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 20．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 题型十七、无理数 21．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D．2π 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数是无限不循环小数这一概念． 根据无理数的定义，逐一分析选项，判断各数是否为无限不循环小数． 【详解】解：A、，3是整数，属于有理数，不是无理数； B、3.14是有限小数，，属于有理数，不是无理数； C、是分数，分数属于有理数，不是无理数； D、是无限不循环小数，也是无限不循环小数，符合无理数（无限不循环小数）的定义，所以是无理数． 故选：D． 22．将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}； 无理数集合：{___________…}． 【答案】； ； ； （每两个1之间依次多一个0 【知识点】无理数、实数的分类、有理数的分类 【分析】本题考查实数的分类，根据实数和有理数的分类方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：负数集合：{,...}； 分数集合：{，...}； 非正整数集合：{,...}； 无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．} 题型十八、无理数的大小估算 23．因为，所以可估算的大小在整数 与 之间． 【答案】 4 5 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据夹逼法可得答案． 【详解】解：，， ∴， 的大小在整数4与5之间， 故答案为：4，5（两空答案可互换）． 题型十九、无理数整数部分的有关计算 24．的小数部分为 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，计算可得，估算出即可得出，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴的小数部分为， 答案为：． 题型二十、计算器——平方根和立方根 25．利用计算器，求下列各式的值（结果精确到0.00001）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)44.98889 (2)12.65149 (3)0.81854 (4) (5)9.08331 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查了用计算器进行实数的混合运算，解题的关键是按要求取近似值． （1）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （2）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （3）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （4）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （5）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型二十一、实数概念理解 26．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【知识点】实数与数轴、实数概念理解 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 题型二十二、实数的分类 27．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【知识点】实数的分类 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A. 正实数、零和负实数统称实数，原说法错误； B. 正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法错误； C. 正有理数、零和负有理数统称有理数，原说法错误； D. 无理数和有理数统称实数，说法正确； 故选：D． 题型二十三、实数的性质 28．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了实数的性质，涉及求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 题型二十四、实数与数轴 29．如图，数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】B 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴．给定某一分数，在数轴上找到该点所在的区间，分析该分数的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在2和3之间． 故选：B． 题型二十五、实数的大小比较 30．下列各数中比4大比5小的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是实数的大小比较，逐一判断各选项的数的范围即可得到答案． 【详解】解：， 所给的各数中比4大比5小的实数是． 故选C． 题型二十六、程序设计与实数运算 31．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 题型二十七、实数运算的实际应用 32．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【知识点】平方根的应用、实数运算的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 题型二十八、用科学记数法表示绝对值大于1的数 33．水是生命之源．一滴水中大约含有个水分子，则滴水中有水分子 个． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了有理数的乘法的应用以及科学记数法表示比较大的数,要熟练掌握并会灵活运用． 根据1滴水中约含有个水分子,再计算出滴水中有水分子的个数，用科学记数法表示即可． 【详解】解：（个）． 故答案为； 题型二十九、用科学记数法表示绝对值小于1的数 34．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有克左右，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 35．用科学记数法表示下列各数： （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将数据用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． （2）将数据用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2） 故答案为：； 题型三十、还原用科学记数法表示的小数 36．下列是用科学记数法表示的数，写出其原数： （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，则，，进行作答即可． 【详解】解：，， 故答案为：， 学科网（北京）股份有限公司 $$