精品解析：湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2025-2026学年第二学期七年级期末数学试题

湖南师范大学附属中学2025---2026学年第二学期 七年级期末数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二元一次方程的判定条件：是整式方程，含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为1，据此逐个判断选项即可. 【详解】解：A.不是整式，该方程不是整式方程，不符合二元一次方程定义，故A错误； B.方程整理得，含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程定义，故B正确； C.项的次数为2，不符合条件，故C错误； D.方程只含有一个未知数，属于一元一次方程，不符合定义，故D错误. 2. 为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵ ，不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ∴ ，A不成立，不符合题意； B选项：∵ ，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴ ，B不成立，不符合题意； C选项：∵ ，∴ ， ∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，符合题意； D选项：∵ 可得，但无法确定 一定成立， 例如当，时， ， ， 此时 ，不等式不成立，不符合题意． 4. 某中学为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了他们仰卧起坐的次数，制成的频数分布直方图如图所示，已知该校九年级共有600名学生，请据此估计，该校九年级学生仰卧起坐次数在之间的人数大约是（ ） A. 80 B. 100 C. 200 D. 220 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图和用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用总人数乘以样本中仰卧起坐次数在之间的人数所占比例即可． 【详解】解：估计该校九年级学生仰卧起坐次数在之间的人数大约是（人）． 故选：B． 5. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，，则阴影部分的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，、、分别是、的中点，进一步利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：点是的中点， ， 、、分别是、的中点， ，， ∴， ，且， ， 即阴影部分的面积为． 6. 如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是的边上的高 ∴ ∵ ∴若添加条件， ∴，故A符合题意； 若添加条件，无法证明，故B不符合题意； 若添加条件，无法证明，故C不符合题意； 若添加条件，无法证明，故D不符合题意． 7. 不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上表示出来即可确定结论． 【详解】解： 由①得， 由②得， 故该不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集为： 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集求法以及在数轴上表示不等式组的解集方法，熟练掌握解法步骤及用数轴表示不等式组解集的方法是解决问题的关键． 8. 学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 9. 若关于x的不等式的解集为，则化简的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式性质​（系数为负数时不等号方向改变）、绝对值定义​（负数的绝对值等于其相反数）以及参数范围推理​（通过解集反向确定 ）；解题的关键是通过不等号方向变化反推出系数为负数​（即）．根据不等式解集方向（）与原不等式符号（）​相反，可判定系数 ​必须为负数​（因只有除以负数时不等号才反向），再根据此范围确定为负数，从而化简 ． 【详解】解：原不等式为，解集为， ，即， ， ， 故选：B． 10. 如图1，在物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（法线镜面）都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角（），这就是光的反射定律．如图2，镜子与镜子的夹角，经过两次反射后，入射光线与反射光线平行但方向相反，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分别过点E、G作，，垂线相交于点D，由入射角等于反射角，可得，，再根据平行线的性质可得，即，再由，，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：分别过点E、G作，，垂线相交于点D，如图所示： ∵入射角等于反射角， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 【详解】解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 12. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意； 故第三边长为7； 故答案为：7． 13. 已知，用含x的代数式表示y，得y=______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，  ∴， ∴．  14. 如图，已知，，以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则___________度． 【答案】60 【解析】 【分析】由题意得：，根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：， ∴， 故答案为：60 【点睛】本题考查了尺规作一个角等于已知角和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、得出是解题的关键． 15. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】作，根据角平分线的性质得到，在根据三角形的面积公式计算即可； 【详解】作， ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，， ∴， ∴； 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析计算是解题的关键． 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】数形结合得到，利用消元法消掉即可得到答案． 【详解】解：图2弦图是由八个全等的直角三角形拼接而成，令其中一个直角三角形的面积为，则 ， ， 由①-②得． 三．解答题（第17，18，19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各9分，第24，25题各10分，共72分） 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 18. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： ∴不等式组的解集是：． 19. 解如图，在单位长度为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： （1）补全； （2）画出边上的中线； （3）直接写出的面积 ． 【答案】（1）观察图形可知，点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到点，根据平移规则将平移后得到，如图， （2）取的中点，连接，如图， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移规则平移即可． （2）取的中点，连接即可． （3）采用割补法，的面积长方形的面积的面积的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 的面积长方形的面积的面积的面积， ∵长方形的长，宽， ∴长方形的面积， ∵为直角三角形，底，高， ∴的面积， ∵为直角三角形，底，高， ∴的面积， ∴的面积． 20. 某校文体艺术节期间，举办“爱我家乡，唱我家乡”文艺晚会．每个班推荐一个节目参加晚会表演，参加晚会表演的节目均获奖，奖项分为一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，嘉淇根据获奖情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图． （1）求参加本次晚会所有班级的数量； （2）求获得二等奖的班数占参赛总班数的百分比； （3）计算优秀奖的班级数； （4）将折线统计图补充完整． 【答案】（1） （2） （3） （4）如图，折线统计图补充完整， 【解析】 【分析】（1）观察统计图获得信息进行计算即可． （2）观察统计图获得信息进行计算即可． （3）观察统计图获得信息进行计算即可． （4）根据计算出的班级数描点、连线即可． 【小问1详解】 解：根据折线统计图可知，获得一等奖的班数是个，根据扇形统计图可知获得一等奖占比是 ∴参加晚会所有班级数量为个． 【小问2详解】 解：根据折线统计图可知，获得二等奖的班数是个，由（1）可知共有个班级参加活动 ∴获得二等奖的班数占比为． 【小问3详解】 解：根据扇形统计图可知获得优秀奖的班级数占比为，共有个班级参加活动 ∴获得优秀奖的班级数为个． 【小问4详解】 略 21. 如图，点在线段上，点在线段上，，． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直定义， 对于（1），先根据“两直线平行，内错角相等”得，进而得出，再根据“同位角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据角平分线定义得，然后根据垂直定义得，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【小问1详解】 证明：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 22. 如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． （1）证明：． （2）若，，求 的长． 【答案】（1）证明：∵是 的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，对应边相等即可得到． （2）证明，则，即，则题目可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 2026年3月，师大附中数学组策划了首届校园数学节活动，同学们踊跃参加．为了奖励表现优秀的同学，某班学习委员为班级购买奖品后与生活委员的对话如下： （1）请用二元一次方程组的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； （2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一个练习本，但练习本的单价已记不清，只能记得单价不足5元，设其中6元水笔的个数为m支． ①用含m的代数式表示练习本的单价为 元． ②求练习本的单价是多少元？ 【答案】（1）解：设元水笔数量是支，元的水笔数量是支， 根据题意列出方程组 整理得 由得， 解得 将代入中得， 解得 ∴方程组解为 ∵和表示水笔的数量，是整数，计算结果是小数，不符合实际情况 ∴学习委员搞错了． （2）元，元． 【解析】 【分析】（1）设元水笔数量是支，元的水笔数量是支，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意可知元水笔的个数为m支，元的水笔个数支，设练习本单价为，根据题意列出方程即可，再根据练习本单价的范围解不等式即可求出练习本单价． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意可知元水笔的个数为m支，元的水笔个数支，设练习本单价为 ∴ 根据题意列方程 整理得 答：练习本单价为元． 由知， ∴， 解不等式得，解不等式得， ∴ ∵是整数 ∴ ∴元 答：练习本的单价是元． 24. 定义：若方程（组）的解能使不等式（组）也成立，则称此方程（组）的解为不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称方程的解“”是不等式的“理想解”． （1）请判断方程的解是以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①，②，③； （2）若关于的方程组的解不是不等式的“理想解”，求a的取值范围； （3）若关于的方程组的解都是关于的不等式组的“理想解”，且和均为正整数，当仅有唯一一个确定的整数解时，相应的整数的值为，求代数式的值． 【答案】（1）①③ （2）为任意实数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可； （2）由方程组中的第二个方程可得，结合不等式及 “理想解”的定义可得答案； （3）解方程组得，解不等式组得，根据“理想解”的定义得，继而得到，分两种情况：当时；当时，可确定，，再代入代数式中计算即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， ①， 解得：， ∴当时，成立， ∴方程的解“”是不等式的“理想解”； ②， 解得：， ∴当时，不成立， ∴方程的解“”不是不等式的“理想解”； ③， 解得：， ∴当时，成立， ∴方程的解“”是不等式组的“理想解”， 综上所述，方程的解是①③的“理想解”； 【小问2详解】 解：由方程组中的第二个方程可得：或 ∵， 当时，；当时，， ∴无论取任何实数，和的值不能同时满足， 即关于的方程组的解不是不等式的“理想解”， ∴的取值范围是：为任意实数； 【小问3详解】 解：解方程组，得：， 解不等式组，得：， ∵关于的方程组的解都是关于的不等式组的“理想解”， ∴， ∴， ∵， 又∵， 当时，， 此时不等式组即为，解得：， ∵为正整数， ∴满足的正整数仅有唯一一个，此时； 当时，， 此时不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴， 此时满足的正整数不是唯一一个整数； 综上所述，，， ∴． 25. 已知，在平面直角坐标系中有一个直角，两直角边为，且，． （1）如图①，在平面直角坐标系中，点和点的坐标满足． 请直接写出A、B、C三个点的坐标：A （ ， ）B （ ， ） C （ ， ） ； （2）如图②，在平面直角坐标系中，点，与y轴交于点M，与x轴交于点N，求； （3）如图③，在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，且，动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 【答案】（1），；，；0，5 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、c的值，则可得到点A和点C的坐标；过点B作轴于点D，证明，得到，则，据此可求出点B的坐标； （2）过点C作轴于点F，轴于点E，证明，得到，则可证明，据此可得答案； （3）过点M作轴于点T，证明，得到，则，即可得到；证明，推出，则可证明是等腰直角三角形，得到，根据，得到，解得，则；证明，得到，则． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作轴于点F，轴于点E， ∴； ∵轴，轴， ∴轴，轴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作轴于点T， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师范大学附属中学2025---2026学年第二学期 七年级期末数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了他们仰卧起坐的次数，制成的频数分布直方图如图所示，已知该校九年级共有600名学生，请据此估计，该校九年级学生仰卧起坐次数在之间的人数大约是（ ） A. 80 B. 100 C. 200 D. 220 5. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，，则阴影部分的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式的解集为，则化简的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图1，在物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（法线镜面）都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角（），这就是光的反射定律．如图2，镜子与镜子的夹角，经过两次反射后，入射光线与反射光线平行但方向相反，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，若，则________． 12. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 13. 已知，用含x的代数式表示y，得y=______． 14. 如图，已知，，以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则___________度． 15. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为______． 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 三．解答题（第17，18，19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各9分，第24，25题各10分，共72分） 17. 解方程组：． 18. 解不等式组： 19. 解如图，在单位长度为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： （1）补全； （2）画出边上的中线； （3）直接写出的面积 ． 20. 某校文体艺术节期间，举办“爱我家乡，唱我家乡”文艺晚会．每个班推荐一个节目参加晚会表演，参加晚会表演的节目均获奖，奖项分为一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，嘉淇根据获奖情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图． （1）求参加本次晚会所有班级的数量； （2）求获得二等奖的班数占参赛总班数的百分比； （3）计算优秀奖的班级数； （4）将折线统计图补充完整． 21. 如图，点在线段上，点在线段上，，． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，，求的度数． 22. 如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． （1）证明：． （2）若，，求 的长． 23. 2026年3月，师大附中数学组策划了首届校园数学节活动，同学们踊跃参加．为了奖励表现优秀的同学，某班学习委员为班级购买奖品后与生活委员的对话如下： （1）请用二元一次方程组的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； （2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一个练习本，但练习本的单价已记不清，只能记得单价不足5元，设其中6元水笔的个数为m支． ①用含m的代数式表示练习本的单价为 元． ②求练习本的单价是多少元？ 24. 定义：若方程（组）的解能使不等式（组）也成立，则称此方程（组）的解为不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称方程的解“”是不等式的“理想解”． （1）请判断方程的解是以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①，②，③； （2）若关于的方程组的解不是不等式的“理想解”，求a的取值范围； （3）若关于的方程组的解都是关于的不等式组的“理想解”，且和均为正整数，当仅有唯一一个确定的整数解时，相应的整数的值为，求代数式的值． 25. 已知，在平面直角坐标系中有一个直角，两直角边为，且，． （1）如图①，在平面直角坐标系中，点和点的坐标满足． 请直接写出A、B、C三个点的坐标：A （ ， ）B （ ， ） C （ ， ） ； （2）如图②，在平面直角坐标系中，点，与y轴交于点M，与x轴交于点N，求； （3）如图③，在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，且，动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $