精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中芙蓉中学等校2025-2026学年七年级下学期期中测试 数学（问卷）

七年级下学期期中测试数学（问卷） 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数比较大小的基本规则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较时，绝对值大的反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，，均为正数，为负数， ∴这四个数中，最小的数是负数， 故选：C． 2. 如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，解题的关键是掌握垂线段最短的定理．根据题意，点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【详解】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短， 故选：A． 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，从而即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 估计的值在4和5之间， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：∵点P的横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 无理数是无限小数 C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 一个数的算术平方根是它本身，这个数是1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的概念，实数与数轴的关系．根据平方根，算术平方根的定义，实数与数轴的对应关系即可判断． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、无理数是无限小数正确，故此选项符合题意； C、数轴上的点与实数一一对应，原说法错误，故此选项不符合题意； D、一个数的算术平方根是它本身，这个数是1或0，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用判定，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等求解即可. 【详解】解：∵轴，点，点， ∴， 即：． 8. 若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两式作差即可得到有关的值，根据x与y互为相反数列式计算即可得到答案； 【详解】解：方程组， 得：，即， ∵x与y互为相反数， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查相反数及解二元一次方程组，解题的关键是注意观察两式加减得到结果与已知的关系． 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（优质酒）斗，价值钱；行酒（劣质酒）斗，价值钱；现用钱，买得斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒？设用钱能买得的斗酒里，买到醇酒斗，买到行酒斗，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据两种酒共用钱，共斗的等量关系列出方程组即可． 【详解】解：由题意，得， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键． 10. 将一副三角板按如图放置，其中，则下列结论正确的序号有（ ） 如果与互余，则； 如果，则有； ； 如果，必有． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：与互余， ， ， ， ， 与不平行， 故错误，不符合题意； ， ， ， 故正确，符合题意； 如图，点在的延长线上， ， ， 又， ， 又， ， 故正确，符合题意； ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 12. 在方程中，用含的代数式表示为：_____． 【答案】或 【解析】 【分析】通过移项和系数化为求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 即：或. 13. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】把代入已知方程可得关于a的方程，解方程即得答案． 【详解】解：把代入方程ax+5y=7，得2a－5=7，解得：a=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，属于基础题型，熟知二元一次方程的解的概念是关键． 14. 2026年3月，张雪机车在世界超级摩托车锦标赛连续夺得两回合冠军，是中国品牌首次在此级别领跑完赛，获得人民日报以“追风赶月莫停留”为题的点赞．小军将“张”“雪”“机”“车”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“张”“雪”的坐标分别为，，则“车”的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给坐标建立平面直角坐标系，则“车”的坐标可得. 【详解】解：∵“张”“雪”的坐标分别为，， ∴如图建立平面直角坐标系，“车”的坐标为. 15. 当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，为液面，于点，一束光线沿斜射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差．根据对顶角相等求出，再计算角的差即可． 【详解】解：点为的延长线上一点， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律，第个点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，由于，所以第个点的坐标可得． 【详解】解：根据图形， 以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为时，共有个点， 右下角的点的横坐标为时，共有个点， 右下角的点的横坐标为时，共有个点， 右下角的点的横坐标为时，共有个点， 右下角的点的横坐标为时，共有个点， ∵， 第个点的坐标是. 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方、开方、绝对值化简，最后算加减即可. 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可. 【详解】解： ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 所以方程组的解是． 19. 如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，，求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：（已知）， （____________） 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）． （已知）， ________（_____________） ． ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，由角平分线的定义得，等量代换得，再由得出，进而可证结论成立． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等） 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）． （已知）， （同旁内角互补，两直线平行） ． ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，． （1）把向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，请你画出； （2）请直接写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移方法画出图形即可； （2）根据图形写出点的坐标即可； （3）利用填补法求面积即可. 【小问1详解】 解：如下图： 【小问2详解】 解：由（1）作图可以写出点，，的坐标为：，，； 【小问3详解】 解：． 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，称，两点为“等距点”． （1）点的“长距”等于_____，点的“长距”等于_____． （2）若，点在第三象限，点，两点为“等距点”，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义及点所在象限求解即可. 【小问1详解】 解：点的“长距”为；点的“长距”为； 【小问2详解】 解：∵点，两点为“等距点”，， ∴ ， ∵点在第三象限， ∴， ∴ ， 解得． 22. 如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 23. 2024龙年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买，两种型号智能机器人共台进行快递分拣．若型机器人单价为万元/台，型机器人的单价为万元/台，原价购买共需万元． （1）求购买两种型号智能机器人的数量； （2）购买两种型号机器人的数量不变，若商家对机器人进行打折促销，活动一：台和台为一套，成套打九折，其余按原价；活动二：每满减元．两种活动不可重复参与，请问该快递企业应该参与哪种活动更省钱？并说明理由． 【答案】（1）型机器人买台，型机器人买台 （2）该快递企业应该参与活动二更省钱，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设型机器人有台，型机器人有台，根据原价购买共需万元列方程求解即可； （2）根据题意算出购买机器人在两种活动中所需费用，比较得出结论. 【小问1详解】 解：设型机器人有台，型机器人有台． 依题意得： ， 解得：， ∴（台）， 答：型机器人买台，型机器人买台． 【小问2详解】 解：活动一：（万元）； 活动二：元万元，，取整数次， （万元）． ， 选择活动二更划算． 24. 定义：若为关于x和y的二元一次方程的一组整数解，即，都为整数，则称在平面直角坐标系中的点为方程的“整解点”，例如：为方程的一组整数解，那么点为方程的“整解点”． （1）请求出方程在第一象限内的“整解点”； （2）已知关于x和y的二元一次方程（，且b为正整数）有“整解点”，将该点向上平移6个单位，向右平移2个单位后仍是该方程的“整解点”，求ab的值； （3）有以下关于x和y的三个二元一次方程： ①， ②， ③， 其中p和q为常数且满足，若这三个方程有相同的“整解点”，试求出其相同的“整解点”． 【答案】（1）方程在第一象限内的“整解点”为和 （2）或 （3）三个方程相同的“整解点”为和 【解析】 【分析】（1）根据新定义，结合第一象限内的点的符号特征，求出方程的正整数解即可； （2）根据点的平移规则得到平移后的点的坐标为点，将两个点代入方程组，求出，，根据新定义和已知条件，得到或5，再进行求解即可； （3）根据题意推出，且为整数，也为整数，进而得到的取值为1，，3，，分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：方程的“整解点”在第一象限， ，， 当时，，点为其在第一象限内的“整解点”， 当时，，点为其在第一象限内的“整解点”， 当时，，点为“整解点”，但不在第一象限， 当时，，不符合第一象限要求， 方程在第一象限内的“整解点”为和． 【小问2详解】 解：点是方程的“整解点”， ①， 点也是该方程的“整解点”， ②， 由②①，得， ， 将代入①，得， ， 点是“整解点”， ，n均为整数， 是整数， 又为正整数， 是5的正因数， 或5， 又， 或； 【小问3详解】 由①③，得：， 整理得：， 又，即， 等式两边同时除以，得：， 由①②③，得： ， 整理得：， ， ∴， ，且x，y均为整数， 为整数，也为整数， 为3的因数，即的取值为1，，3，， 当时，，解得，代入方程③得，不符合题意，舍去， 当时，，解得， 当时，，解得，代入方程③得，不符合题意，舍去， 当时，，解得． 三个方程相同的“整解点”为和． 25. 长沙市铜官窑国风乐园夜间无人机表演是该园的一大特色，千架无人机在石渚湖上空组成各种形态的图案．已知在一次无人机表演中，有两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的E，F两点． （1）如图1，若无人机丙悬停于平行轨道和之间的点P，且三架无人机在同一平面内，且满足，．求的度数； （2）无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕E点逆时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速顺时针转回到，然后速度不变再次绕E点逆时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速顺时针转回到，依次进行直到表演结束．无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕F点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． ①如图2，当时，已知甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲再开始和光束乙同时旋转t秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点M，探究和之间的数量关系； ②当甲、乙两光束以的初始速度同时旋转t秒（）时（与不垂直），是否存在实数t使得两光束所在的直线互相平行？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②秒或27秒或45秒或秒 【解析】 【分析】（1）过点P作平行线，利用两直线平行，内错角相等，分别求出两组内错角，再相加得到结论． （2）①先按速度比求出甲、乙转速，再用旋转角度=速度×时间表示出和，最后消去参数得到数量关系．②按甲光束逆时针、顺时针、变速分四段讨论，利用平行线的性质，结合方程思想推理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过P点作辅助线， ， ， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：①甲、乙两光束旋转的初始速度为， 两光束旋转的初始速度之和为秒， 秒，秒， 又，， ∴， 甲光束旋转的角度，乙光束旋转的角度； ， ； ． ②两光束以的初始速度同时旋转，两光束旋转的初始速度之和为秒，将两束光命名为射线与射线， 秒，秒， 一共分四种情况讨论， Ⅰ．时，第一次从旋转到，如图， ，， ，，， ，， ，解得秒； Ⅱ．时，第一次从改变速度往运动，如图， 此时秒， ，， ，， ， ， ， ， 解得秒； Ⅲ．时，第二次从往旋转，如图， ，， ，， ， ， ， ， 解得秒； Ⅳ．时，第二次从改变速度往旋转，如图， 此时秒， ，， ，， ， ， ， ， 解得秒， 综上，秒或27秒或45秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期期中测试数学（问卷） 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 无理数是无限小数 C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 一个数的算术平方根是它本身，这个数是1 6. 如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（优质酒）斗，价值钱；行酒（劣质酒）斗，价值钱；现用钱，买得斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒？设用钱能买得的斗酒里，买到醇酒斗，买到行酒斗，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 将一副三角板按如图放置，其中，则下列结论正确的序号有（ ） 如果与互余，则； 如果，则有； ； 如果，必有． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 25的算术平方根是 _______ . 12. 在方程中，用含的代数式表示为：_____． 13. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则等于______． 14. 2026年3月，张雪机车在世界超级摩托车锦标赛连续夺得两回合冠军，是中国品牌首次在此级别领跑完赛，获得人民日报以“追风赶月莫停留”为题的点赞．小军将“张”“雪”“机”“车”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“张”“雪”的坐标分别为，，则“车”的坐标为_____． 15. 当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，为液面，于点，一束光线沿斜射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律，第个点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，，求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：（已知）， （____________） 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）． （已知）， ________（_____________） ． ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，． （1）把向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，请你画出； （2）请直接写出点，，的坐标； （3）求的面积． 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，称，两点为“等距点”． （1）点的“长距”等于_____，点的“长距”等于_____． （2）若，点在第三象限，点，两点为“等距点”，求的值． 22. 如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 23. 2024龙年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买，两种型号智能机器人共台进行快递分拣．若型机器人单价为万元/台，型机器人的单价为万元/台，原价购买共需万元． （1）求购买两种型号智能机器人的数量； （2）购买两种型号机器人的数量不变，若商家对机器人进行打折促销，活动一：台和台为一套，成套打九折，其余按原价；活动二：每满减元．两种活动不可重复参与，请问该快递企业应该参与哪种活动更省钱？并说明理由． 24. 定义：若为关于x和y的二元一次方程的一组整数解，即，都为整数，则称在平面直角坐标系中的点为方程的“整解点”，例如：为方程的一组整数解，那么点为方程的“整解点”． （1）请求出方程在第一象限内的“整解点”； （2）已知关于x和y的二元一次方程（，且b为正整数）有“整解点”，将该点向上平移6个单位，向右平移2个单位后仍是该方程的“整解点”，求ab的值； （3）有以下关于x和y的三个二元一次方程： ①， ②， ③， 其中p和q为常数且满足，若这三个方程有相同的“整解点”，试求出其相同的“整解点”． 25. 长沙市铜官窑国风乐园夜间无人机表演是该园的一大特色，千架无人机在石渚湖上空组成各种形态的图案．已知在一次无人机表演中，有两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的E，F两点． （1）如图1，若无人机丙悬停于平行轨道和之间的点P，且三架无人机在同一平面内，且满足，．求的度数； （2）无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕E点逆时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速顺时针转回到，然后速度不变再次绕E点逆时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速顺时针转回到，依次进行直到表演结束．无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕F点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． ①如图2，当时，已知甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲再开始和光束乙同时旋转t秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点M，探究和之间的数量关系； ②当甲、乙两光束以的初始速度同时旋转t秒（）时（与不垂直），是否存在实数t使得两光束所在的直线互相平行？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $