25.1一元二次方程的概念（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“概念理解-技能应用-综合拓展”为梯度，覆盖一元二次方程定义、形式转化、解的判断及参数计算，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|定义辨析、一般形式转化|通过辨析题与填空题夯实概念，培养抽象能力与符号意识| |技能应用|解的判断、参数计算|结合计算题与应用题提升运算能力，发展推理意识| |综合拓展|新定义问题、跨情境应用|设计“同一根方程”等创新题型，培养创新意识与数学表达能力|

25.1一元二次方程的概念（解析版） 目 录 类型一、一元二次方程的定义 1 类型二、化成一元二次方程的一般形式 5 类型三、判断是否是一元二次方程的解 8 类型四、由一元二次方程的定义求参数 13 类型五、由一元二次方程的解求参数 18 类型一、一元二次方程的定义 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 5．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 6．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 7．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 8．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程． 选项A：，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项B：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项C：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项D：未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义． 综上，故选A． 9．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 10．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 类型二、化成一元二次方程的一般形式 11．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 13．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 14．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 15．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 16．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 17．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 18．一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 19．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 20．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 21．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 22．已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根． 【答案】方程有两个不相等的实数根，根为和． 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及求解，解题的关键是先根据条件求出的值，再分析根的情况并解方程． 先根据“一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍”列方程求出的值，再代入方程确定其形式，通过根的判别式判断根的情况，最后解方程． 【详解】解：方程的各项系数： 二次项系数：（由一元二次方程定义，，即）， 一次项系数：， 常数项：， 根据题意可得：， 解得：， 将代入原方程，得： ， 整理得：， ， 所以方程有两个不相等的实数根， ， 综上，方程有两个不相等的实数根，根为． 类型三、判断是否是一元二次方程的解 23．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 24．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 25．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 26．关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过计算判别式确定方程有两个不相等实数根，并验证是方程的一个根，从而求得另一个根为，结合判断各选项即可． 【详解】解：∵ 方程 的判别式 ， ∵， ∴， ∴ 方程有两个不相等实数根， 故选项C不符合题意； 当时，代入方程：， ∴是方程的一个根， 故选项A不符合题意； 设另一个根为，由因式分解得，展开得， 与原方程比较系数得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 方程的一个根大于1， 故选项B不符合题意； ∵方程的两个根为1和，均不小于1， ∴ 没有根小于1， 故选项D符合题意． 故答案为：D． 27．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 28．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 29．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 30．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 31．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 32．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 33．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 【答案】(1)不是原方程的解； (2)，． 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 34．已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 【答案】没有公共根，见解析 【分析】本题考查了方程组的解，解题的关键是掌握两个方程的公共根即为两个方程组成的方程组的根； 设关于x的方程 与 有公共根，公共根为 ，推出或，结合题目条件得出，将其代入①，即可得出结论． 【详解】解：没有公共根，理由如下： 不妨设关于x的方程 与 有公共根， 设公共根为 ， 则有 得， ∴或， ，， ，，则 假设 ， 则，即，与矛盾， ， ， ∴， ， 将 代入①得 ， ∵ ，所以 均为正数，其和 必大于0， ∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意， 关于 的两个方程没有公共根． 类型四、由一元二次方程的定义求参数 35．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 36．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 37．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，即， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， ∵， ∴ ，解得， 综上，的取值范围是且， 选项A：，故该选项不符合题意； 选项B：，故该选项不符合题意； 选项C：，满足条件，故该选项符合题意； 选项D：，不满足，故该选项不符合题意． 38．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 39．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 40．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 41．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 42．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 43．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 44．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 45．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 46．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 47．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 48．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 49．已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，根据方程的常数项为，可得，解方程即可求出的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ； （2）解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，． 类型五、由一元二次方程的解求参数 50．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 51．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 52．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 53．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 54．已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴ ∴． 55．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 56．若1是方程的根，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】将代入原方程，即可求出所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根 ∴将代入原方程得， ∴ ，即的值为． 57．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 58．若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， 解得． 59．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 60．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 61．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，化简所求代数式，再利用根与系数的关系得到两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 62．已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 63．已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 64．已知m是方程的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 65．关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 【答案】2 【分析】将已知解代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的条件，确定的值． 【详解】解：把代入，得 ， 整理得，因式分解得 ， 解得，， 原方程为一元二次方程， 二次项系数 ，即， ． 66．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 67．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 68．如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 69．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 70．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)原方程有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为，，结合原方程有一个根不小于5，即可得出． 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 1．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 2．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程不是“纠缠方程”，理由见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“纠缠方程”的定义判断即可； （2）根据“纠缠方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“纠缠方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项n用含m的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于m的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程不是“纠缠方程”． 理由如下：∵， ∴，即． ∵，，， ∴，即． ∴一元二次方程不是“纠缠方程”； （2）证明：∵关于x的一元二次方程为“纠缠方程”， ∴． ∴，即． 因式分解，得， 解得，． ∴为“纠缠方程”的根； （3）解：∵是关于x的“纠缠方程”， ∴，即． ∴． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴． 整理方程，得， 解得，． ∴m的值为或． 3．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 1．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)方程是“差根方程”，见解析 (2)，， (3)方程是“差根方程”，它的根是，或， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 2．阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；②；③；④⑤当时，；⑥当时， 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． 3．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1一元二次方程的概念（原卷版） 目 录 类型一、一元二次方程的定义 1 类型二、化成一元二次方程的一般形式 2 类型三、判断是否是一元二次方程的解 3 类型四、由一元二次方程的定义求参数 4 类型五、由一元二次方程的解求参数 5 类型一、一元二次方程的定义 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 6．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 7．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 8．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 9．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 10．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 类型二、化成一元二次方程的一般形式 11．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 12．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 13．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 14．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 15．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 16．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 17．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 18．一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 19．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 20．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 21．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 22．已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根． 类型三、判断是否是一元二次方程的解 23．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 24．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 25．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 26．关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 27．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 28．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 29．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 30．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 31．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 32．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 33．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 34．已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 类型四、由一元二次方程的定义求参数 35．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 36．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 37．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 38．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 39．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 40．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 42．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．若关于的方程是一元二次方程，则________． 44．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 45．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 46．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 47．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 48．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 49．已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 类型五、由一元二次方程的解求参数 50．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 51．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 52．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 53．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 54．已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 55．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 56．若1是方程的根，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D． 57．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 58．若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 59．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 60．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 61．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 62．已知是方程的解，则________． 63．已知是方程的一个根，则____________． 64．已知m是方程的实数根，则的值为______． 65．关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 66．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 67．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 68．如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 69．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 70．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 1．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 2．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 3．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 1．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 2．阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 3．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $