25.1一元二次方程的概念同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、创新拓展三层设计，实现从一元二次方程概念辨析到综合应用的递进，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念辨析、一般形式转化|单选题1-3直接考查定义与系数，填空题7-9巩固根的意义，夯实抽象能力| |提升层|参数方程分类、根的性质应用|单选题4-6结合系数关系，填空题10-12涉及方程转化，解答题14-15发展推理意识| |拓展层|新定义问题、综合应用|填空题13与解答题17引入"同族二次方程""倒方程"，体现模型意识与创新意识|

25.1 一元二次方程的概念 同步练习 一、单选题 1．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 6．若关于的方程化成一般形式后不含有的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 7．若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 8．已知一个一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是___________．（写出一个即可） 9．已知是方程的解，则________． 10．若a是关于x的一元二次方程的一个根，是关于x的一元二次方程的一个根，且，则n的值为______． 11．若实数x满足，则______． 12．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 13．定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 三、解答题 14．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 15． 已知a为方程的一个根，求代数式的值． 16．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 17．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 4．A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 5．C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 6．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：把方程化为一般形式为， ∵方程不含一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴ ， 故选B． 7． 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 8．（答案不唯一） 【分析】本题考查根据一元二次方程的根构造方程，根据题意写出一个以为根的一元二次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴这个一元二次方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 9． 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 10． 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的定义．由题意，a 是方程 的根，代入得关系式；是方程 的根，代入得另一关系式；结合已知 ，通过代数变换得到关于 a 和 b 的方程，利用非负性确定 a 和 b 的值，进而求出n． 【详解】解：∵ a 是方程 的根， ∴ ， 即 . ∵是方程 的根， ∴ ， 展开得 ， 简化得 ， 即 . 又已知 . ， 整理得 . 即 . ∵ ，， ∴ ，， 即 ，. ∴. 故答案为： 11． 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 12． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 13．2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 14．(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 15． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 17．(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $