专题01 反比例函数及其图象与性质（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

专题01 反比例函数及其图象与性质 （题型突破·举一反三） 题型01 反比例函数的定义 题型02 利用反比例函数的定义求字母的值 题型03求反比例函数值 题型04由反比例函数值求自变量 题型05 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 题型06反比例函数的性质 题型07 反比例函数与一次函数的交点问题 题型08 确定反比例函数的解析式 题型09反比例函数与其它函数图象共存问题 题型10 反比例函数与几何图形综合问题 ▌题型01 反比例函数的定义 ◆1、反比例函数的定义：一般的，形如y（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． ◆2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 注意：因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 【典例1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·全国·期中）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．小明的年龄和妈妈的年龄 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ ▌题型02 利用反比例函数的定义求字母的值 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的 x 的次数为－1，且系数不等于0. 【典例2】如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【变式1-1】函数是关于的反比例函数，则______． 【变式1-2】若函数是反比例函数，则________． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ ▌题型03 求反比例函数值 ◆1、基本方法 已知自变量x的值，直接将x代入函数解析式，计算求出对应的y值。 ◆2、常见题型思路 （1）已知函数表达式与x，直接代入求值； （2）已知图象经过某点，先求出k，再代入x求函数值。 【典例3】（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【变式1-1】（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，且）的图象经过点和，则的值是________． 【变式1-3】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． ▌题型04 由反比例函数值求自变量 ◆1、通用步骤 ①将y数值代入反比例函数； ②转化为一元一次方程求解； ③检验结果，x≠0。 ◆2、拓展考点 已知图象过点、函数值相等类题目，同样适用代入法建立方程计算。 【典例4】（2026·重庆·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）点在反比例函数的图像上，则m的值为________． 【变式1-2】（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． ▌题型05 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 比较反比例函数值大小的方法： 方法一:性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小;当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方,进行函数值大小比较. 方法二:图象法.根据条件在坐标系中描出各点,观察点的位置高低,就可以比较函数值大小.图象法形象直观. 方法三:特殊值法.根据条件取自变量的特殊值,代入解析式求出对应的数值,就可以直接比较函数值大小.特殊值法简单直接. 【典例5】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段检测）已知点、、三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若已知点在反比例函数的图象上,则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）点、、在反比例函数的图象上，且，则有（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （24-25八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是___________．（用“”号连接） ▌题型06 反比例函数的性质 1、当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； 2、当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 【典例6】（24-25九年级上·北京顺义·期末）若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【变式1-1】（2025·云南玉溪·二模）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【变式1-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【变式1-3】（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，已知直线分别与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围为或．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌题型07 反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【变式1-2】（2025·陕西安康·模拟预测）直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 【变式1-3】 （25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． ▌题型08 确定反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 【典例8】（25-26九年级下·重庆铜梁·自主招生）如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）反比例函数与一次函数有一交点，点的横坐标为，则反比例函数的解析式为______． 【变式1-2】（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【变式1-3】 （24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． ▌题型09 反比例函数与其它函数图象共存问题 反比例函数与其它图象的共存问题从各函数性质角度分析共存情况，有时需要用排除法来判断. 【典例9】（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． ▌题型10 反比例函数与几何图形综合问题 ◆ 1、常见几何图形结合思路 （1）直角、矩形、正方形：利用横纵坐标绝对值表示边长，结合面积列式求k或点坐标； （2）三角形：分割 / 补全图形，用坐标法表示底和高，结合面积公式建立等式； （3）平行四边形：利用对边平行、坐标平移规律找点的坐标关系。 ◆2、常用辅助线做法 遇反比例函数几何题，优先向坐标轴作垂线，构造矩形、直角三角形，直接套用k的面积模型简化计算。 ◆3、易错提醒 计算面积时注意k带绝对值，根据图象所在象限确定k正负；坐标正负对应线段长度要取绝对值，不要直接用负数计算边长。 【典例10】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【变式1-2】（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【变式1-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数及其图象与性质 （题型突破·举一反三） ▌题型01 反比例函数的定义 【答案】B 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】B ▌题型02 利用反比例函数的定义求字母的值 【典例2】【答案】B 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． ▌题型03 求反比例函数值 【典例3】【答案】B 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】0 【变式1-3】【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． ▌题型04 由反比例函数值求自变量 【典例4】【答案】B 【变式1-1】【答案】2 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】(1)3 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入，求出m的值，得出反比例函数的解析式，再将点B的坐标代入该解析式，即可求出n的值； （2）求出点B的坐标，根据图象，写出一次函数图象低于反比例函数图象时x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； ∴， 将代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴由图可知，当或时． ▌题型05 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 【典例5】【答案】D 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】 ▌题型06 反比例函数的性质 【典例6】【答案】B 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】D ▌题型07 反比例函数与一次函数的交点问题 【典例7】【答案】C 【变式1-1】【答案】/ 【变式1-2】【答案】16 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，找到的图象在的图象上方部分的图象所对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）根据图象，当时，也就是的图象在的图象上方，所以在点A的左侧及y轴和点B之间的图象，即或． ▌题型08 确定反比例函数的解析式 【典例8】【答案】D 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)时，． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． ▌题型09 反比例函数与其它函数图象共存问题 【典例9】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】A ▌题型10 反比例函数与几何图形综合问题 【典例10】 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，即可求出答案； （3）求出反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，根据图象的位置关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得， 故答案为： （2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴， ∴的面积； （3）联立得到解得或， ∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点， 由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或． 【变式1-1】 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 【变式1-2】 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3) 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 【变式1-3】 【答案】(1)一次函数的解析式：；反比例函数的解析式： (2) (3) (4)或2 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． （2）解：把代入，得． 已知，， 因此． （3）解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． （4）解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数及其图象与性质 （题型突破·举一反三） 题型01 反比例函数的定义 题型02 利用反比例函数的定义求字母的值 题型03求反比例函数值 题型04由反比例函数值求自变量 题型05 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 题型06反比例函数的性质 题型07 反比例函数与一次函数的交点问题 题型08 确定反比例函数的解析式 题型09反比例函数与其它函数图象共存问题 题型10 反比例函数与几何图形综合问题 ▌题型01 反比例函数的定义 ◆1、反比例函数的定义：一般的，形如y（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． ◆2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 注意：因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 【典例1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键； 反比例函数的形式为，或，其中为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】A、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； B、，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级上·全国·期中）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．小明的年龄和妈妈的年龄 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【答案】D 【详解】本题考查成反比例关系的判定，关键是就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例．按成反比例关系的定义判定即可． 【解答】解：A、已经读了的页数未读的页数这本书的总页数（一定），和一定，所以已经读了的页数与未读的页数不成比例； B、妈妈的年龄与小明的年龄差一定，所以小明的年龄和妈妈的年龄不成比例； C、出勤人数：总人数出勤率（一定），商一定，所以出勤人数和总人数成正比例； D、平行四边形的底高平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以平行四边形的底和高成反比例． 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 故选：B． ▌题型02 利用反比例函数的定义求字母的值 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的 x 的次数为－1，且系数不等于0. 【典例2】如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故选B． 【变式1-1】函数是关于的反比例函数，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义可得2m-4=-1且m+1≠0，由此求m的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴2m-4=−1且m+1≠0， 解得：m=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0），也可以写成（k≠0）或xy=k（k≠0）．解题的关键是牢记反比例函数的定义． 【变式1-2】若函数是反比例函数，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． ▌题型03 求反比例函数值 ◆1、基本方法 已知自变量x的值，直接将x代入函数解析式，计算求出对应的y值。 ◆2、常见题型思路 （1）已知函数表达式与x，直接代入求值； （2）已知图象经过某点，先求出k，再代入x求函数值。 【典例3】（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 【变式1-1】（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 【变式1-2】（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，且）的图象经过点和，则的值是________． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数，掌握函数值的计算是关键． 根据题意，算出的值即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：0 ． 【变式1-3】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． ▌题型04 由反比例函数值求自变量 ◆1、通用步骤 ①将y数值代入反比例函数； ②转化为一元一次方程求解； ③检验结果，x≠0。 ◆2、拓展考点 已知图象过点、函数值相等类题目，同样适用代入法建立方程计算。 【典例4】（2026·重庆·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）点在反比例函数的图像上，则m的值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．将点代入反比例函数，即可求出m的值． 【详解】解：把代入得：， 解得， 故答案为：． 【变式1-2】（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入，求出m的值，得出反比例函数的解析式，再将点B的坐标代入该解析式，即可求出n的值； （2）求出点B的坐标，根据图象，写出一次函数图象低于反比例函数图象时x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； ∴， 将代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴由图可知，当或时． ▌题型05 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 比较反比例函数值大小的方法： 方法一:性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小;当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方,进行函数值大小比较. 方法二:图象法.根据条件在坐标系中描出各点,观察点的位置高低,就可以比较函数值大小.图象法形象直观. 方法三:特殊值法.根据条件取自变量的特殊值,代入解析式求出对应的数值,就可以直接比较函数值大小.特殊值法简单直接. 【典例5】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段检测）已知点、、三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数图象与性质进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∴在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴点在第三象限，点、在第一象限， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若已知点在反比例函数的图象上,则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键．由于反比例函数的系数是，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出的值即可进行比较. 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，，， 又∵， ∴． 故选B． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）点、、在反比例函数的图象上，且，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象在二、四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大， 由，可知，点在第二象限，点、在第四象限，则， ∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标， ∴． 故选：B． 【变式1-3】 （24-25八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数比例系数， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． ▌题型06 反比例函数的性质 1、当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； 2、当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 【典例6】（24-25九年级上·北京顺义·期末）若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式的方法是解题的关键．先代入求出的值，再根据反比例函数的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：代入得，， 反比例函数为， A、，故此选项说法不正确，不符合题意； B、因为，所以函数图象经过点，故此选项说法正确，符合题意； C、当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，不符合题意； D、当时，，故此选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2025·云南玉溪·二模）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，设反比例函数，根据反比例函数的图象经过点可得出，进而可得出该反比例函数的图象分别位于第一、第三象限． 【详解】解：设反比例函数， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴该反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：A 【变式1-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 【变式1-3】（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，已知直线分别与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围为或．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、一次函数的图像与性质、反比例函数的图像与性质．根据直线的走向和反比例函数所在象限可知，，根据有理数的乘法法则可知；根据反比例函数的解析式可知，，可得；根据一次函数的解析式可以求出，可得，，可知成立；由图像可知当时，的取值范围为或． 【详解】解：直线的走向是随的增大而减小， ， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， ， 故①正确； 反比例函数的图象相交于，两点， ，， ， 故②正确； 当时，可得：， 点的坐标是， ， ，， ， 故③正确； 由函数图像可知，在第二象限中点的左侧， 此时， 在第四象限中点的左侧， 此时， 当时，的取值范围为或， 故④正确． 综上所述，正确结论的个数是. 故选：D． ▌题型07 反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 【详解】解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 【变式1-1】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 【变式1-2】（2025·陕西安康·模拟预测）直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 【答案】16 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是把两个函数关系式联立成方程组并能正确求解．由题意得出，，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵、在双曲线上， ∴，且A和B关于原点对称． ∴，， ∴， 故答案为：16． 【变式1-3】 （25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，找到的图象在的图象上方部分的图象所对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）根据图象，当时，也就是的图象在的图象上方，所以在点A的左侧及y轴和点B之间的图象，即或． ▌题型08 确定反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 【典例8】（25-26九年级下·重庆铜梁·自主招生）如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入解析式即可求出未知系数，进而得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴代入解析式得， ∴反比例函数的解析式为． 【变式1-1】（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）反比例函数与一次函数有一交点，点的横坐标为，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，首先根据点的横坐标为，并且点在一次函数，可得：，所以点的坐标为，把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出即可． 【详解】解：点的横坐标为， 把代入， 得到：， 反比例函数与一次函数有一交点， 把点 代入， 得到：， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，，故，，根据，求解即可； 【详解】解：设，根据题意，得反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点， 故，， 的面积为， ， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 故反比例函数的解析式为； 【变式1-3】 （24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． ▌题型09 反比例函数与其它函数图象共存问题 反比例函数与其它图象的共存问题从各函数性质角度分析共存情况，有时需要用排除法来判断. 【典例9】（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像经过的象限，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当时，，②当时，，逐项分析判断即可． 【详解】解：①当时，， ∴一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，选项C符合题意； ②当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第二、四象限，所有选项都不符合题意； 故选C． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象性质，熟练掌握一次函数中、的符号对图象的影响，以及反比例函数中的符号对图象所在象限的影响是解题的关键． 根据一次函数的图象，判断出、的符号，进而判断的符号，再与反比例函数的图象特征进行比对，逐一排除矛盾选项． 【详解】解：选项A：∵一次函数图象经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除A． 选项B：∵一次函数图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除B． 选项C：∵一次函数图象经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴矛盾，排除C． 选项D：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴一致，成立． 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，一次函数与轴的交点坐标为，根据当反比例函数，此时一次函数应经过第一、三、四象限；当反比例函数，此时一次函数应经过第一、二、四象限；对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，一次函数与轴的交点坐标为， 当反比例函数，此时一次函数应经过第一、三、四象限；当反比例函数，此时一次函数应经过第一、二、四象限； ∴A正确，故符合要求；B、C、D错误，故不符合要求； 故选：A． ▌题型10 反比例函数与几何图形综合问题 ◆ 1、常见几何图形结合思路 （1）直角、矩形、正方形：利用横纵坐标绝对值表示边长，结合面积列式求k或点坐标； （2）三角形：分割 / 补全图形，用坐标法表示底和高，结合面积公式建立等式； （3）平行四边形：利用对边平行、坐标平移规律找点的坐标关系。 ◆2、常用辅助线做法 遇反比例函数几何题，优先向坐标轴作垂线，构造矩形、直角三角形，直接套用k的面积模型简化计算。 ◆3、易错提醒 计算面积时注意k带绝对值，根据图象所在象限确定k正负；坐标正负对应线段长度要取绝对值，不要直接用负数计算边长。 【典例10】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，即可求出答案； （3）求出反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，根据图象的位置关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得， 故答案为： （2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴， ∴的面积； （3）联立得到解得或， ∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点， 由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 【变式1-2】（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3) 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 【变式1-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式：；反比例函数的解析式： (2) (3) (4)或2 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． （2）解：把代入，得． 已知，， 因此． （3）解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． （4）解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $