精品解析：陕西汉中市部分校2025-2026学年高二下学期7月期末考试联合测评数学试题

2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因,， 则. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】因，则，故. 3. 若双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 4. 已知，为单位向量，，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由两边取平方，得， 因，，代入可得. 5. 已知奇函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式及二倍角公式计算求解. 【详解】已知， 则. 7. 某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 600种 【答案】A 【解析】 【分析】先排4个节目，再按照定序插空排列即可求解. 【详解】先把除了舞蹈节目和合唱节目的4个节目排列有种排法， 舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻， 插空有种，总共有种. 8. 已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，设，根据题意结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】因为，则， 直线，即为，其斜率为， 设， 由题意可得：，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据11，12，13，14，16，18的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可判断A，利用正态分布的性质可判断B，根据线性相关系数的性质可判断C，利用线性回归方程中的基本量可判断D. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的第百分位数为第四个数，故A正确； 对于B，因随机变量，且，则， 则，故B错误； 对于C ,若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，故C正确； 对于D，因为回归直线经过样本点的中心，则，解得，故D正确． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期，对称轴，零点以及最值的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，由可知，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，故的图象不关于对称，故B错误； 对于C，因，故的一个零点为，即C正确； 对于D，对于，当时，即时， 也即当时，，故D错误. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的动点，过点作的垂线，垂足为，若准线与圆相切，点为圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. 圆的半径 C. 当为正三角形时，直线与圆一定相交 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,利用抛物线方程求出焦准距，即得准线方程；对于B，由准线和圆相切，易求得圆的半径；对于C，设，由抛物线定义得，结合正三角形，列方程求出点坐标，即得，利用圆心到直线的距离公式即可判断；对于D，利用抛物线定义，结合三点共线时线段和最短的性质即可求得. 【详解】对于A， 由可得 ，则其准线方程为 ，故A正确； 对于B，圆  的圆心为 ，准线 ， 因准线与圆相切，则 ，故B正确； 对于C，设 ，则，其中 . 若  为正三角形，则 ， 又由，代入 ，解得 或(舍去)， 回代解得，则 . 因圆心到直线的距离 ，即直线与圆相离，故C错误； 对于D，因 ，对任意抛物线上任意点  ，点为圆上的动点， 有 ， 则 由图知，， 因此的最小值为 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 13. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则角=______________. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理，， 因，则. 14. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据铁球与正四棱台铁锭的体积相等列方程，即可求得铁锭的高. 【详解】依题意，正四棱台形状的铁锭的体积等于铁球的体积， 设正四棱台形状的铁锭的高为，则得， 解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为正方形的对角线与的交点，则， 又因为棱的中点，则， 由 平面，平面，可得平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证明，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）建系，写出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，，底面，所以，， 易得，于是可建立如图所示的直角坐标系. 则，，，，所以， ，易知为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【小问1详解】 依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 17. 现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试Ⅰ）通过率为，未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，仍未通过则报废.通过任意一次测试即为合格芯片. （1）若某批次生产了枚芯片，设其中的合格芯片个数为随机变量.当，时，求的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率.（结果用含，的式子表示） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）记事件：芯片合格，利用全概率公式求得，依题意，利用二项分布的期望与方差公式计算即得； （2）记事件：芯片合格，事件：通过测试Ⅰ，事件：通过测试Ⅱ.利用全概率公式求得，利用概率乘法公式求得，再由条件概率公式计算即得. 【小问1详解】 记事件：芯片合格，则事件包括测试Ⅰ通过与未通过测试Ⅰ且通过测试Ⅱ两种情况. 因测试Ⅰ的通过率为，测试Ⅱ的通过率为， 故. 依题意，，则，. 【小问2详解】 记事件：芯片合格，事件：通过测试Ⅰ，事件：通过测试Ⅱ. 由题意得，， 则，故所求概率为. 18. 已知等差数列满足，，等比数列的首项为1，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量运算即可求得数列通项； （2）利用等比数列的基本量运算即可求得数列通项； （3）利用错位相减法计算即得. 【小问1详解】 设的公差为，由，得， 又，故， 所以. 【小问2详解】 设的公比为，由，，成等差数列，得， 又，得，解得或（舍去）， 故. 【小问3详解】 由（1）和（2）可知，，则， ， 两式相减得 . 故. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数的取值情况，分类讨论函数的单调性即可； （3）根据（2）的结论，结合得，即，设，利用导数分类讨论即得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值， 由，可得，因，可得， 令，求导得，即在上单调递减， 又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 若双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 已知，为单位向量，，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 已知奇函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 600种 8. 已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据11，12，13，14，16，18的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值为 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的动点，过点作的垂线，垂足为，若准线与圆相切，点为圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. 圆的半径 C. 当为正三角形时，直线与圆一定相交 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为______________. 13. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则角=______________. 14. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 17. 现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试Ⅰ）通过率为，未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，仍未通过则报废.通过任意一次测试即为合格芯片. （1）若某批次生产了枚芯片，设其中的合格芯片个数为随机变量.当，时，求的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率.（结果用含，的式子表示） 18. 已知等差数列满足，，等比数列的首项为1，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $