1.5 全称量词与存在量词（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“全称量词与存在量词”核心知识点，系统梳理其含义、符号表示、命题真假判断、否定规则及含参问题应用，承接集合与逻辑用语基础，为函数不等式中的恒成立与有解问题提供逻辑工具，构建从概念到应用的学习支架。 资料以结构化设计整合知识点与题型，通过解题贴士（如“全称找反例，存在找正例”）培养数学思维，结合例题与对点练提升逻辑推理与符号表达能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词 课标要点 1、理解全称量词（“所有”“任意”“每一个”等）与存在量词（“存在”“至少有一个”“有些”等）的含义及符号表示。 2、能判断全称量词命题与存在量词命题的真假（给出证明或举反例）。 3、掌握全称量词命题与存在量词命题的否定规则（全称变存在，存在变全称，否定结论）。 4、能对一个量词命题正确写出其否定形式，并判断否定后命题的真假。 5、能利用全称与存在量词解决简单的含参问题（如恒成立与有解问题）。 学习重难点 重点： 1、全称量词与存在量词的符号表示； 2、全称命题与存在命题的判定； 3、命题的否定规则（量词互换、结论取反）； 4、利用全称命题的真假（恒成立）与存在命题的真假（有解）求参数范围。 难点： 1、量词命题的否定中，量词的准确互换（如“任意x，存在y”的否定为“存在x，任意y”）及结论否定时的细节处理； 2、含参问题中“恒成立”与“有解”对应量词的区别（全称对应恒成立，存在对应有解），以及参数范围的端点值取舍容易出错。 知识点 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词的概念 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每个等 存在量词 存在、至少、有个、某些、某个、有些等 2．全称命题与特称命题的概念 命题名称 命题结构 命题表示 全称命题 对中任意，有成立 ， 特称命题 存在中，有成立 ， 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ， ， ， ， 特别提醒 判断真假时，全称命题只需一个反例即假，存在命题只需一个正例即真。注意范围不变，且“有些”在逻辑中表示“至少有一个”。 随学随练 1．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 题型 全称量词命题与存在量词命题的判断 ▌例1（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. ▌例2（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念逐一判断即可. 【详解】对于A：任意是全称量词，所以该命题是全称命题，故A错误； 对于B：对于B：命题“不存在实数”是“存在实数”的否定， 其等价命题为“对任意实数，都有”，这是一个全称量词命题，故B错误； 对于C：矩形是指所有矩形，所以该命题是全称命题，故C错误； 对于D：有一个是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故D正确. 故选：D 解题贴士 全称量词命题：含“所有、任意、一切”等词，表示全部对象都成立；存在量词命题：含“存在、有些、至少有一个”等词，表示至少一个对象成立 ▌对点练1-1（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词、存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义即可得出结果． 【详解】（1）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，； （2）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，方程恰有一个实数解； （3）“有”是存在量词，该命题可表示为：； （4）“存在”是存在量词，该命题可表示为：． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据题中命题的含义及结构形式逐项判断即可. 【详解】选项A，C，D都是含有存在量词的存在量词命题，选项B是含有全称量词的全称量词命题. 故选：B. 题型 全称量词命题与存在量词命题的真假 ▌例1（25-26高一上·四川眉山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 【答案】B 【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B，利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可. 【详解】对于A，当，显然不成立，故A错误； 对于B，若取，则，满足，故B正确； 对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，由必能得到，而由不一定得到，如， 故是的充分不必要条件，即D错误. 故选：B. ▌例2（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可. 【详解】选项A：，因为恒成立，所以，即恒成立，故不存在实数使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当时，，不满足，为假命题，B错误； 选项C：是整数集，自然数集是非负整数集，故为真命题，C正确； 选项D：一元二次方程的，方程无实数根，不存在实数使方程成立，为假命题，D错误. 故选：C. 解题贴士 判断全称命题（∀）真假，只需找一个反例——找到一个不满足的就直接判假；若找不到反例则真。判断存在命题（∃）真假，只需找一个正例——找到一个满足的就直接判真；若一个都找不到则假。速记：全称找反例，存在找正例。 ▌对点练1-1（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可． 【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． ▌对点练1-2（25-26高二下·江西九江·期末）已知命题：，，则为（   ） A．， B．，使得 C．，使得 D．， 【答案】B 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，且否定结论. 【详解】原命题中量词为“任意”，结论为“”， 因此为“，使得”. 题型 根据命题真假求参 ▌例1（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. ▌例2（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 解题贴士 先按题设把命题翻译成数学不等式或方程，再根据真假条件转化为参数的解集范围。 1、若命题为真，则参数需满足该不等式（或方程有解）； 2、若命题为假，则取其否定为真，再求参数范围。 注意区分“恒成立”（全称）与“有解”（存在），并验证端点能否取到。 ▌对点练1-1（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 题型 全称量词命题与存在量词命题的否定 ▌例1（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：命题“，”的否定是“，”． ▌例2（福建三明市2025-2026学年第二学期高二期末适应性练习数学试题）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定规则，更换量词并否定结论即可求解． 【详解】全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”． 所以命题“，”的否定是“，”． 解题贴士 命题的否定遵循“改量词，否结论”原则：全称（∀）变存在（∃），存在（∃）变全称（∀），并否定原结论中的性质。 ▌对点练1-1（25-26高二下·江苏无锡·期末）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定形式为：“，”. ▌对点练1-2（25-26高一下·云南昭通·期末）已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变即可 【详解】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变， 所以命题的否定形式为：，. 题型 根据否定命题求参 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． ▌例2（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知命题．若命题为真命题，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】写出命题，由题意可知，即可求解． 【详解】因， 则，即， ∵命题为真命题，∴， 当时，，当时， 所以． 故答案为：． 解题贴士 先写出原命题的否定（改量词、否结论），再将否定命题为真的条件转化为参数的不等式或方程。若原命题为假，则其否定为真，直接按“否定为真”求参；若原命题为真，则先求否定为真时的参数范围，再取补集。注意含参时需分类讨论，并验证端点取值是否满足题意。 ▌对点练1-1（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，若为假命题，则实数m的取值范围为_____． 【答案】 【详解】因为为假命题，所以命题p：为真命题， 可化为， 即对恒成立，结合，只需即可， 故实数m的取值范围为. 基础通关 1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】因为，所以是假命题，是真命题； 若，则；若，则， 故是真命题. 2．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】使用全称量词命题，命题的否定，充分条件与必要条件的判断方法求解. 【详解】“至少有一个x，使成立”是特称量词命题，A选项错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 当时，，，，C选项错误； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 3．（25-26高一上·山东聊城·期末）（多选）已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据真子集的概念结合条件即得. 【详解】 ，，又，集合是集合的真子集， 故若元素在集合里就一定在集合里，A正确； 若元素在集合里不一定在集合里，B错误； 所以，，CD正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知命题，则命题为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】:，. 4．（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 5．（25-26高二下·北京石景山·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．，≥ D．，≥ 【答案】B 【详解】根据全称量词命题否定的定义，命题“，”的否定是：“，”. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足且，故A正确； 对于B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故D错误． 7．（2026高一·全国·专题练习）若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数性质求出，根据全称命题为真直接求参即可. 【详解】由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 8．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 9．（2025高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 10．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 素养提升 1．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用特称命题为假，分 和 ，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可. （2）先求出集合，再根据必要条件对应集合包含关系，分为空集和非空两类讨论求解即可. 【详解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 3．（25-26高一上·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照集合是否为空集进行分类讨论； （2）根据运算即可. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 4．（2025高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 5．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将先求出集合，将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可； （2）将题设问题转化为，先求出时的取值范围，进而得到时的取值范围. 【详解】（1）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （2）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词 课标要点 1、理解全称量词（“所有”“任意”“每一个”等）与存在量词（“存在”“至少有一个”“有些”等）的含义及符号表示。 2、能判断全称量词命题与存在量词命题的真假（给出证明或举反例）。 3、掌握全称量词命题与存在量词命题的否定规则（全称变存在，存在变全称，否定结论）。 4、能对一个量词命题正确写出其否定形式，并判断否定后命题的真假。 5、能利用全称与存在量词解决简单的含参问题（如恒成立与有解问题）。 学习重难点 重点： 1、全称量词与存在量词的符号表示； 2、全称命题与存在命题的判定； 3、命题的否定规则（量词互换、结论取反）； 4、利用全称命题的真假（恒成立）与存在命题的真假（有解）求参数范围。 难点： 1、量词命题的否定中，量词的准确互换（如“任意x，存在y”的否定为“存在x，任意y”）及结论否定时的细节处理； 2、含参问题中“恒成立”与“有解”对应量词的区别（全称对应恒成立，存在对应有解），以及参数范围的端点值取舍容易出错。 知识点 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词的概念 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每个等 存在量词 存在、至少、有个、某些、某个、有些等 2．全称命题与特称命题的概念 命题名称 命题结构 命题表示 全称命题 对中任意，有成立 ， 特称命题 存在中，有成立 ， 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ， ， ， ， 特别提醒 判断真假时，全称命题只需一个反例即假，存在命题只需一个正例即真。注意范围不变，且“有些”在逻辑中表示“至少有一个”。 随学随练 1．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 题型 全称量词命题与存在量词命题的判断 ▌例1（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 ▌例2（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 解题贴士 全称量词命题：含“所有、任意、一切”等词，表示全部对象都成立；存在量词命题：含“存在、有些、至少有一个”等词，表示至少一个对象成立 ▌对点练1-1（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 题型 全称量词命题与存在量词命题的真假 ▌例1（25-26高一上·四川眉山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． ▌例2（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 解题贴士 判断全称命题（∀）真假，只需找一个反例——找到一个不满足的就直接判假；若找不到反例则真。判断存在命题（∃）真假，只需找一个正例——找到一个满足的就直接判真；若一个都找不到则假。速记：全称找反例，存在找正例。 ▌对点练1-1（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二下·江西九江·期末）已知命题：，，则为（   ） A．， B．，使得 C．，使得 D．， 题型 根据命题真假求参 ▌例1（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. ▌例2（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 先按题设把命题翻译成数学不等式或方程，再根据真假条件转化为参数的解集范围。 1、若命题为真，则参数需满足该不等式（或方程有解）； 2、若命题为假，则取其否定为真，再求参数范围。 注意区分“恒成立”（全称）与“有解”（存在），并验证端点能否取到。 ▌对点练1-1（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 题型 全称量词命题与存在量词命题的否定 ▌例1（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， ▌例2（福建三明市2025-2026学年第二学期高二期末适应性练习数学试题）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 解题贴士 命题的否定遵循“改量词，否结论”原则：全称（∀）变存在（∃），存在（∃）变全称（∀），并否定原结论中的性质。 ▌对点练1-1（25-26高二下·江苏无锡·期末）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练1-2（25-26高一下·云南昭通·期末）已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型 根据否定命题求参 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． ▌例2（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知命题．若命题为真命题，则实数的取值范围是_______． 解题贴士 先写出原命题的否定（改量词、否结论），再将否定命题为真的条件转化为参数的不等式或方程。若原命题为假，则其否定为真，直接按“否定为真”求参；若原命题为真，则先求否定为真时的参数范围，再取补集。注意含参时需分类讨论，并验证端点取值是否满足题意。 ▌对点练1-1（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，若为假命题，则实数m的取值范围为_____． 基础通关 1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 3．（25-26高一上·山东聊城·期末）（多选）已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知命题，则命题为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京石景山·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．，≥ D．，≥ 6．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·专题练习）若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 9．（2025高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 10．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 素养提升 1．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 3．（25-26高一上·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 4．（2025高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 5．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $