专题04 构造抽象函数模型解不等式和比较大小6种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦“构造抽象函数模型解不等式和比较大小”专题，涵盖导数运算法则、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及等式型构造六大题型，系统梳理各类构造方法与解题策略。 清单按考法分类呈现，每个题型配备具体构造模板和高考真题示例，如导数运算法则构造中针对不同导数不等式给出对应辅助函数，培养学生数学思维与模型意识。设解题技能通关模块，标注高频考点与易错点，助力学生高效备考，教师可据此精准指导复习方向。

专题04 构造抽象函数模型解不等式和比较大小 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 利用导数的运算法则构造 （1）对于，构造 （2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． （3）对于，构造 （4）对于，构造 （5）对于不等式，构造函数. 1．（2026高三·山西长治·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，对其求导，根据已知条件判断单调性，再结合已知值确定的零点，最后将不等式转化为，利用函数单调性求解不等式. 【详解】设，则. 已知，所以，这表明在上单调递减. 已知，可得：. 不等式可化为：， 即0. 所以， 根据单调性可得. 已知，所以时，. 综上，不等式的解集为. 2．（广东韶关市2025-2026学年高三学期7月期末练习数学试题）函数是定义域为的偶函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造辅助函数，先证为偶函数，由时得在递增；将原不等式整理为，利用偶函数单调性转化为，平方化简解得． 【详解】设， 由题意，，得， 所以是偶函数， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 由，得 所以， 所以等价于，解得． 3．（2026高三·江苏镇江·期中）定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先通过构造函数，根据已知条件判断其单调性，再结合得到的值，最后将不等式转化为关于的不等式，利用单调性求解. 【详解】对任意，， 设，求导得：，即为增函数， ，故， 可化为，即， 因为增函数，所以，解得， 则不等式的解集为. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式. 【详解】解：令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以， 即不等式的解集为. 5．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】令，结合已知条件，证明为上的偶函数，在上单调递增，则等价于，即在上恒成立，结合单调性求解即可. 【详解】由，得. 令，则，故为上的偶函数． 因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 故等价于，即在上恒成立， 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 平方后化简得到，由一次函数性质得， 解得． 故实数的取值范围为. 6．（2026高三·河北衡水·开学考试）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 【答案】 【分析】构造函数，分析其单调性和奇偶性，再结合图形即可求解不等式. 【详解】设，则， 因为当时，，所以当时，， 所以函数在上单调递减， 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即是上的奇函数， 故函数在上单调递减，， 又为偶函数，则，所以，所以， 不等式等价于，结合图象解得或， 则不等式的解集为. 7．（2026高三·四川宜宾·阶段检测）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数不等式等条件构造函数，利用题设条件判断该函数的单调性，再结合，运用数形结合思想即可求解. 【详解】令，当时，，则在上单调递增， 又因分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则由可知函数为奇函数，故在上单调递增， 又因，则， 则由和的单调性可得或. 故不等式的解集是，A正确. 题型02 构造幂函数型 （1）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （2）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 8．（2026高三·重庆·期末）已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，通过求导判断函数的单调性，再结合条件，利用单调性求解不等式即可.. 【详解】令，，则， 可知当时，是增函数. 又，所以， 在上，不等式的解集就是的解集， 也即的解集. 9．（河南郑州市共同体2025-2026学年高三学期期末考试数学试题）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】设，. 当时，， 因为时，，所以当时，. 所以在上单调递增，且， 所以当时，；当时，. 又为上的奇函数，所以为上的偶函数. 所以当时，；当时，. 综上，不等式的解集为. 10．（2026高三·天津·期末）已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，求导，判断其单调性，对不等式进行转化，利用函数的单调性解不等式. 【详解】构造，则， 因为，所以，所以在上单调递增， ， 因为函数的定义域是，所以， 所以，， 又， 所以，所以，所以， 综上，，即不等式的解集是. 11．（2026高三·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可． 【详解】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 12．（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导后可知在上单调递减，由得，不等式等价于，从而得解． 【详解】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集是． 13．（2026高三·天津津南·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集. 【详解】设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 14．（2026高三·甘肃兰州·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据题意分析的单调性和奇偶性，分类讨论是否为0，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，， 因为，可知函数为的偶函数， 又因为， 当时，， 若，则，即； 若，则，，可得， 可知在内单调递减，则在内单调递增. 对于不等式， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，可得， 即，可得，解得，且； 综上所述：不等式解集为. 15．（2026高三·重庆·阶段检测）已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解即可. 【详解】由题意，设，则， 当时，有，所以当时，， 所以函数在上为增函数， 因为函数是偶函数，所以是偶函数， 由，得，又，所以， 所以，所以，又函数在上为增函数， 所以，解得或，所以成立的的取值范围是. 16．（2026高三·河北廊坊·期中）已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数在上为增函数，结合函数的奇偶性定义判断其为偶函数，将不等式化为，利用单调性即可求解. 【详解】设，求导得，因， 则当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递减. 又为偶函数，，则，即函数是偶函数， 又，则， 则（*）， 由可得，则， 将（*）两边同除以，可得，即， 由是偶函数可得，又因函数在上单调递增， 可得且，解得. 17．（2026高三·湖北·期中）已知定义域为的奇函数，其图象为连续不断的曲线，的导函数为.若对任意，都有，且，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式. 【详解】令，因为是奇函数，即， 所以，即是奇函数； 又当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且； 是定义在R上的连续函数，所以在上单调递增； 又，所以， 对于不等式，又，所以， 所以不等式,等价于，即， 所以，且，即不等式解集为． 18．（2026高三·湖南长沙·期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】构造函数 ，利用导数结合条件可证明 在 上单调递增，原不等式等价于，利用函数的定义域以及单调性即可求解. 【详解】构造函数 ，其定义域为 ， 由题知：，且 ，因此 ，即 在 上单调递增. 已知 ，得 ， 原不等式 等价于： ， 根据 的单调性和定义域得，解得 ， 即不等式的解集为 . 19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】构造函数，求导，结合已知条件分析函数单调性，进而利用单调性解不等式． 【详解】令，， 故在上单调递增， 已知，则， 不等式等价于，即， 在上单调递增， 故， 解得或，解集为． 20．（2026高三·吉林·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过求导确定单调性，即可求解. 【详解】构造函数​，， 求导得： ，​ 由题，且， 因此，即在上单调递减， 又，因此， 则不等式等价于， 两边同除以得： . 因为在上单调递减，所以，解得， 即解集为. 21．（2026高三·重庆·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察已知条件，构造新函数，通过分析的奇偶性和单调性得出结论. 【详解】定义函数，则， 由题意，当时，，即， 当时，有，故，即在上单调递增， 由于是偶函数，则也是偶函数，因此在上单调递减， 由于，所以， 代入不等式，可化简为， 由的单调性，得，解得或， 即的解集为，故A正确. 22．（2026高三·北京·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 【答案】 【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小． 【详解】设，， 当时，，即， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即， 所以． 23．（2026高三·河北邢台·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以. 24．（2026高三·吉林长春·期中）已知定义在上的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导确定单调性，即可求解 【详解】设 ，对求导得：， 因为 ，得 ，因此 是定义在R上的单调递减函数， 又 ，得 ，代入即得 . 25．（2026高三·天津西青·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，由条件知在上单调递减，利用奇偶性将化为，比较即可判断. 【详解】设函数，则， 所以根据题中条件，当时，，即函数在上单调递减， 因为为奇函数，所以，所以为偶函数， ，，， 因为，所以，即. 【点睛】本题主要考查抽象函数导数问题，此类问题常考常新，成为近年来命题的热点，主要是利用导数研究函数单调性，根据题中条件，结合导数四则运算法则和复合函数求导来构造新函数，使多个分散条件集中指向某一个函数的导数，然后通过新函数的单调性来解题.在构造的过程中，有的需要直接构造，有的需要变形构造，不论哪种构造，都要结合问题的外形结构特征及求导法则的特征进行合理恰当的构造. 26．（2026高三·湖北孝感·期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，比较函数值的大小. 【详解】由，得． 设函数，则， 所以在上单调递减，从而， 即，即． 27．【多选】（2026高三·湖南长沙·期末）已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由题意得到，化不等式，再令，对函数求导，判断出其单调性，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的单调递减函数， 所以时，， 由，得到，, 令，则， 所以函数在区间上单调递增， 所以， 即， 所以，故A错误， 因为且， 所以, 所以，故B错误 ，故C正确，，故D错误； 故选：ABD 28．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可. 【详解】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C 题型03 构造指数函数型 （1）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （2）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 29．（2026高三·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 30．（2026高三·山东淄博·期中）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造辅助函数，将抽象不等式转化为函数单调性问题，需注意定义域的限制条件. 【详解】构造辅助函数 ，. ∵ ，且已知 ，， ∴ ，即 在 上单调递减. 原不等式成立需先满足函数定义域：，解得 . 由不等式 两边同时除以 ，可得 ， 即 . ∵ 在上单调递减， ∴ ，解得 . 即不等式的解集为 . 【点睛】方法点睛：对于给出 与 大小关系的抽象不等式问题，可根据不等号方向构造对应辅助函数（如本题构造 ），将不等式转化为函数值大小关系，结合函数单调性求解. 31．（山东滨州市2025-2026学年高三学期期末数学试题）定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】构造函数，利用单调性求解不等式. 【详解】令，则，则在上单调递减， 等价于，则，得， 则不等式的解集为. 32．（2026高三·广东东莞·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解． 【详解】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 33．（2026高三·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，， ，即，即，故， 所以不等式的解集为. 34．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 35．（2026高三·天津津南·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 【答案】 【分析】构造函数，根据已知讨论导数符号可得单调性，由可得，将不等式转化为，然后利用单调性可解. 【详解】记，则， 因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即， 所以， 因为， 所以，解得. 所以不等式的解集是. 36．（2026高三·广西河池·期中）已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，利用单调性的性质求解即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以得. 所以不等式的解集是. 37．（2026高三·河南南阳·阶段检测）定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_______ 【答案】 【分析】令，求导判定其单调性，结合，由利用单调性即可得解. 【详解】令，则， 因为，所以，故， 即函数在上单调递增， ， 则,即，由函数的单调性可得， 故的解集为. 38．（2026高三·云南楚雄·期中）已知函数的导函数为，且与的定义域都是，若对，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据导数及题设得出在上单调递减，结合得出，根据函数单调性即可求解． 【详解】令，则， 因为对，， 所以，即， 所以在上单调递减，又， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集为． 39．（2026高三·河南洛阳·期中）已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】构造函数，进而将原不等式转化为，再根据题意得在上是单调递减函数，最后根据单调性解不等式即可. 【详解】因为对任意的满足，即 ， 令，则， 所以在上是单调递减函数， 因为，， 所以， 所以，即不等式的解集是. 40．【多选】（2026高三·黑龙江·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】CD 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，进而求解不等式. 【详解】令函数，求导得，由， 得，即函数在定义域上单调递增，由，得， 不等式，即，解得， 所以所求的值可能为1，2. 41．（2026高三·湖南·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】因为，所以，即， 设，求导可得在上恒成立，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 不等式，因为，所以化简可得， ，， 即可转化为， 因为在上单调递增，所以，解得， 即不等式的解集为． 42．（2026高三·北京房山·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，再结合已知条件得在上单调递增，进而将问题转化为求解即可. 【详解】令， 则， 因为定义在上的函数满足，即， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以， 因为，即， 所以，即不等式的解集为. 43．（2026高三·天津南开·阶段检测）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过求导结合条件分析的单调性，由推出，将不等式转化为，利用单调性可得答案. 【详解】令，则， 因为， 所以当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 因为，所以， 所以，故关于对称， 因为等价于，等价于， 所以，即， 故，即不等式的解集是. 44．【多选】（2026高三·甘肃金昌·期中）函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件构造新函数，利用函数导数与函数的单调性，逐项比较大小即可. 【详解】令，由， 又且， 所以，所以函数在上单调递减； 对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确； 45．（2026高三·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 题型04 构造对数函数型 （1）对于，分类讨论： ①若，则构造②若，则构造 （2）对于，构造. （3）对于，构造. 46．（2026高三·天津武清·阶段检测）已知是定义在上的连续奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A．B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性和根据函数性质求解不等式. 【详解】已知 时，，整理得， 设 ， ， 由条件得，当 时，，即 在 单调递减。 时， ， 当时，，因为，所以 当<0，因为，所以 在中，令得 所以时, 因为 是上的连续奇函数，则，且 所以时, 解不等式 ,得 情况 1： 时，，无交集，无解； 情况 2： 当，，所以 综上所述，不等式的解集为. 47．（2026高三·山东济南·期中）已知函数定义域为，为其导函数，且满足对，都有．若，则当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，将所求不等式变形为，结合的单调性以及指数函数的单调性求解即可. 【详解】对，都有，即， 构造函数，其中，， 所以函数在上为减函数， 由可得， 又因为，则， 由可得，所以，解得， 故原不等式的解集为. 48．（2026高三·吉林长春·阶段检测）设为定义在上的可导函数，e为自然对数的底数.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导结合题设条件判断其单调性，代值计算即可判断选项正误. 【详解】令，函数的定义域为，求导得， 因，，则，故函数在上均为增函数. 因，则，即，故可得，即C错误，D正确； 由可得，因， 显然，但由题设条件，无法推得的正负，故与的大小无法比较， 从而无法比较与的大小，故A,B错误. 题型05 构造三角函数型 （1）对于，即，构造． （2）对于，构造． （3）对于，构造． （4）对于，构造． 49．（2026高三·广东汕尾·期中）已知函数的定义域为，其导函数是．若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数，，求导可得 所以函数在上单调递增， 易知时，，不等式等价于，即， 在上单调递增，可得， 因为，因此不等式的解集为． 50．（2026高三·广东广州·期中）已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】由题意得，令函数，而， 求导得， 则函数在上单调递增，， 不等式，因此， 所以x的范围为. 51．（2026高三·广东珠海·期中）已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集是______ 【答案】 【分析】构造,由条件推出得在单调递减，再利用二倍角公式化简原不等式,整理变形为，借助单调性得，结合定义域求出解集. 【详解】已知定义在上的函数满足， 即，两边同乘可得， 观察可知左边为，右边为， 构造辅助函数， 求导得， 所以在上严格单调递减. 对原不等式进行化简可得. 即，再两边同除以， 整理得，则， 又，则， 因此原不等式等价于. 因为在上严格单调递减，所以等价于. 因为定义域，解得，即不等式的解集为. 52．（2026高三·北京丰台·期中）已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断函数在定义域内为单调递增，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令，， 因为， 则 ， 所以在上单调递增. 因为，所以关于的不等式， 可化为，即 因为在上单调递增，所以由 可得， 由定义域知，解得. 即不等式的解集为 53．（2026高三·江苏扬州·期中）已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，通过研究的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】令，因为为定义在上的奇函数， 则， 所以为定义在上的偶函数. 当时，，，由已知， 所以， 则在上单调递减，则对于不等式， 当时，，不等式可化为，即， 又在上单调递减，解得； 当时，，不等式可化为，即， 由为偶函数，则在上单调递增，解得， 所以不等式的解集为． 54．（2026高三·河北唐山·期中）已知上的奇函数，其导函数为，且当时，，若，则a与b的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，确定函数的奇偶性，再利用导数确定在上单调性，进而比较大小. 【详解】令函数，由为上的奇函数， 得，即函数是偶函数， 当时，，则， 函数在上单调递减，， ， 由，得，因此， 所以. 55．【多选】（2026高三·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解. 【详解】令，则. 由已知可得，即在上单调递减． 所以， 故，，即C、D选项正确． 选项B，因为，所以， 若为负，则， 所以不等式不成立. 选项A，由， 可得， 无法推出，因此选项A错误. 56．【多选】（2026高三·福建福州·阶段检测）已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】观察题给式子构造函数，结合已知条件利用导数得到的单调性，然后利用单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 因为，所以，单调递减， 易知，所以，即，A错误； 因为，所以，而， 所以且有，所以，B错误； 易知，所以即，C正确； 易知，所以即，D正确. 57．【多选】（2026高三·贵州毕节·阶段检测）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】研究题中所给函数的性质，利用导数除法法则求出，由题得推出在单调递减，再根据自变量大小比较、、的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正误. 【详解】已知，根据商的求导法则求导得： . 由题知，因此在上单调递减. 因为，结合单调递减性得： . 由，即， 整理得. 由，即， 整理得. 综上，选项A、B错误，选项C、D正确. 58．【多选】（2026·河北沧州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，求导，根据导数判断单调性，根据函数单调性判断即可求解. 【详解】令， ，，则恒成立， 故在，上单调递增， 故，即，故 B正确，D错误． ，即，故 C正确，A错误． 59．【多选】（2026高三·福建泉州·阶段检测）已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，根据题意，求得在单调递增，结合选项，利用函数的单调性和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得， 又因为，所以，在单调递增， 对于A，由，可得，即， 可得，所以，所以A不正确； 对于B，由，可得，即， 可得，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，所以， 可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以， 可得，所以D不正确. 60．（2026高三·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. 题型06 等式型构造问题 1.题型特征：无不等式，给出与恒等式，求函数解析式、极值、零点； 2.解题流程： ①对照前五类模板构造辅助函数； ②求导后发现，推出（常数）； ③代入特殊点算出常数，反解； ④对再次求导，分析导函数零点，判断极大、极小值； ⑤结合解析式完成证明、零点计数等综合问题。 61．【多选】（2026高三·江西萍乡·期中）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得最小值 C．时，恒成立 D． 【答案】ACD 【分析】令，利用导数求出的单调性，即可判断A；结合A，可得，为常数，进而可得，利用导数确定其单调性及最值，即可判断B；利用对数函数的性质可判断C；根据函数的解析式，利用放缩或图象法判断D. 【详解】因为， 所以， 令， 则， 令，得，解得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 对于A，因为， 所以，即， 所以，故A正确； 对于B，由A可知， 所以，为常数， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得最大值，故B错误； 对于C，因为， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，由B可知，且在处取得最大值， 又因为， ， 所以，故D正确. 62．【多选】（2026高三·黑龙江哈尔滨·期末）.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 【答案】BCD 【分析】令，利用导数求解其单调性，根据极值点的概念判断AB；根据单调性比较大小判断CD. 【详解】令，则， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 所以在时，取得极大值，无极小值，故A错误，B正确； 因为在和上单调递减， 所以，所以，即， ，所以，即，故CD正确. 故选：BCD 63．（2026高三·全国·竞赛）设定义在的单调函数，对任意的都有，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对任意的，都有，又是定义在上的单调函数，则为定值，求出其值后得，进而求得 由方程有两个不同的实数根，转化为有两个不同的实数根，令对其求导求得的最小值，从而求得实数的取值范围. 【详解】依题意，对任意的，都有， 又是定义在上的单调函数，则为定值， 设，则， 所以，由已知有两个不同的实数根， 令则，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取得最小值，所以符合条件的的范围是. 故选：B. 64．（2026高三·辽宁大连·阶段检测）函数满足：， ．则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【答案】D 【分析】先由已知可得，则可令，则 ，则有，再构造函数研究的符号，可得，即可得解. 【详解】解：因为，所以, 令，则 ， 所以， 令 ，则， 则当时， ，当时， 即函数在为增函数，在为减函数， 所以， 即，即函数在为减函数， 即时，既无极大值，也无极小值， 故选D. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了拼凑法构造函数，属难度较大的题型. 65．（2026高三·四川·阶段检测）设函数满足，，则时，（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】B 【分析】先利用导数的运算法则，确定的解析式，构造新函数，确定函数的单调性即可求出结论． 【详解】解：由，即， 结合，可知， ， 可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值． 故选：B 【点睛】本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 66．（2026高三·湖北·期中）定义在上的函数满足，且，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】D 【分析】将代入，推出，然后再判断左右两侧导数的符号，从而确定的极值情况. 【详解】因为，且， 所以，① 令，则， 又，记， 所以. 当时，，递减；当时，，递增. 结合①当时，，所以的最小值为0，即， 因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值. 故选：D. 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，还考查了构造转化求解问题的能力,属于较难题. 67．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值 【答案】C 【分析】结合导数运算公式由条件求，由此可得，再根据极值与导数的关系，利用导数求函数的极值即可. 【详解】∵，∴． 取可得，， 由，令，得， 因为，可得， ∴，则， ∴． 令，则； 令，， 易知时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， 所以当时，取最小值， 又，当时， ，时，， ∴存在，，使得． 不妨设，则当时，，当时，，当时，． ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ∴既有极大值，又有极小值． 故选：C. 68．（2026高三·湖北武汉·期中）若函数满足，，则当时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值 【答案】B 【解析】构建函数，则，利用导数考虑的符号可得的极小值点. 【详解】， ，则且 ， 当时，，故在上是增函数， 又， 令，则为上的增函数， ，故 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以在上有极小值，无极大值，故选B. 【点睛】对于抽象函数的导数问题，应根据导数与原函数的关系构建新函数，利用新函数性质讨论原函数的导数的符号从而得到其单调性、极值、最值等. 69．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期中）设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 【答案】C 【解析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值． 【详解】由题意可知，，即， 所以， 令，则， 因为函数在处存在导数，所以为定值，，， 所以， 令，当时，， 构建函数，则有， 所以函数在上单调递增， 当，，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以当时函数必有一解， 令这一解为，，则当时， 当时， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． 【点睛】本题考查导数的相关性质，能否根据导函数的相关性质构造出函数是解决本题的关键，考查如何根据导函数性质来判断函数是否有极值，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题． 70．（2026·新疆·模拟预测）若函数满足，且，则函数（    ） A．既无极大值又无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【分析】对已知式子进行整理可得，从而可知，结合可求出，求出导数即可求出极值. 【详解】解：因为 ，则，所以，为常数， 则，所以，则， 所以，所以函数既无极大值又无极小值. 故选:A. 【点睛】本题考查了导数的运算，考查了函数极值的求解.本题的难点是对函数的解析式的求解.本题的关键是对已知式子进行变形整理. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 构造抽象函数模型解不等式和比较大小 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 利用导数的运算法则构造 （1）对于，构造 （2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． （3）对于，构造 （4）对于，构造 （5）对于不等式，构造函数. 1．（2026高三·山西长治·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（） A． B． C． D． 2．（广东韶关市2025-2026学年高三学期7月期末练习数学试题）函数是定义域为的偶函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·江苏镇江·期中）定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 6．（2026高三·河北衡水·开学考试）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 7．（2026高三·四川宜宾·阶段检测）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型02 构造幂函数型 （1）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （2）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 8．（2026高三·重庆·期末）已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 9．（河南郑州市共同体2025-2026学年高三学期期末考试数学试题）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．（2026高三·天津·期末）已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高三·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 13．（2026高三·天津津南·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 14．（2026高三·甘肃兰州·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 15．（2026高三·重庆·阶段检测）已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．（2026高三·河北廊坊·期中）已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 17．（2026高三·湖北·期中）已知定义域为的奇函数，其图象为连续不断的曲线，的导函数为.若对任意，都有，且，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．（2026高三·湖南长沙·期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 20．（2026高三·吉林·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 21．（2026高三·重庆·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 22．（2026高三·北京·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 23．（2026高三·河北邢台·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A．B． C． D． 24．（2026高三·吉林长春·期中）已知定义在上的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 25．（2026高三·天津西青·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 26．（2026高三·湖北孝感·期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ） A． B． C． D． 27．【多选】（2026高三·湖南长沙·期末）已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 28．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 题型03 构造指数函数型 （1）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （2）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 29．（2026高三·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 30．（2026高三·山东淄博·期中）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 31．（山东滨州市2025-2026学年高三学期期末数学试题）定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____. 32．（2026高三·广东东莞·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 33．（2026高三·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 34．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高三·天津津南·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 36．（2026高三·广西河池·期中）已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 37．（2026高三·河南南阳·阶段检测）定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_______ 38．（2026高三·云南楚雄·期中）已知函数的导函数为，且与的定义域都是，若对，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 39．（2026高三·河南洛阳·期中）已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________． 40．【多选】（2026高三·黑龙江·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 41．（2026高三·湖南·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 42．（2026高三·北京房山·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 43．（2026高三·天津南开·阶段检测）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 44．【多选】（2026高三·甘肃金昌·期中）函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（2026高三·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型04 构造对数函数型 （1）对于，分类讨论： ①若，则构造②若，则构造 （2）对于，构造. （3）对于，构造. 46．（2026高三·天津武清·阶段检测）已知是定义在上的连续奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A．B． C．[0，2] D． 47．（2026高三·山东济南·期中）已知函数定义域为，为其导函数，且满足对，都有．若，则当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 48．（2026高三·吉林长春·阶段检测）设为定义在上的可导函数，e为自然对数的底数.若，则（   ） A． B． C． D． 题型05 构造三角函数型 （1）对于，即，构造． （2）对于，构造． （3）对于，构造． （4）对于，构造． 49．（2026高三·广东汕尾·期中）已知函数的定义域为，其导函数是．若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 50．（2026高三·广东广州·期中）已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 51．（2026高三·广东珠海·期中）已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集是______ 52．（2026高三·北京丰台·期中）已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 53．（2026高三·江苏扬州·期中）已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 54．（2026高三·河北唐山·期中）已知上的奇函数，其导函数为，且当时，，若，则a与b的大小关系为______． 55．【多选】（2026高三·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（   ） A． B． C． D． 56．【多选】（2026高三·福建福州·阶段检测）已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 57．【多选】（2026高三·贵州毕节·阶段检测）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 58．【多选】（2026·河北沧州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 59．【多选】（2026高三·福建泉州·阶段检测）已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 60．（2026高三·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型06 等式型构造问题 1.题型特征：无不等式，给出与恒等式，求函数解析式、极值、零点； 2.解题流程： ①对照前五类模板构造辅助函数； ②求导后发现，推出（常数）； ③代入特殊点算出常数，反解； ④对再次求导，分析导函数零点，判断极大、极小值； ⑤结合解析式完成证明、零点计数等综合问题。 61．【多选】（2026高三·江西萍乡·期中）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得最小值 C．时，恒成立 D． 62．【多选】（2026高三·黑龙江哈尔滨·期末）.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 63．（2026高三·全国·竞赛）设定义在的单调函数，对任意的都有，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．（2026高三·辽宁大连·阶段检测）函数满足：， ．则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 65．（2026高三·四川·阶段检测）设函数满足，，则时，（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 66．（2026高三·湖北·期中）定义在上的函数满足，且，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 67．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值 68．（2026高三·湖北武汉·期中）若函数满足，，则当时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值 69．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期中）设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 70．（2026·新疆·模拟预测）若函数满足，且，则函数（    ） A．既无极大值又无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $