专题05 含参数不等式的分类讨论与不等式恒成立、能成立问题6种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦含参数不等式的分类讨论与恒成立、能成立问题，涵盖六个核心题型，包括含参一元二次不等式分类讨论、实数集与区间上的恒成立问题等，每个题型配套解题步骤、特别提醒及典型例题，构建系统复习框架。 清单以题型脑图梳理考法体系，突出分类讨论“不重不漏”三要点（二次项系数、根的情况、根的大小），恒成立问题提供分离参数法等解题策略，结合高考真题实例，培养学生数学思维与应用意识。特设易错点警示和解题口诀，助力学生自主高效复习，为教师提供精准教学辅助。

专题05 含参数不等式的分类讨论与不等式恒成立、能成立问题 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 含参一元二次不等式的分类讨论 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 1．（2026高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 2．（2026高三·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 3．（2026高三·全国·专题练习）设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【详解】（1）不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 4．（2026高三·河北衡水·阶段检测）设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分条件，判断两个解集之间的包含关系，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 由可得， 当时，解得，符合题意； 当时，解得， 若是的充分条件，可知， 所以，即，成立， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 5．（2026高三·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 【答案】 【分析】分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案. 【详解】当时，显然不合题意； 当时，原不等式可化为，即，所以， 因为解集中恰有两个整数，所以，即； 当时，原不等式可化为，即， 所以若时，则或，不合题意；若时，则或，不合题意；若时，则，不合题意. 综上可得，； 故答案为： 题型02 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 (1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．　 6．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 7．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 8．（2026高三·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 9．（2026·上海宝山·模拟预测）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 10．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 11．（2026·湖南·模拟预测）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立， 所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 12．【多选】（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 13．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（舍去）， 故得； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）， 故得； 综上所述或 故 题型03 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 方法1：分离参数法（优先推荐，减少分类） 1.把参数单独放一侧，化为或； 2.恒成立最值转化口诀： ； ； ； 。 3.求区间内函数最值（二次函数看对称轴、对勾函数、基本不等式）。 方法2：二次函数区间最值法（不分离参数） 设，区间 1.在恒成立； 2.在恒成立； 3.求区间最值三步： ①求对称轴； ②判断对称轴在区间左侧、内部、右侧； ③分别计算端点/顶点函数值，确定最大、最小值。 方法3：区间全包含法（简单二次不等式） 若不等式解集为，要求区间全部落在解集内，则： 区间左端点解集右边界或区间右端点解集左边界。 14．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 15．（2027高三·全国·专题练习）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 16．（2026高三·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 17．（2026·天津河东·模拟预测）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 18．（2026高三·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】不等式在上恒成立，则需区间都落在解集内，这等价于要求与开区间没有交集，从而得出的取值范围. 【详解】由化简得：， 不等式等价于， 解得 要使此不等式对任意恒成立， 则区间必须完全包含在解集中， 等价于与开区间的交集为空集， 区间在左侧，即，解得， 区间在右侧，即，解得， 当，则与必有交集，不满足条件， 综上，实数的取值范围是或， 故答案为： 19．（2026高三·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 题型04 已知参数范围的一元二次不等式恒成立问题 1.核心判断规则：谁给了取值范围，谁做主元；求范围的量做参数。 2.一次函数区间恒成立结论： 一次函数 在上恒大于0 ； 恒小于0 。 3.适用场景：式子含双变量，其中一个变量给出有限区间，换主元后降为一次函数，大幅简化计算。 20．（2026高三·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C 21．（2026高三·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 22．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期中）若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为，结合函数单调性求出在的最大值大于等于即可求解. 【详解】将不等式变形为：，令，所以是关于的函数； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，即时，在上单调递减， 若，使得关于的不等式成立，则，解得：或， 由于，则； 当时，即或时，在上单调递增， 若，使得关于的不等式成立，则，解得：或， 由于或，则或； 综上，实数的取值范围为：或； 故选：A 23．（2026高三·天津南开·期中）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）分和讨论，当时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案； （2）变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可； （3）分离参数得，再利用换元法并结合函数单调性即可得到答案. 【详解】（1）当时，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则需且，无解，所以不存在实数，使不等式恒成立． （2）设，当时，恒成立． 当且仅当，即，解得或， 所以的取值范围是． （3）因为，所以． 设， 所以． 设，显然在上为增函数， 所以，所以， 所以的取值范围是． 题型05 一元二次不等式在某区间上有解问题 等价转化口诀（与恒成立对比记忆） 设 ，函数在区间值域 1. 有解 ； 2. 有解 ； 3. 有解 ； 4. 有解 。 两种通用解法 1.分离参数法：同恒成立，分离后找另一侧函数最值，套上面口诀； 2.补集思想（反面求解） “存在使不等式成立”的反面是“任意都不成立”，先求无解时参数范围，再取补集，适合复杂分类。 24．（2026高三·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 25．（2026高三·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 26．（2026高三·天津南开·阶段检测）设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分离参数，得到，由对勾函数单调性求得最大值即可求解. 【详解】由， 得到， 由题意， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 即最大值为， 所以， 故选：C 27．（2026高三·福建·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，， 则， 因为存在，使得成立， 所以，即，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 28．（2026高三·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 29．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】不等式在区间内有解，即在区间内有解， 那么，设. 根据二次函数的性质可知，所以. 故答案为：. 30．（2026高三·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 31．（2026高三·河南南阳·阶段检测）已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分情况讨论二次不等式解的情况； （2）分离参数，结合对勾函数单调性可得取值范围. 【详解】（1）由已知，即， 因为，所以不等式化简可得， 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； （2）由已知不等式在上有解， 化简可得， 设，则， 又函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 题型06 两个函数乘积的恒成立问题 形式： 对恒成立 1. 核心逻辑：两个因式在定义域内全程同号，或至少一个恒为0； 2. 零点匹配关键结论： 若两二次/一次乘积恒非负，二者零点必须重合；若零点不重合，则区间内必出现一正一负，不满足恒成立； 3. 解题步骤： ① 分别求出两个因式的零点； ② 令零点完全相等，建立参数方程； ③ 验证开口方向，保证零点两侧因式符号一致； 4. 特殊简化模型： 若其中一个因式零点为，且乘积恒≤0，则另一因式必有相同零点，且开口与前者相反。 32．（2026高三·江苏苏州·阶段检测）若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 【答案】 【分析】先将全称命题“恒成立”转化为函数恒成立问题，对函数化简，再根据参数与的取值范围分析不等式的成立条件， 最后将符合题意的参数取值范围合并，得解即可. 【详解】因为命题“”为真， 则意味着对所有，恒成立； 当时，则表达式变为， 当时，，不满足恒成立，故； 当时，当时，，需对所有恒成立， 但是开口向上的二次函数，当时，， 无法满足恒小于等于0，故不成立； 当时，令，得（）， 将代入，得， 要使对所有恒成立， 需是的根（即两个因式在时同号或同时为0）， 因此，即，所以（负根舍去）， 验证：当时，，， 解方程，解得或（舍去） 而，故两因式的正零点重合于； 当时，，，故 ； 当时，，且，故 ； 当时，，且，故 ； 满足对所有，， 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 33．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将已知等式变形为，可得出，令，，，分析可知，可得出，即可得出，利用导数和基本不等式求解即可. 【详解】对，有，所以， 所以不等式左右两侧同时除以， 所以， 转化为关于的一元二次不等式，所以， 令，，， ，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为，故对任意的，则， 故当时，，， 由可得， 故，故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 34．（2026高三·上海·期中）设，若对任意，都有，则_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式构造函数，，分析得出，再利用二次函数性质得出在和上的符号，结合已知条件得出在相应区间上的符号，最后利用一次函数的性质列不等式组得出的关系，结合求出，从而求解． 【详解】设，， 当时，，但不可能在时恒成立（如）， 不满足对任意，都有，， 时，；时，； 若对任意，都有，则 在时，；在时，， 为一次函数，则， 解得， ，则， ． 故答案为：． 35．【多选】（2026高三·浙江温州·期中）对任意，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分析可知，关于的方程有一个根1，另外一个根小于等于0，进而计算可得结论. 【详解】当时，，由，可得， 当时，，由，可得， 所以时，，即1是方程的一个根， 则题意可得还有一个根小于等于0， 所以，解得，故A正确；B错误； 又开口向下，所以， 所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 36．（2026高三·江苏盐城·期中）若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【分析】分析当时，函数的零点及函数值的变化情况，由不等式对恒成立，可得二次函数的零点，建立关于的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的零点为和， 当时，；当时，；当时，， 不等式对恒成立， 则函数满足，有， 解得，所以.     故答案为： 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 含参数不等式的分类讨论与不等式恒成立、能成立问题 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 含参一元二次不等式的分类讨论 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 1．（2026高三·全国·专题练习）解不等式． 2．（2026高三·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 3．（2026高三·全国·专题练习）设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 4．（2026高三·河北衡水·阶段检测）设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 5．（2026高三·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 题型02 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 (1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．　 6．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·上海宝山·模拟预测）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 10．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·湖南·模拟预测）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 12．【多选】（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 13．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 题型03 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 方法1：分离参数法（优先推荐，减少分类） 1.把参数单独放一侧，化为或； 2.恒成立最值转化口诀： ； ； ； 。 3.求区间内函数最值（二次函数看对称轴、对勾函数、基本不等式）。 方法2：二次函数区间最值法（不分离参数） 设，区间 1.在恒成立； 2.在恒成立； 3.求区间最值三步： ①求对称轴； ②判断对称轴在区间左侧、内部、右侧； ③分别计算端点/顶点函数值，确定最大、最小值。 方法3：区间全包含法（简单二次不等式） 若不等式解集为，要求区间全部落在解集内，则： 区间左端点解集右边界或区间右端点解集左边界。 14．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 15．（2027高三·全国·专题练习）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 16．（2026高三·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·天津河东·模拟预测）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 18．（2026高三·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 19．（2026高三·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型04 已知参数范围的一元二次不等式恒成立问题 1.核心判断规则：谁给了取值范围，谁做主元；求范围的量做参数。 2.一次函数区间恒成立结论： 一次函数 在上恒大于0 ； 恒小于0 。 3.适用场景：式子含双变量，其中一个变量给出有限区间，换主元后降为一次函数，大幅简化计算。 20．（2026高三·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．（2026高三·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A．B． C． D． 22．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期中）若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 23．（2026高三·天津南开·期中）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 题型05 一元二次不等式在某区间上有解问题 等价转化口诀（与恒成立对比记忆） 设 ，函数在区间值域 1. 有解 ； 2. 有解 ； 3. 有解 ； 4. 有解 。 两种通用解法 1.分离参数法：同恒成立，分离后找另一侧函数最值，套上面口诀； 2.补集思想（反面求解） “存在使不等式成立”的反面是“任意都不成立”，先求无解时参数范围，再取补集，适合复杂分类。 24．（2026高三·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（2026高三·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 26．（2026高三·天津南开·阶段检测）设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 27．（2026高三·福建·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 28．（2026高三·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 29．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 30．（2026高三·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（2026高三·河南南阳·阶段检测）已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 题型06 两个函数乘积的恒成立问题 形式： 对恒成立 1. 核心逻辑：两个因式在定义域内全程同号，或至少一个恒为0； 2. 零点匹配关键结论： 若两二次/一次乘积恒非负，二者零点必须重合；若零点不重合，则区间内必出现一正一负，不满足恒成立； 3. 解题步骤： ① 分别求出两个因式的零点； ② 令零点完全相等，建立参数方程； ③ 验证开口方向，保证零点两侧因式符号一致； 4. 特殊简化模型： 若其中一个因式零点为，且乘积恒≤0，则另一因式必有相同零点，且开口与前者相反。 32．（2026高三·江苏苏州·阶段检测）若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 33．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 34．（2026高三·上海·期中）设，若对任意，都有，则_____． 35．【多选】（2026高三·浙江温州·期中）对任意，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 36．（2026高三·江苏盐城·期中）若不等式对恒成立，则______. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $