第07讲 用空间向量研究夹角问题（思维导图+3知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第07讲用空间向量研究夹角问题 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解一→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01求异面直线所成角 题型02求直线与平面所成角 题型03求二面角 题型04空间角中的最值（范围)问题 题型05空间角中的探索性问题 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.异面直线所成的角 1. 掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大 2.直线与平面所成的 小，提升逻辑推理、数学运算的核心素养， 角 2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用，培养直观想象的核心素养 3.二面角 学习重点：向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小 学习难点：夹角中的探索性问题 02 教材全解 1/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|框|架 定义 1、 异面直线所成角 范围 定义 2、直线与平面所成角 范围 0. 用空间向量 研究夹角问题 sin 0=cosp= a-u au (注意此公式中最后的形式是：s血日 (定义 范围 0°≤0≤180 二面角 ①cs<44产R1网 ②c0s0根影图形判断二面角为悦二国角还是纯二面角 若二面角为板二面角（取正），则c0s0c0s<片，鸡 着二重角为能二面角（取负）。则c0s0=-c0s<4,马 ◇知1识1精1讲 知识点01线线角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为日，则 AC.BD ①cos<AC,BD>= AC.BD ②cos0cos<AC,BD> |ACI‖BD AC BD R D b 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： (1)建立适当的空间直角坐标系， (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标， (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角. 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角. (0, (2)范围：异面直线所成角的范围是 2 故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值. 即时即练 1.(25-26高二上重庆北碚·期末)已知两条异面直线的方向向量分别是m=(3,-2,-1),n=(1,2,3),则这 两条异面直线所成的角8满足() A.cos0=2 B.cos0=-2 c.sm0-号 D.sin=- 7 2.(2025高二上河南鹤壁专题练习)如图，已知正三棱柱ABC-AB,C的棱长均为2，则异面直线AB 与BC所成角的余弦值是() C B A 2 B. C.4 D.0 【方法总结】 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的一个方向向量，x (3)代入公式cos0 注意两条异面直线所成角的取位范围是(0，] 知识点02线面角 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线与平面所成的角为O,a与u的角为p,则有 a sin=cos= a-u ①c0Sp= ② (注意此公式中最后的形式是： au a-Ju sin P a 即时即练 1,(25-26高二上·天津·期末)若直线1的一个方向向量为i=(1,0,-3), 平面a的一个法向量为 i=(0,2,l, 则1与a所成角的大小为() π 元 B. 元3 d. D.3或3 2.(25-26高二下江苏南京阶段检测)如图，圆锥P0的底面圆周上有A,B,C三点，AB为底面圆O的直 径，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若AB=PO=2,则直线CD和平面PBC 所成角的正弦值为() -------c=B A B. C6 D. 2V2 9 9 3 【方法总结】 求线面角的两种方法 Q)设直线A的方向向量a平面a的法向量为儿直线卫A与平面a所成的角为(0∈[0，D.a与n的夹角，则 4/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sino-cosanl lalln (2)设直线PA的方向向量a直线PA在平面a内的投影向量为b,则直线PA与平面C所成的角6满足cosH cos<a,b>. 知识点03二面角 如图，若PALa于A,PB⊥B于B,平面PAB交I于E,则∠AEB为二面角a-I-B的平面角， ∠AEB+∠APB=180°. n 若%·n2分别为面a,B的法向量 nn ①C0s<n,n2>= nln ②C0s日根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则cos8C0s<,n2>: 若二面角为钝二面角（取负），则cos8=-|C0s<h,n2>； 即时即练 1.(25-26高二上广东汕头期末)锐二面角α-1-B两平面的法向量分别为%=(1,2，-)，元=(2，-1,1)， 则二面角的余弦值为() 1 A.6 B- 6 c.6 6 D.-6 6 2.(25-26高二下·江苏·阶段检测)如图，正四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边 长的V2倍，SD⊥平面PAC,P为侧棱SD上的点，则二面角P-AC-B的余弦值为() 5/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A B.-3 2 2 【方法总结】 cos=cos <m,n2 n1·1n2 若，分别为平面，P的法向量，日为平面C,P的夹角，则 m n2 03 题型突破 题型01求异面直线所成角 1.(25-26高二上浙江杭州期中)在空间直角坐标系O2中，若异面直线，m的方向向量分别为 a=(1,0,-1),b=（-1,1,0),则l,m所成角的余弦值为() A.I 2 B.、② 2 C② 2 D.2 2.(24-25高二下·江苏宿迁·期中)在正方体ABCD-ABCD,中，M,N分别为棱A4,BB的中点，则 CM和DN所成角的余弦值为() 1 4V5 .3 B. 9 C.32 3 D.g 3.(25-26高二下江苏苏州期中)直三棱柱ABC-AB,C1,∠BCA=90°，M,N分别是4B,CC的中点， BC=CA=CC=2,则BM与AN所成的角为() B.2 . π 4.(25-26高二上·安徽六安·期末)我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 称为鳖踽在整腈ABCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且BC=CD=AB,E,F分别为AB,CD的中 点，则异面直线AF与DE所成角的正弦值为() D A 、P B. 6 C.7 9 D.v7 8 5.在正四面体ABCD中，M,N分别为AB,AD的中点，连接CM,BN,若正四面体的边长为2，则直线 CM与直线BN所成角的余弦值为() 3 6 B.2 1 C.v6 6 6.(25-26高二全国寒假作业)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M为线段4D的中点， N为线段CD上的动点，则直线CD与直线MW所成角的余弦值的最大值为() D B M N D B √6 A B C6 D 3 2 3 3 【技巧归纳】 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系， (2)求出两直线的一个方向向量，y lu·v (3)代入公式cos0 u/v米解 注意两条异面直线所成角的取值范围是(O,] 7/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02求直线与平面所成角 1.(25-26高二下江苏南京期中)若向量石=(0，V5,0)是直线1的方向向量，向量元=(2,2,1)是平面a的 法向量，则直线！与平面所成角的正弦值为() A. 2W2 3 D.3 2.(25-26高二下河北邢台开学考试)在空间直角坐标系中，直线1的一个方向向量为m=(-1,0,),平 面a的一个法向量为i=(5,-1,0),1与α所成的角为0，则() Ag<0 3 2 D.0<0< 6 3.在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=A4,则直线AB与平面BCCB所成角的正弦值为() A.6 4 c.vi 4 D.vis 5 4.在长方体ABCD-ABCD中，AB=V3,BC=l,M,N分别是为AD,和CD的中点，MN与平面BB,CC 所成的角为30°，则该长方体的体积为() A.8V2 B.6 C.26 D.8V3 5.(25-26高二下·湖南长沙阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，ABIICD,CD⊥AD,PB=CD=4,AB=AD=2. D A B (I)求证：PB⊥CD, (2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值. 6.(2026高二·全国·专题练习)在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面 ABCD.已知∠ABC=45°，AB=2,BC=2V2,SA=SB=V3.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值. 8/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 求线面角的两种方法 0)设直线A的方向向量a平面u的法向量为么直线A与平面u所成的角为6(0[宁Da与”的夹角，则 s0cosp1a·n alln (2)设直线PA的方向向量a直线PA在平面a内的投影向量为b,则直线PA与平面a所成的角0满足cosH cos<a.b> ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●● 题型03求二面角 1.(25-26高二全国·寒假作业)在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为i,i2.若 ,元)=于，则二面角A-BD-C的大小为() A.3 π B.3 c.3或3 2π D.8号 2. (25-26高二上：广东揭阳期中)如图，在正三棱柱ABC-4B,C中，3AB=2A4,G是4B的中点， g广p公被从C化上且柜-器-之，则面响4-0-R的案使为) B B 9/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A- 5 B. 5 c._vio D.vio 5 3.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E,F分别为AD,BC的中点，O是AC的中点， ∠ABC=2 ,则折后二面角E-OF-A的余弦值为() D E A.v2i B.、②1 7 C.33 D.-3 13 11 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=6O°，平面ABCD⊥平面PAD,PA⊥CD, PA=AB=2,E为PD的中点. D E (I)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求二面角C-AE-P的余弦值. 5.如图，在三棱台ABC-AB,C中，∠ABB=90,AB=2AB,侧面BCCB⊥侧面ABBA,D,E分别 为AC,BB的中点 D B ()求证：AD11平面BCCB； (2)已知AB=BB=4,EC=CB,AC=2V7,求二面角A-AG-B的正弦值. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/BC,AB=BC=l,PA=PC=V5,tan∠PAD=2 10120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: 29 ②若ABLAD'∠APD为锐角，且平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为S0, 求AD 【技巧归纳】 cos =cos <m,n2 若，分别为平面%，P的法向量，日为平面%，P的夹角，则 题型04空间角中的最值（范围）问题 1.(25-26高二下江苏宿迁·期中)在正方体ABCD-ABCD中，点O为线段AC的中点点P在线段AC 上，直线OP与平面ABC所成的角为0，则cosP的最小值是() A.6 B. ⑤ 3 3 4 D.V5 4 2.(25-26高二上安徽淮北期末)如图，己知四棱台ABCD-ABCD的底面ABCD是直角梯形， ∠BAD=90°，AD11BC,AD=AB=2BC=2DD=2AD,DD⊥平面ABCD,E是侧棱BB所在直线上 的动点，则AE与平面ACA所成角的正弦值的最大值为() D A. V6 3 B c. 29 3.(24-25高二上江西吉安期末)如图，四边形ABCD,AB=BD=DA=2V3,BC=CD=2,现将 11/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ππ △ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C的值属于区间43时，直线AB和CD所成角为a则cosa的 最大值为() A C A ② c.2+6 4 B. 8 8 D. 8 4.(25-26高二上浙江期中)如图，在三棱柱ABC-ABC1中，底面△ABC为等腰直角三角形， AB=BC=2,∠ABC=90°，0为AB的中点，A0=2,A4=V5,且BC⊥平面ABBA. B B (1)求证：A0上底面ABC: (2)求AC与平面ABC所成角的正弦值： )点M在线段CC上，求平面ABM与底面ABC所成锐二面角的余弦值的最小值. 5.(2425高二上·广西河池·阶段检测)如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和等腰直角△PAD拼 接而成，其中AB=BC=1,BCI‖AD,∠BAD=90°；PA=PD=V2,∠APD=90°，点O是AD中点，现 沿着AD将其折成四棱锥P-ABCD(如图2)· A D B 图1 图2 (I)当二面角P-AD-C为直二面角时，求点A到平面PCD的距离： 12120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)在(1)的条件下，设点O为线段PD上任意一点（不与P,D重合），求二面角Q-AC-D的余弦值 的取值范围。 题型05空间角中的探索性问题 1.(25-26高二下江苏扬州阶段检测)如图1所示，在等腰梯形ABCD,BC11AD,CE1AD,垂足为 E,AD=3BC=3,EC=1,将△DEC沿EC折起到△D,EC的位置，如图2所示，平面D,EC⊥平面ABCE. D E D B B 图1 图2 (I)求证：平面BCD,1平面CDE: (②)求直线CD,与平面ABD所成角的正弦值： √6 3)在棱AD,(不包括端点)上是否存在点G'使平面ABD与平面GEC的夹角的余弦值为6，若存在， AG 求出AD的值，若不存在，请说明理由. 2.(25-26高二下·福建漳州·期中)如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平 面互相垂直，4F11DE:DE⊥AD:ADI8D4F=AD=BD-DE=1. E (I)求证：DE⊥平面ABCD: Q)在线段DE(不包括端点)上是否存在点Q,使得直线AF与平面BQF所成角为45°？若存在，求出 13120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E DO的值，若不存在，说明理由。 3.(24-25高二上：福建莆田·期末)如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是斜边为AC的等腰直角三角形， △PAC是边长为4的等边三角形，且PB=4,O为棱AC的中点. D O M (I)证明：PO⊥平面ABC: (②)问：在线段BC上是否存在点M(不与B、C重合)，使得二面角M-PA-C为30°，若存在，求出CM 的长：若不存在，请说明理由。 4.(25-26高二下江苏盐城期中)如图，己知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2,△PCD是正三角形， 且平面ABCD⊥平面PCD,O是CD的中点. (1)证明：BO⊥PA: 2)求二面角C-BP-0的余弦： ③)在线段CP上是香存在点。使得直线0与平面1BP所成角的正弦值为令，若存在，确定点0的位 √3 置，若不存在，请说明理由， 5(25,26高=上辽宁沈阳期末)如图，等膜直角三角形ABC中，∠4C8-受 2,D是4C中点，区、F分 别是BA、BC边上的动点，且BA=BE,EF1/AC,将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得 到四棱锥P-ACFE.设FC=a,FE=b,FP=c. E 14120 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)试用a,b,c表示PD. )若1=3 时，PF⊥平面ACFE:求与PD垂直的平面a和平面ACFE所成角的余弦值： 3)当BC=2时，是否存在这样的点P,使得二面角P-EF-C为3，且直线PD与平面4CFE所成角为4， 若存在，求出CF的长，若不存在，请说明理由. 【技巧归纳】 利用向量方法求两个平面的夹角的大小时，多采用法向量的方法，即求出两个平面的法向量，然后通过法向量 的夹角得到两个平面的夹角的大小，这种方法思路简单，但运算量大，所以求解时需特别注意仔细运算 04 过关检测 1,(25-26高二上北京通州期中)已知直线4,4的方向向量分别为1=(0,2，-1)，V=(1,0,2),则直线 与2所成角的余弦值为() B. c② 5 5 D.5 2.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别是线段BD,AB,CD的中点，则异面直线AG 与EF所成角的余弦值是() D G C F B B A 2W15 15 B.V5 C.26 5 15 D.35 5 3.(25-26高二上辽宁铁岭期末)已知直线1的方向向量为ā=(2,11)，平面a的法向量为i=(,0k), V30 若I与a所成角的正弦值为6，则k=（) 15120 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B. C.2 D.4 4.(25-26高二上广东东莞·期末)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°， BD⊥CD,E为BC的中点，点F满足厅-D,则异面直线BF与DC所成的角的大小为() C A.30° B.45 C.60° D.75° 5.(25-26高二上：广东佛山阶段检测)如图，三棱锥A-BCD中，AB=BC=AC=DB=DC,且平面 ABC与底面BCD垂直，E为BC中点，EF=DA,则直线AD与平面ABF夹角的余弦值为() F C D B A.、② B. 2 C D.-i4 4 4 4 4 6在u装锥r-1CD中，pM1￥面ACD:B1CD,∠ABC-号，8=P=D=1,BC-2N2 2 M为PD的中点，则二面角M-BC-A的余弦值为() D A 310 B.io 10 10 C 5 D.25 5 25 7.在四面体p-ABC中，PAL平面ABC'AB=BC=2'∠ABC=120若四面体P-ABC的体积为3， 16120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则AC与平面PBC所成角的正弦值为() A 5 3 B. 5 C.v6 6 号 8.(25-26高二下·福建龙岩·期中)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何 体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的 曲池，A4,BB,CC,DD均与曲池的底面垂直，且A4=4,底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4， 对应的圆心角为)，则图中异面直线AB与CD所成角的余弦值为() D D B.6 c o A D.11 1 B C D 所以 D主 CD=(2,0,4)AB=(0,-2,4) 因为AB.CD=2×0+0×(-2)+4×4=0+0+16=16, CD=V22+02+4=V4+0+16=20=25, AB=V02+(-2)2+42=V0+4+16=V20=25, 9.在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,AB=BC=AH,点D为CC的中点，点M为侧面ABB,A内 (含边界)的动点，且CM‖平面ADB,设直线CM与平面ABBA所成的角为0，则tan0的最大值为 () 17120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.√2 B.2√2 C.5 D.32 10.(25-26高二上·福建泉州阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,BD=V3, F是DC的中点，沿BD将△BCD翻折至△BC'D的位置，使得平面BCD⊥平面ABD.若E是直线BC上的 点，求直线EF与平面ABC'所成角正弦值的最大值是() B A.5 B 2W2 4 3 o. 11.(25-26高二上·江西宜春·期末)在圆锥S0中，AB是底面圆O的直径，D为线段SB上的一点，且 SB=3DB,C是AB的中点，2SO=AB=6,则直线SA与直线CD所成角的余弦值为 12.(25-26高二下四川成都期中)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=V2,AB⊥BC,O为AC的 中点，PO⊥平面ABC,PO=2. . M (I)求证：PB⊥AC: (2)若M为棱BC的中点，求二面角M-PA-C的余弦值， 13.(25-26高二上江西南昌阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 为菱形，且AB=2,∠DAB=60°，点M为棱DP的中点 18120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M: D B (I)在棱BC上是否存在一点N,使得CMII平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明 理由； 6 ②)若二面角B-CM-D的余弦值为6时，求棱DP的长度 14.如图，四棱锥p-ABCD的底面是边长为4的菱形，∠ABC= ’PA⊥PD:PA=2'PC=4:M是 AD的中点. B、 D (1)证明：PA⊥CM: v15 ②)若点N为线段AP上动点，是否存在这样的点N,使得直线CN与平面PBC所成角的正弦值为'5？若 存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由 15.(25-26高二上山东枣庄期中)某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉(mg)”这个五面体， 设计了一道数学探究题：如图1，E,F,G分别是边长为4的正方形三边AB,CD,AD的中点，先沿 着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB,CG, 就得到了一个“刍蒉”（如图2）. G A D E B B 图1 图2 )若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF; 19120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2π ②)若二面角A-EF-B的大小为3，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值： √2i 6)在(2)的条件下，在棱AG上是否存在点p,使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的余弦值为'7？ 若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由. 16.(24-25高二上江苏·暑假作业)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=2, AD⊥平面PCD,PD⊥PC,点M为AB中点. --C M B (I)证明：平面PBC⊥平面PAD: (2)若PD=1,求CM与AP所成角的余弦值： 3)求CM与平面APC所成角的正弦值的取值范围. 20120 第07讲 用空间向量研究夹角问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 求异面直线所成角 题型02 求直线与平面所成角 题型03 求二面角 题型04 空间角中的最值（范围）问题 题型05 空间角中的探索性问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.异面直线所成的角 2.直线与平面所成的角 3.二面角 1. 掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2. 体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,培养直观想象的核心素养. 学习重点：向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小 学习难点：夹角中的探索性问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 线线角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 即时即练 1．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断. 【详解】由两条异面直线的方向向量分别是，， 得，. 故选：A 2．（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为， 可得， 所以，可得， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 【方法总结】 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的一个方向向量u,v. (3)代入公式cosθ=求解. 注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,]. 知识点02 线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ② .（注意此公式中最后的形式是：） 即时即练 1．（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 【方法总结】 求线面角的两种方法 (1)设直线PA的方向向量a,平面α的法向量为n,直线PA与平面α所成的角为θ(θ∈[0,]),a与n的夹角,则sinθ=|cos|=. (2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|. 知识点03 二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 即时即练 1．（25-26高二上·广东汕头·期末）锐二面角两平面的法向量分别为，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二面角的向量求法，代入计算即可求得答案. 【详解】因为二面角的法向量分别为，， 设所求二面角的大小为， 则， 因为二面角是锐角，所以该二面角的余弦值， 故选：A 2．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 【方法总结】 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 题型01 求异面直线所成角 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出、及，再根据空间异面直线夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】由题意，可得，， ， 设直线所成的夹角为，则， 所以直线所成角的余弦值为. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 4．（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确. 故选：C 5．在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取底面的中心，连接，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角. 【详解】取底面的中心，连接，则平面，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径，则由题易得高，故， ，由、分别为、的中点，所以， 同理得，故， 所以由向量夹角公式可知. 6．（25-26高二·全国·寒假作业）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的运算求解即可． 【详解】以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 设，， 则， 则，， 则， 设直线与直线所成角为， 则， 当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D． 【技巧归纳】 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的一个方向向量u,v. (3)代入公式cosθ=求解. 注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,]. 题型02 求直线与平面所成角 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 2．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，l与所成的角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两向量夹角的余弦值，再由线面角与两向量夹角的关系即可得出结论. 【详解】易知， 所以， 即，又，所以. 3．在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法即可求得答案. 【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点， 以过B作的垂线为x轴，以为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 易知平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为，， 则. 故选：A 4．在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】构建空间直角坐标系，令，结合线面角大小及向量法列方程求参数，最后利用棱柱体积公式求体积. 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以， 又面的法向量为， 由与平面所成的角为，则， 所以，可得，则， 所以该长方体的体积为. 故选：C 5．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接，已知为等边三角形，边长为4， 则，且，， 已知，，则四边形是矩形，，， ， ， 平面， 平面， 又平面， ．    (2) 【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，利用线面垂直判断定理证明线面垂直，进而推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量及向量，设直线与平面所成角为，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 故底面，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴， 垂直于平面的方向为轴，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 设平面的法向量为， 因， 则，令，则， 又， 设直线与平面所成角为， 则． 6．（2026高二·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 【分析】根据题意以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】作，垂足为，连接， 由侧面底面，平面平面，平面， 得平面， 因为，所以．又，为等腰三角形， 所以， 如图，以为坐标原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向， 建立直角坐标系， ，，，， 取中点，，连接，取中点，连接， ，，，， ，，与平面内两条相交直线都垂直， 所以平面， 设与的夹角记为，与平面所成的角记为， 则与皆为锐角，且与互余， 由于，， ，， 因此直线与平面所成角的正弦值为． 【技巧归纳】 求线面角的两种方法 (1)设直线PA的方向向量a,平面α的法向量为n,直线PA与平面α所成的角为θ(θ∈[0,]),a与n的夹角,则sinθ=|cos|=. (2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|. 题型03 求二面角 1．（25-26高二·全国·寒假作业）在三棱锥中，平面与平面的法向量分别为．若，则二面角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用法向量和平面垂直的关系可得两个法向量所成角与二面角相等或者互补，从而可求． 【详解】当二面角为锐角时，其大小为；当二面角为钝角时，其大小为． 故选：C． 2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱中，，是的中点，，分别在棱，上，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB的中点O建立空间直角坐标系，设长度找出相关点的坐标，得到两个平面的法向量，最后注意该二面角为钝二面角，利用向量求解即可. 【详解】取AB的中点O，连接OC，OG，设，，以为原点，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 则 ，则 , 设平面的法向量为 ，则 ，令，则； 平面的法向量为，由图可知二面角为的平面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为 . 故选：C 3．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解. 【详解】由题意知平面平面，如图，连接， 因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则．由图知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 故选:A． 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接， 在菱形中，，所以是等边三角形，则， 又因为平面平面，且平面平面， 平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 5．如图，在三棱台中，，，侧面侧面，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)已知，，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，得，由线线平行即可推得线面平行； （2）根据题意建系，由条件求出相关点的坐标，进而求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）取的中点，连接，因为的中点，则， 在三棱台中，， 则，故四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面. （2）因平面平面，且平面平面， 又平面，则平面. 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，在平面中， 过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 连接，易得，作于点， 因，是的中点，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，可取； 设平面的法向量为， 则，可取. 则， 设二面角的平面角为， 则， 即二面角的正弦值为. 6．如图，在四棱锥中，. (1)证明:平面平面； (2)若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作，垂足为，连接.利用已知可得，利用勾股定理和逆定理可证，利用线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求. 【详解】（1）作，垂足为，连接. 在中，由，解得. ，四边形是平行四边形， ，则，，即. ，又平面，平面. 平面，平面平面. （2），. 如图2，以为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，， ， 设平面、平面的法向量分别为， 由，取，得. 由，取，得. 因为平面与平面所成二面角的正弦值为，则其余弦值的绝对值为， 所以， 解得或46. 当时，，此时为钝角，不符合题意； 当时，，此时为锐角，符合题意， 故. 【技巧归纳】 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 题型04 空间角中的最值（范围）问题 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求出直线与平面所成的角为的正弦值，再表示出并求出其最小值即可. 【详解】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则,,,, 设,则,, 设平面的法向量为,则由得 取，则, 所以为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成的角的正弦值 又由，所以, 所以， 又因,所以,所以最小值为 故选：A 2．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，代入线面角的向量公式求最值. 【详解】因为平面，且平面， 所以，且，，平面， 所以平面， 以为原点，为x轴，AD为y轴，过点A作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则，，，，， 所以，，设为平面的法向量， 则即取，可得，， 所以为平面的一个法向量. 设，，则， 设与平面所成的角为，则==， 令，则有， 当，即时，，此时 当，由存在，得， 解得，当时，，此时，即的最大值为， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 3．（24-25高二上·江西吉安·期末）如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点为，连接，易知是的平面角，根据已知构建合适的空间直角坐标系，再应用向量法求得直线和所成角的余弦值关于的表达式，即可求最大值. 【详解】取的中点为，连接，又， 所以，且，是的平面角， 由都在面内，故面，面内过作， 可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由，则，且， 所以， 则， 当时，最大. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点坐标为关键. 4．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，，，且平面．    (1)求证：底面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，求平面与底面所成锐二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过，可证明底面 （2）建立空间正交坐标系，表示出平面法的法向量，利用可解 （3）设，表示出平面的法向量，用法向量表示出二面角的余弦值，找到最小值即可 【详解】（1）证明：因为是的中点，，所以． 在中，，，． 所以，所以，即． 又平面，所以， 又，底面，底面， 所以底面． （2）解：以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立坐标系， 由题可得：，，，，，（且长度相等），． 又平面的一个法向量为，所以． 综上：与平面所成角的正弦值为． （3）设，又，所以， 又，，设平面的法向量为，    所以，即令，则，， 所以，又平面的法向量为． 所以，又． 所以，当时成立，此时与重合． 综上所述：存在点与重合时，使得平面与底面所成锐二面角的余弦值的最小值为． 5．（24-25高二上·广西河池·阶段检测）如图1，平面图形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，点是中点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． (1)当二面角为直二面角时，求点到平面的距离； (2)在（1）的条件下，设点为线段上任意一点（不与，重合），求二面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离. （2）设，求得点坐标，表示出二面角的余弦值，再求其范围. 【详解】（1）∵，，∴． 点是中点，，∴， 结合折叠前后图形的关系可知， ∵二面角为直二面角，则侧面底面， 侧面底面， ∴平面， 易知，，两两垂直． 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，取，得，， 则为平面的一个法向量， 则点到平面的距离． （2）设点满足（）． ∵，∴， ∴， ∴． 设平面的法向量为， 又∵，， ∴， 取，则，， 取为平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为， 二面角的余弦值为 ， 由，所以，则， 所以二面角的余弦值的取值范围为. 题型05 空间角中的探索性问题 1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【详解】（1）)为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面. （2），， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，． (1)求证：平面； (2)在线段（不包括端点）上是否存在点Q，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点Q，使得直线与平面所成角为，且 【分析】（1）因为，由面面垂直的性质定理即可证明； （2）可证明两两垂直，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，利用向量法可得的方程，求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又因为，平面，所以平面. （2）存在点Q，使得直线与平面所成角为，且.理由如下： 连接，由（1）知平面，平面， 所以，又因为，故两两垂直， 以为坐标原点，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 因为与平面所成角为， 所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以， 所以存在点Q，使得直线与平面所成角为，且. 3．（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角为30°，若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点M在棱BC的靠近点B的三等分点处 【分析】（1）证明，，由线面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可证明存在并可确定点M的位置. 【详解】（1）由题可知，，且， ∴． 连接BO，如图，则，且． ∵是边长为4的等边三角形， ∴，，且． 从而有，故． ∵， ∴平面． （2）假设存在满足题意的点． 由（1）可知，可以О为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． ，，． 设，． 则． 设平面AMP的法向量为， 则 令，得． 易知平面的一个法向量为． ∵平面PAM与平面PAC的夹角为30°， ∴， 解得或（舍去）， ∴存在，且点M在线段BC的靠近点B的三等分点处， 即． 4．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，位于的中点位置 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量坐标，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）分别求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解； （3）求出平面的法向量，假设存在点，满足，利用向量夹角余弦公式构造方程，解方程求出，进而得出结论． 【详解】（1）已知是正三角形，是中点，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于方向为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ． （2），设平面的法向量为， 则，令，则； ，设平面的法向量为， 则，令，则， 二面角的余弦值为： ． （3），设平面的法向量为， 则，令，则， 设，则，则， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简整理得，解得或（舍去）， 存在点，位于线段的中点位置． 5．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，等腰直角三角形中，，D是中点，E、F分别是、边上的动点，且，，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．设，，．    (1)试用表示． (2)若时，平面．求与垂直的平面和平面所成角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点F，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在点F，此时. 【分析】（1）直接根据向量加减法的几何意义可得； （2）根据空间向量基本定理，用基底向量分别表示两个平面的法向量，再用向量的方法计算平面与平面的所成角的余弦值； （3）通过建立空间直角坐标系，根据面面角及线面角的值计算得到所求点的位置. 【详解】（1）由向量的加减法运算的法则可得， 又因为且，， ． （2）且为等腰直角三角形，，. 设，则． 因为平面，平面，所以， 即，所以.又因为，，所以，即. 所以为平面的法向量．而平面与垂直，所以是平面的法向量. 因为，所以，且，， 所以 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）分别以所在直线为x轴、y轴，过F作垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图：    设，则，， 由（1）得，二面角的平面角为，即， ，. 由题意得，平面的法向量为， ， 即，，解得或（舍去） 存在点F，此时． 【技巧归纳】 利用向量方法求两个平面的夹角的大小时,多采用法向量的方法,即求出两个平面的法向量,然后通过法向量的夹角得到两个平面的夹角的大小,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算. 1．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线，的方向向量分别为，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】设直线与所成角为， 则. 故选：D 2．如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，根据线线夹角的向量公式求解即可． 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，所以，． 设异面直线AG与EF所成的角为， 则． 故选：C． 3．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 4．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得两直线的方向向量，即可根据向量的夹角求解. 【详解】由于，，故均为等边三角形， 不妨设， ，， 则，即，则， ，， 又，平面 平面， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得， 设异面直线与所成角为，而故, 由于，故， 故选：A 5．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用线面角的空间向量公式即可求解. 【详解】如下图，连接，因为，为中点， 所以，，又平面底面， 平面底面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由， 可得，，，， ，，，      设平面的一个法向量为，则有， 令，得，，得， 设所求角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故选：C 6．在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合二面角是锐角以及法向量夹角余弦的坐标运算公式即可得解. 【详解】过点作交于点， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，解得，即可取， 显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 7．在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 8．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 9．在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，设，进而得，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设，所以， 因为平面， 所以，解得， 所以， 显然平面的一个法向量为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值，即， 所以，所以. 10．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面.若是直线上的一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得，，所以建立空间直角坐标系，根据线面角可得，再结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，，， 所以，即， 又平面平面，平面与平面相交于， 所以平面，又，平面， 所以，，又， 建立以为坐标原点，以，，为，，轴的空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 因为是直线上的一点，设， 所以，，， 设平面的法向量为， ，即，令，可得， 设与平面所成角为，则， 当时，， 令， 则， 当时，即，时，. 故选：A 11．（25-26高二上·江西宜春·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 【答案】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用可以求得答案. 【详解】 因为为的中点，所以．以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，. 因为为线段的一点，且，所以．所以，． 设直线与直线所成的角为，则. 故答案为： 12．（25-26高二下·四川成都·期中）如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. (1)求证：； (2)若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，进而结合题意，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）结合（1）的坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值即可. 【详解】（1）连接，∵在中，且为的中点， ∴， 又∵平面， 故以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又，， 故，，，，， ∵，， ∴，即， ∴； （2）平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ∵，∴，， ∴，即，令，则，， ∴， ∴， 又∵二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为. 13．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 【答案】(1)存在，点N为的中点 (2) 【分析】（1）取的中点，可得平面平面，根据面面平行的性质可得，进而可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求得，从而得到的长度. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为平面，，平面， 可得平面平面， 且平面平面，平面平面，可得， 由题意可知：，则四边形为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点. （2）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，可得， 又因为底面，则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 解得（舍去负值），所以. 14．如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． (1)证明：； (2)若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 【分析】（1）通过证明线面垂直来证明线线垂直，通过证明平面，从而证明. （2）通过建立坐标系来确定各点的坐标，然后通过线面角的公式来求得未知点的坐标，最后通过判断点的坐标是否可能在上，从而判断点是否存在. 【详解】（1）连接AC， 由题意可知：是等边三角形，且是的中点，， 则，， 因为，，则，， 又因为，则，可知， 且，平面，可得平面， 且平面，所以. (2) 以为原点，为轴，为轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设，则， 设为与平面的夹角为， 则, 整理可得，解得， 且，所以线段上不存在满足条件的点. 15．（25-26高二上·山东枣庄·期中）某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．    (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，当与点重合时. 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判断定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴，轴正向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在满足条件的点，设，利用空间向量求出的值即可. 【详解】（1）取中点，连接，    由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在图1中，且, 在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：    则， ， 所以， 又因为，平面，所以， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的余弦值为， 则只需，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的余弦值为. 16．（24-25高二上·江苏·暑假作业）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求与所成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面，证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，证明平面，并运用向量法，求解异面直线所成角的余弦值； （3）求出平面的法向量，向量法求线面角的正弦值． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）以，所在直线为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面． 因为，，，则，，， 得， 又，，，， 所以， 所以， 设与所成角为，故， 即得与所成角的余弦值为． （3）设，则， 因为，所以， 则有，，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，，即平面的一个法向量为， 所以 ， 因为，所以，故， 又与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $